Tổng hợp 50 câu trả lời ngắn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2027 – Chinh phục 9+

Câu 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, hypebol $(H)$ có nửa trục thực $a = 12$, nửa trục ảo $b = 9$, hai tiêu điểm $F_1$, $F_2$ nằm trên trục hoành. Tính độ dài trục thực của $(H)$.

Câu 2. Một lớp có $25$ học sinh. Có $7$ học sinh tham gia câu lạc bộ A, $13$ học sinh tham gia câu lạc bộ B và $3$ học sinh tham gia cả hai. Có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ nào?

Câu 3. Biết $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $\alpha$ là góc tù. Tìm $\alpha$, đơn vị độ.

Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$, elip $(E)$ có nửa trục lớn $a = 39$, nửa trục nhỏ $b = 36$, hai tiêu điểm $F_1$, $F_2$ nằm trên trục hoành. Tính độ dài trục lớn của $(E)$.

Câu 5. Một hội tiết kiệm khu phố nhận khoản đóng ở kì thứ nhất là $39$ đơn vị, và mỗi tuần sau bằng $q$ lần tuần trước, với $q > 1$. Theo quy định, $q$ chỉ nhận một trong các giá trị $q \in \left\{\dfrac{3}{2}; \dfrac{5}{4}; \dfrac{7}{6}; \dfrac{8}{7}; \dfrac{11}{8}\right\}$. Nhật kí chỉ còn hai con số, cả hai đã làm tròn tới bước $\delta = 20$ đơn vị; số kì $m$ thì đã mất, chỉ biết $3 \le m \le 14$:

Một số hiển thị $X_0$ nghĩa là giá trị thật thuộc nửa khoảng $\left[X_0 - 10; X_0 + 10\right)$. Mục tiêu của quỹ là tổng tích luỹ đạt $2487$ đơn vị. Hỏi từ tuần thứ mấy thì tổng tích luỹ lần đầu đạt hoặc vượt mục tiêu?

Câu 6. Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{6x^{2} + 3}{3x^{2} + 6x}$.

Câu 7. Biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 4$ và $E\left(X^2\right) = 19$. Tính $V(X)$.

Câu 8. Khảo sát thời gian chạy cự li 100 mét của $55$ vận động viên, kết quả ghi ở bảng sau.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = (-4; -4; 2)$ và $\vec b = (m; -2; 4)$. Tìm số thực $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

Câu 10. Tính $\ln\left(e^{32}\right)$.

Câu 11. Một trạm bơm nước thải có nguy cơ tắc nghẽn đường ống. Theo thống kê dài hạn, xác suất trong một ca vận hành xảy ra tắc nghẽn đường ống là $28\%$. Hệ có hai cảm biến, mỗi cảm biến cho kết quả “báo có” hoặc “báo không”:

Khi đã biết ca ấy có tắc nghẽn đường ống hay không thì hai cảm biến cho kết quả độc lập với nhau (độc lập có điều kiện). Cảm biến $1$ luôn được đo. Cảm biến $2$ chỉ được kích hoạt trên một nhánh kết quả của cảm biến $1$, và có hai chính sách: **Chính sách $A$**: chỉ đo cảm biến $2$ khi cảm biến $1$ báo có; **Chính sách $B$**: chỉ đo cảm biến $2$ khi cảm biến $1$ báo không. Sau khi có đủ kết quả, hệ phát lệnh xử lí nếu xác suất có tắc nghẽn đường ống tính theo các kết quả đã đo đạt ít nhất $\tau = 41\%$. Chi phí: báo giả (phát lệnh mà không có tắc nghẽn đường ống) tốn $25$ triệu đồng; bỏ sót (có tắc nghẽn đường ống mà không phát lệnh) tốn $63$ triệu đồng. Đặt $D = EC_A - EC_B$ là hiệu chi phí kì vọng của hai chính sách. Tính $D$ (theo triệu đồng) (trả lời kèm dấu).

Câu 12. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ với $A(4; 0)$, $B(16; 5)$, $D(-2; 8)$. Tính độ dài $\overrightarrow{AB}$.

Câu 13. Một trạm kiểm lâm dùng một drone tuần tra để đuổi theo một xe địa hình trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài $\text{m}$, thời gian tính theo giây).

Drone tuần tra chỉ chọn được hướng bay: vận tốc của nó so với không khí luôn có độ lớn $v_{kk} = 8$ $\text{m/s}$, và hướng ấy không đổi trong suốt chuyến. Vận tốc so với mặt đất bằng vận tốc so với không khí cộng vận tốc gió. Xe địa hình đi thẳng đều với vận tốc $\vec v_m$. Hạn bay của drone tuần tra là $2$ giây. Hỏi thời điểm gặp sớm nhất là bao nhiêu giây? Làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 14. Mặt trong một cổng chào hình parabol là một parabol đối xứng qua trục đứng, hai chân cùng nằm trên mặt đường. Số đo danh định: đỉnh cao $7{,}7$ m và khẩu độ giữa hai chân $7{,}9$ m, nhưng phép đo chiều cao sai lệch tối đa $0{,}2$ m và phép đo khẩu độ sai lệch tối đa $0{,}2$ m. Một xe tải có bề rộng danh định $2{,}5$ m với sai số tối đa $0{,}2$ m, và khi qua cổng có thể lệch khỏi trục cổng tối đa $0{,}2$ m về một bên. Quy định đòi mép xe luôn cách mặt trong của cổng theo phương đứng ít nhất $0{,}5$ m. Tính chiều cao lớn nhất của xe tải bảo đảm qua cổng an toàn với mọi số đo thật phù hợp, làm tròn xuống đến hàng phần mười mét.

Câu 1. Biết $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $\alpha$ là góc nhọn. Tìm $\alpha$, đơn vị độ.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Bảng biến thiên của hàm số cho biết $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$; hàm số đồng biến trên $\left(-4; 0\right)$ và $\left(3; +\infty\right)$, nghịch biến trên $\left(-\infty; -4\right)$ và $\left(0; 3\right)$; $f(-4) = -5$, $f(0) = -3$, $f(3) = -5$. Tính tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số (trả lời kèm dấu).

Câu 3. Một hình chữ nhật có diện tích $5776\,\text{cm}^2$. Tính chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật.

Câu 4. Dãy số có công thức $u_n = (-1)^n\left(n + 1\right)$. Tính $u_{8}$.

Câu 5. Cho $A = \left\{2; 8; 11\right\}$. Tính số tập con của $A$.

Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị $y = 4x^{2} + 4$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu? (trả lời kèm dấu).

Câu 7. Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng dài $2$ thành đoạn thẳng dài bao nhiêu?

Câu 8. Bảng hiệu chuẩn một cảm biến quang dùng mức chiết áp $x$ cùng hai tham số nguyên $a$ và $m$, nối nhau bởi phương trình $\log_{3}\left(x - a\right) + \log_{3}\left(22 - x\right) = \log_{3} m$, trong đó $a < 22$, còn $m$ là một số **nguyên dương và là bội của $5$ — nhà sản xuất chỉ đặt tham số theo bội ấy. Nhật kí xác nhận phương trình có hai nghiệm phân biệt**, nhưng cả $a$ lẫn $m$ đã mất. Chỗ còn lại là hai nghiệm, và cũng chỉ còn sau khi làm tròn đến số nguyên gần nhất:

Một số ghi $\hat{x}$ nghĩa là nghiệm thật thuộc nửa khoảng $\left[\hat{x} - 0{,}5; \hat{x} + 0{,}5\right)$. Hỏi $m$ bằng bao nhiêu?

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + 2y - 7 = 0$ và $(Q): 2x - y - z + 9 = 0$. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ (đơn vị độ).

Câu 10. Một khung càng của máy bay không người lái có dạng tứ diện $ABCD$, trong đó $AB$ và $CD$ là hai càng chéo nhau. Bốn thanh kẹp có độ dài bằng nhau: $AC = AD = BC = BD = 33$ $\text{mm}$; càng thứ hai dài $CD = 8$ $\text{mm}$. Hồ sơ mất số đo của càng $AB$, chỉ còn ghi: **khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$** là $32{,}57$ $\text{mm}$, số này đã được làm tròn đến hàng phần trăm. Biết $AB$ là một số nguyên (tính bằng $\text{mm}$) nằm trong khoảng $\left[5; 12\right]$ và khung không suy biến. Tính độ dài $AB$ (theo $\text{mm}$).

Câu 11. Trong không gian cho $6$ mặt phẳng đôi một song song và phân biệt. Tính số giao tuyến của chúng.

Câu 12. Cho hai hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\int f(x)\,dx = -3x^{2} - 4x + C$ và $\int g(x)\,dx = -x^{3} - 3x + C$. Tính giá trị của biểu thức $4f(-1) + 2g(-1)$ (trả lời kèm dấu).

Câu 13. Trên một đồ thị có $5$ đỉnh, một chu trình Hamilton gồm bao nhiêu cạnh?

Câu 14. Một xe nâng trong kho đang chạy đều thì người lái phát hiện vạch chắn cuối lối ở phía trước. Sau thời gian phản ứng $\rho$ (xe vẫn chạy đều trong khoảng ấy) thì phanh bắt đầu ăn. Đặt $\tau$ là thời gian tính từ lúc phanh bắt đầu ăn. Dữ liệu thử nghiệm cho quãng đường phanh khớp bởi đa thức $s\left(\tau\right) = \dfrac{1}{2}\tau^{3} - \dfrac{15}{2}\tau^{2} + \dfrac{63}{2}\tau$ (mét), đúng trên miền $0 \le \tau \le 8$ giây.

Xe được coi là an toàn nếu khi dừng hẳn, nó còn cách vạch chắn cuối lối ít nhất $\varepsilon$. Hệ thống chỉ đặt được thời gian phản ứng bằng một bội của $\delta$. Hỏi thời gian phản ứng lớn nhất mà hệ thống đặt được và vẫn an toàn bằng bao nhiêu giây?

Câu 15. Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 5}{7x^{2} - 6}$.

Câu 16. Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ có đáy là đa giác $20$ cạnh. Tính số đoạn thẳng ứng với các cạnh của hình lăng trụ.

Câu 17. Một quán ăn cho khách chọn suất ăn, lần lượt qua ba bước: chọn món chính có $3$ cách, rồi chọn món phụ có $6$ cách, rồi chọn đồ uống có $4$ cách. Đếm tổng số cạnh của sơ đồ hình cây.