Tổng hợp 5 đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2026-2027 – Bám sát ma trận

Câu 1. Một quán ăn cho khách chọn suất ăn, lần lượt qua ba bước: chọn món chính có $5$ cách, rồi chọn món phụ có $3$ cách, rồi chọn đồ uống có $2$ cách. Số kết quả có thể xảy ra, tức số lá của sơ đồ hình cây, bằng

1. A. $15$
2. B. $10$
3. C. $30$
4. D. $50$

Câu 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, hypebol $(H): \dfrac{x^2}{256} - \dfrac{y^2}{900} = 1$ có độ dài trục thực bằng

1. A. $256$
2. B. $32$
3. C. $16$
4. D. $60$

Câu 3. Trong mặt phẳng $Oxy$, khoảng cách từ $M(-5; -8)$ đến đường thẳng $\Delta: -5x - 12y - 147 = 0$ bằng

1. A. $-26$
2. B. $26$
3. C. $2$
4. D. $\dfrac{2}{13}$

Câu 4. Từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4$, người ta lập các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số như vậy?

1. A. $24$
2. B. $60$
3. C. $100$
4. D. $48$

Câu 5. Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của biến cố $A$ trong một phép thử có hữu hạn kết quả đồng khả năng bằng

1. A. $P(A) = n(A) - n(\Omega)$
2. B. $P(A) = n(A) \cdot n(\Omega)$
3. C. $P(A) = \dfrac{n(\Omega)}{n(A)}$
4. D. $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$

Câu 6. Đường thẳng $d: -7x - 6y - 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

1. A. $\vec n = (-7; -6)$
2. B. $\vec n = (-6; -7)$
3. C. $\vec n = (-7; -4)$
4. D. $\vec n = (6; -7)$

Câu 7. Một tổ có $6$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Chọn ra đồng thời $3$ học sinh. Có bao nhiêu cách lấy?

1. A. $990$
2. B. $165$
3. C. $135$
4. D. $30$

Câu 8. Cho một hộp có 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Rút hai lần, mỗi lần một viên bi và có hoàn lại. Xác suất đúng một lần được viên bi đỏ bằng

1. A. $\dfrac{25}{144}$
2. B. $\dfrac{119}{144}$
3. C. $\dfrac{35}{144}$
4. D. $\dfrac{35}{72}$

Câu 9. Gieo một đồng xu cân đối $6$ lần và vẽ sơ đồ hình cây cho dãy kết quả. Xác suất có ít nhất $5$ lần mặt ngửa bằng

1. A. $\dfrac{1}{64}$
2. B. $\dfrac{7}{64}$
3. C. $\dfrac{3}{32}$
4. D. $\dfrac{57}{64}$

Câu 10. Bất đẳng thức $2^n > n^2$ đúng với mọi số nguyên dương $n$ kể từ giá trị nào trở đi?

1. A. $n = 4$
2. B. $n = 5$
3. C. $n = 1$
4. D. $n = 2$

Câu 11. Xét mệnh đề $P(n)$: “$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n\left(n+1\right)$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học. Giả thiết quy nạp là

1. A. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = k\left(k+1\right)$
2. B. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2\left(k+1\right) = \left(k+1\right)\left(k+2\right)$
3. C. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n\left(n+1\right)$
4. D. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = n\left(n+1\right)$

Câu 12. Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi $A$ là biến cố “số chấm nhỏ hơn $3$”. Giá trị $P\left(\overline{A}\right)$ bằng

1. A. $2$
2. B. $\dfrac{1}{3}$
3. C. $\dfrac{2}{3}$
4. D. $\dfrac{1}{2}$

Câu 13. Một tổ học sinh có $14$ học sinh, trong đó có $5$ bạn nữ và $9$ bạn nam. Số cách chọn ra ba bạn giữ ba chức vụ khác nhau là tổ trưởng, tổ phó và thủ quỹ bằng

1. A. $2184$
2. B. $42$
3. C. $2744$
4. D. $364$

Câu 14. Trong tam giác Pascal, $C_{9}^{2}$ bằng tổng của hai số nào ở hàng ngay trên?

1. A. $C_{8}^{1} \cdot C_{8}^{2}$
2. B. $C_{9}^{1} + C_{9}^{2}$
3. C. $C_{8}^{1} + C_{8}^{2}$
4. D. $C_{8}^{2} + C_{8}^{3}$

Câu 15. Trong khai triển $\left(x + 2\right)^{8}$, hệ số của $x^{3}$ bằng

1. A. $1792$
2. B. $56$
3. C. $448$
4. D. $32$

Câu 16. Trong mặt phẳng $Oxy$, parabol $(P): y^2 = 16x$ viết dưới dạng chính tắc $y^2 = 2px$. Giá trị của $p$ bằng

1. A. $4$
2. B. $16$
3. C. $32$
4. D. $8$

Câu 17. Xét hai phép thử: gieo một đồng xu $7$ lần, và rút lần lượt $2$ thẻ không hoàn lại từ $5$ thẻ khác nhau.

• a) Số kết quả toàn mặt ngửa bằng $7$.
• b) Các kết quả của phép thử gieo đồng xu đồng khả năng.
• c) Nếu không kể thứ tự rút thì số kết quả là $10$.
• d) Nếu rút thẻ có hoàn lại thì số kết quả là $20$.

Câu 18. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): \left(x - 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = 16$ và điểm $M(2; 3)$ nằm trên $(C)$ (như hình vẽ).

• a) $(C)$ có tâm $I(-2; 1)$.
• b) $(C)$ có bán kính $R = 16$.
• c) Gốc tọa độ $O$ nằm ngoài $(C)$.
• d) $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Câu 19. Một chiếc cổng hình parabol rộng $12$ m và cao $9$ m. Bên cạnh có một chảo thu sóng mặt cắt parabol, đường kính miệng $28$ cm và sâu $7$ cm.

• a) Bán kính miệng chảo bằng $28$ cm.
• b) Đặt đỉnh vòm ở gốc toạ độ thì vòm có dạng $y = 9 - \dfrac{1}{4} x^2$.
• c) Ở độ cao $8$ m, cổng rộng $4$ m.
• d) Mặt cắt chảo có dạng $y^2 = 7 x$ khi đặt đỉnh ở gốc toạ độ và trục chảo là $Ox$.

Câu 20. Xét khai triển $\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^{7}$.

• a) $C_{7}^{3} = 36$.
• b) Số mũ của $x$ trong số hạng tổng quát là $14 - 3k$.
• c) Hệ số của $x^{5}$ bằng $35$.
• d) Khai triển có số hạng chứa $x^{6}$.

Câu 21. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba đường thẳng $d_1: -2x - 3y - 27 = 0$, $d_2: -4x - 6y - 54 = 0$ và $d_3: -6x - 6y - 66 = 0$.

• a) Đường $d_1$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (-2; -3)$.
• b) Hai đường $d_1$ và $d_3$ cắt nhau tại $P(-6; -5)$.
• c) Hai đường $d_1$ và $d_2$ song song.
• d) Nếu $D = 0$ thì hai đường song song hoặc trùng nhau.

Câu 1. Một tổ có $5$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Chọn ra đồng thời $4$ học sinh. Bỏ qua điều kiện trên, có bao nhiêu cách lấy $2$ học sinh từ $5$ học sinh nam?

1. A. $10$
2. B. $66$
3. C. $20$
4. D. $21$

Câu 2. Một tổ máy tráng men gạch được kiểm định bằng hai lượt tráng liên tiếp. Lượt tráng thứ nhất quay một vòng có $5$ ô bằng nhau, trong đó $4$ ô là “đạt”; gọi $E_1$ là biến cố lượt tráng thứ nhất đạt. Vòng quay ở lượt tráng thứ hai được chọn theo kết quả lượt tráng thứ nhất: nếu lượt tráng thứ nhất đạt thì quay vòng có $m = 8$ ô bằng nhau, trong đó $x$ ô là “đạt”; nếu lượt tráng thứ nhất không đạt thì quay vòng có $n = 6$ ô bằng nhau, trong đó $y$ ô là “đạt”. Gọi $E_2$ là biến cố lượt tráng thứ hai đạt. Trên phiếu kĩ thuật, hai con số $x$ và $y$ bị mờ, chỉ còn đọc được $8$ và $6$; biết $1 \le x < 8$ và $1 \le y < 6$. Bản kiểm toán công bố hai số, mỗi số đã làm tròn tới hàng phần trăm, tức tới $1\%$: $P\left(E_2\right) \approx 37\%$ và xác suất để đúng một trong hai lượt tráng đạt là $\approx 77\%$. Một số hiển thị $z\%$ nghĩa là giá trị thật thuộc nửa khoảng $\left[z\% - 0{,}5\%; z\% + 0{,}5\%\right)$. Tổ máy tráng men gạch được coi là đạt yêu cầu khi $P\left(E_1 \cup E_2\right) \ge 88\%$. Báo cáo nào phục hồi đúng hai con số bị mờ và kết luận đúng về ngưỡng?

1. A. $x = 5$, $y = 2$; quy trình không đạt yêu cầu
2. B. $x = 2$, $y = 5$; quy trình đạt yêu cầu
3. C. $x = 6$, $y = 5$; quy trình đạt yêu cầu
4. D. $x = 2$, $y = 5$; quy trình không đạt yêu cầu

Câu 3. Khai triển $\left(x + 3\right)^{8}$ có bao nhiêu số hạng?

1. A. $256$
2. B. $16$
3. C. $9$
4. D. $8$

Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$, parabol $(P): y^2 = 24x$ viết dưới dạng chính tắc $y^2 = 2px$. Giá trị của $p$ bằng

1. A. $12$
2. B. $48$
3. C. $24$
4. D. $6$

Câu 5. Một tổ học sinh có $13$ học sinh, trong đó có $3$ bạn nữ và $10$ bạn nam. Số cách chọn ba bạn đi trực nhật sao cho có ít nhất một bạn nữ bằng

1. A. $120$
2. B. $286$
3. C. $198$
4. D. $166$

Câu 6. Từ 7 kí tự khác nhau, lập một mã gồm 3 kí tự được phép lặp lại. Nếu các kí tự được phép lặp lại thì số cách là

1. A. $343$
2. B. $2187$
3. C. $210$
4. D. $35$

Câu 7. Cho một hộp có 3 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Rút ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất rút được viên bi đỏ bằng

1. A. $\dfrac{5}{8}$
2. B. $3$
3. C. $\dfrac{3}{5}$
4. D. $\dfrac{3}{8}$

Câu 8. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): \left(x + 1\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 100$ và điểm $A(7; 8)$ thuộc $(C)$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ là

1. A. $8x + 6y - 4 = 0$
2. B. $8x + 6y + 96 = 0$
3. C. $8x + 6y - 104 = 0$
4. D. $-6x + 8y - 22 = 0$

Câu 9. Trong mặt phẳng $Oxy$, khoảng cách từ $M(5; -7)$ đến đường thẳng $\Delta: -4y - 64 = 0$ bằng

1. A. $-36$
2. B. $\dfrac{9}{4}$
3. C. $9$
4. D. $36$

Câu 10. Trong tam giác Pascal, $C_{7}^{3}$ bằng tổng của hai số nào ở hàng ngay trên?

1. A. $C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$
2. B. $C_{6}^{2} \cdot C_{6}^{3}$
3. C. $C_{7}^{2} + C_{7}^{3}$
4. D. $C_{6}^{3} + C_{6}^{4}$

Câu 11. Một giỏ có 13 quả cam, 10 quả quýt và 3 quả bưởi. Có bao nhiêu cách chọn một quả bất kì?

1. A. $23$
2. B. $26$
3. C. $390$
4. D. $25$

Câu 12. Gieo một đồng xu $12$ lần. Số phần tử của không gian mẫu là

1. A. $24$
2. B. $4096$
3. C. $4095$
4. D. $144$

Câu 13. Một hộp có $25$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $25$. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $A$ là biến cố “số ghi trên thẻ chia hết cho $5$”. Giá trị $P\left(\overline{A}\right)$ bằng

1. A. $20$
2. B. $\dfrac{1}{5}$
3. C. $\dfrac{4}{5}$
4. D. $4$

Câu 14. Một vòm cổng hình nửa elip rộng $20$ m và cao $5$ m. Chiều cao của vòm tại điểm cách tâm $8$ m bằng

1. A. $4 \text{ m}$
2. B. $3 \text{ m}$
3. C. $5 \text{ m}$
4. D. $\dfrac{3}{2} \text{ m}$

Câu 15. Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi $A$ là biến cố “số chấm chia hết cho $3$”. Giá trị $P\left(\overline{A}\right)$ bằng

1. A. $2$
2. B. $\dfrac{1}{2}$
3. C. $\dfrac{1}{3}$
4. D. $\dfrac{2}{3}$

Câu 16. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $d_1: -2x + 3y - 30 = 0$ và $d_2: 6x - 4y + 60 = 0$. Định thức $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ bằng

1. A. $10$
2. B. $26$
3. C. $0$
4. D. $-10$

Câu 17. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho elip $(E): \dfrac{x^2}{676} + \dfrac{y^2}{576} = 1$.

• a) Nửa trục lớn $a = 676$.
• b) Nửa trục nhỏ $b = 576$.
• c) Một tiêu điểm của $(E)$ là $F(0; 10)$.
• d) Với mọi điểm $M$ trên $(E)$ thì $MF_1 + MF_2 = 52$.

Câu 18. Xét mệnh đề $P(n)$: “$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học.

• a) Giả thiết quy nạp là mệnh đề $P(k+1)$.
• b) Hiệu vế phải của $P(8)$ và $P(7)$ bằng $64$.
• c) Ở bước quy nạp, ta được dùng $P(k)$ để suy ra $P(k+1)$.
• d) Mệnh đề $P(8)$ đúng.

Câu 19. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 3\right)^{2} = 9$ và điểm $M(1; 0)$ nằm trên $(C)$ (như hình vẽ).

• a) $(C)$ có tâm $I(1; -3)$.
• b) $IM = 3$.
• c) Gốc tọa độ $O$ nằm ngoài $(C)$.
• d) $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Câu 20. Từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4$, người ta lập các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau.

• a) Lập được tất cả $48$ số.
• b) Có $12$ số có chữ số hàng cao nhất bằng $4$.
• c) Có $12$ số chứa chữ số $0$.
• d) Có $12$ số nhỏ hơn $200$.

Câu 21. Xét khai triển $\left(2x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^{9}$.

• a) Muốn tìm hệ số của một số hạng thì chỉ cần tính $C_n^k$ với $k$ bằng chính số mũ ấy.
• b) Trong số hạng tổng quát, tổng hai số mũ của $2$ và $1$ bằng $10$.
• c) Số mũ của $x$ trong số hạng tổng quát là $18 - 3k$.
• d) Khai triển có số hạng chứa $x^{1}$.

Câu 22. Chứng minh bằng quy nạp rằng $A_n = 9^n - 1$ chia hết cho $8$ với mọi số nguyên dương $n$.

• a) $A_1 = 9$.
• b) $A_{k+1} = A_k + 9$.
• c) Phần dư trong cách tách ấy chia hết cho $8$.
• d) Bất đẳng thức $2^n > n^2$ đúng với mọi $n$ kể từ $n = 1$.

Câu 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và phân biệt. Xác suất tích hai số chấm là số lẻ bằng

1. A. $\dfrac{1}{6}$
2. B. $\dfrac{1}{2}$
3. C. $\dfrac{3}{4}$
4. D. $\dfrac{1}{4}$

Câu 2. Đường thẳng $d: 6x + y = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

1. A. $\vec n = (-1; 6)$
2. B. $\vec n = (6; 1)$
3. C. $\vec n = (6; 2)$
4. D. $\vec n = (1; 6)$

Câu 3. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^{2} + y^{2} - 10x - 6y + 9 = 0$ và điểm $M(5; 8)$ nằm trên $(C)$ (như hình vẽ). Bán kính của $(C)$ bằng:

1. A. $5$
2. B. $10$
3. C. $25$
4. D. $2{,}5$

Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$, parabol $(P): y^2 = 16x$ có tiêu điểm là

1. A. $F(4; 0)$
2. B. $F(16; 0)$
3. C. $F(0; 4)$
4. D. $F(8; 0)$

Câu 5. Một tổ có 9 bạn nam, 6 bạn nữ và 10 bạn dự bị. Có bao nhiêu cách chọn một bạn nam và một bạn nữ?

1. A. $25$
2. B. $54$
3. C. $540$
4. D. $15$

Câu 6. Một vòm cổng hình nửa elip rộng $52$ m và cao $13$ m. Chiều cao của vòm tại điểm cách tâm $10$ m bằng

1. A. $12 \text{ m}$
2. B. $6 \text{ m}$
3. C. $13 \text{ m}$
4. D. $5 \text{ m}$

Câu 7. Trong mặt phẳng $Oxy$, hypebol $(H): \dfrac{x^2}{49} - \dfrac{y^2}{576} = 1$ có tiêu cự bằng

1. A. $25$
2. B. $625$
3. C. $34$
4. D. $50$

Câu 8. Xét mệnh đề $P(n)$: “$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n\left(n+1\right)$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học. Ở bước cơ sở, đẳng thức cần kiểm tra là

1. A. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = k\left(k+1\right)$
2. B. $2\left(1\right) = 6$
3. C. $2\left(1\right) = 2$
4. D. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2\left(k+1\right) = \left(k+1\right)\left(k+2\right)$

Câu 9. Gieo một đồng xu $11$ lần. Số phần tử của không gian mẫu là

1. A. $121$
2. B. $2047$
3. C. $2048$
4. D. $22$

Câu 10. Cho một túi có 7 quả bóng vàng và 6 quả bóng trắng. Rút ngẫu nhiên một quả bóng. Xác suất rút được quả bóng vàng bằng

1. A. $\dfrac{6}{13}$
2. B. $7$
3. C. $\dfrac{7}{6}$
4. D. $\dfrac{7}{13}$

Câu 11. Biến cố $B$ có $P\left(\overline{B}\right) = 0{,}1$. Giá trị $P(B)$ bằng

1. A. $0{,}9$
2. B. $0{,}1$
3. C. $1{,}1$
4. D. $0{,}05$

Câu 12. Từ 6 kí tự khác nhau, lập một mã gồm 3 kí tự đôi một khác nhau. Số cách là

1. A. $20$
2. B. $720$
3. C. $216$
4. D. $120$

Câu 13. Trên bản đồ toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên hai trục là mét), người ta chọn hành lang cáp ngầm là một đường thẳng. Đường chuẩn của khu là $d_0: x - 3y + 5 = 0$, và hướng đi ưu tiên là $\vec w = (-1; 1)$. Hai mốc bảo vệ có toạ độ đã làm tròn tới hàng đơn vị, nên mốc thật nằm đâu đó trong hình vuông cạnh $1$ mét có tâm là điểm ghi:

Hành lang cáp ngầm được nhận khi thoả đồng thời ba điều kiện: góc nhọn giữa nó và $d_0$ nằm trong khoảng từ $30^\circ$ đến $60^\circ$; vectơ chỉ hướng đi tạo với $\vec w = (-1; 1)$ một tích vô hướng dương; và khoảng cách từ mốc thật tới nó không nhỏ hơn ngưỡng của mốc — với mọi vị trí thật có thể của cả hai mốc. Hành lang nào thoả đồng thời cả ba điều kiện?

1. A. $x + 3y - 8 = 0$, hướng đi $\vec u = (-3; 1)$
2. B. $3x - 2y - 5 = 0$, hướng đi $\vec u = (2; 3)$
3. C. $3x - y + 17 = 0$, hướng đi $\vec u = (-1; -3)$
4. D. $2x + y + 10 = 0$, hướng đi $\vec u = (-1; 2)$

Câu 14. Từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7$, người ta lập các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số lớn hơn $400$?

1. A. $256$
2. B. $168$
3. C. $42$
4. D. $126$

Câu 15. Một giá sách có $7$ quyển sách môn Toán và $4$ quyển sách môn Ngữ văn. Lấy ra đồng thời $4$ quyển sách. Có bao nhiêu cách lấy được đúng $3$ quyển sách môn Toán và $1$ quyển sách môn Ngữ văn?

1. A. $28$
2. B. $39$
3. C. $140$
4. D. $840$

Câu 16. Một nhà trường xếp lịch một buổi ngoại khoá, lần lượt qua ba bước: chọn phòng có $2$ cách, rồi chọn khung giờ có $4$ cách, rồi chọn người phụ trách có $3$ cách. Vẽ sơ đồ hình cây, số nhánh mọc ra từ mỗi nút ở tầng chọn phòng bằng

1. A. $3$
2. B. $2$
3. C. $4$
4. D. $8$

Câu 17. Gieo một đồng xu cân đối $4$ lần và vẽ sơ đồ hình cây cho dãy kết quả.

• a) Mọi nhánh của sơ đồ có khả năng khác nhau.
• b) Số nhánh toàn mặt ngửa bằng $4$.
• c) Số nhánh có đúng $1$ lần mặt ngửa bằng $2$.
• d) Xác suất có đúng $1$ lần mặt ngửa bằng $\dfrac{1}{4}$.

Câu 18. Xếp 8 cuốn sách khác nhau thành một hàng ngang.

• a) Quy ước $0!$ bằng $0$.
• b) Số cách xếp khi một cuốn sách đã chỉ định đứng đầu bằng $5040$.
• c) $(8)! = 8 \cdot (8 - 1)!$
• d) Nếu thêm một cuốn sách nữa vào hàng thì số cách xếp nhân lên $9$ lần.

Câu 19. Xét khai triển $\left(x^2 + \dfrac{3}{x}\right)^{7}$.

• a) $C_{7}^{4} = 35$.
• b) Số mũ của $x$ trong số hạng tổng quát là $14 - 3k$.
• c) Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 4$.
• d) Khai triển có số hạng chứa $x^{3}$.

Câu 20. Một câu lạc bộ có $15$ thành viên, trong đó có $3$ bạn nữ và $12$ bạn nam.

• a) Số cách chọn ba bạn giữ ba chức vụ khác nhau bằng $455$.
• b) Số cách chọn ba bạn toàn nam bằng $1$.
• c) Số cách chọn ba bạn có đúng một bạn nữ bằng $198$.
• d) $A_{15}^3$ gấp $3$ lần $C_{15}^3$.

Câu 21. Xét hàng thứ $11$ của tam giác Pascal, đánh số hàng bắt đầu từ $0$.

• a) Hàng ấy có $12$ số.
• b) Số đầu tiên và số cuối cùng của hàng đều bằng $11$.
• c) $C_{11}^{9} = C_{10}^{8} + C_{10}^{9}$.
• d) $C_{11}^{9} = C_{11}^{10}$.

Câu 22. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho elip $(E): \dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{25} = 1$.

• a) Tâm sai của một elip luôn lớn hơn $1$.
• b) $c = 12$.
• c) Một tiêu điểm của $(E)$ là $F(0; 12)$.
• d) Với mọi điểm $M$ trên $(E)$ thì $MF_1 + MF_2 = 24$.

Câu 1. Một hộp có $20$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $A$ là biến cố “số ghi trên thẻ chia hết cho $4$”. Giá trị $P(A)$ bằng

1. A. $\dfrac{3}{4}$
2. B. $5$
3. C. $\dfrac{1}{3}$
4. D. $\dfrac{1}{4}$

Câu 2. Cho một túi có 6 quả bóng vàng và 3 quả bóng trắng. Rút hai lần, mỗi lần một quả bóng và có hoàn lại. Xác suất cả hai lần đều được quả bóng vàng bằng

1. A. $\dfrac{4}{9}$
2. B. $\dfrac{2}{3}$
3. C. $\dfrac{4}{3}$
4. D. $\dfrac{5}{12}$

Câu 3. Xét mệnh đề $P(n)$: “$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n\left(n+1\right)$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học. Ở bước quy nạp, điều cần chứng minh là

1. A. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2\left(k+1\right) = k\left(k+1\right)$
2. B. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2\left(k+1\right) = \left(k+1\right)\left(k+2\right)$
3. C. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2\left(1\right) = 1\left(1+1\right)$
4. D. $2 + 4 + 6 + \cdots + 2k = k\left(k+1\right)$

Câu 4. Khai triển $\left(x + 2\right)^{11}$ có bao nhiêu số hạng?

1. A. $12$
2. B. $11$
3. C. $22$
4. D. $2048$

Câu 5. Trong mặt phẳng $Oxy$, parabol $(P): y^2 = 28x$ viết dưới dạng chính tắc $y^2 = 2px$. Giá trị của $p$ bằng

1. A. $7$
2. B. $56$
3. C. $14$
4. D. $28$

Câu 6. Trên bản đồ toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên hai trục là mét), người ta chọn hành lang cáp ngầm là một đường thẳng. Đường chuẩn của khu là $d_0: 3x - 2y + 6 = 0$, và hướng đi ưu tiên là $\vec w = (3; -3)$. Hai mốc bảo vệ có toạ độ đã làm tròn tới hàng đơn vị, nên mốc thật nằm đâu đó trong hình vuông cạnh $1$ mét có tâm là điểm ghi:

Hành lang cáp ngầm được nhận khi thoả đồng thời ba điều kiện: góc nhọn giữa nó và $d_0$ nằm trong khoảng từ $30^\circ$ đến $60^\circ$; vectơ chỉ hướng đi tạo với $\vec w = (3; -3)$ một tích vô hướng dương; và khoảng cách từ mốc thật tới nó không nhỏ hơn ngưỡng của mốc — với mọi vị trí thật có thể của cả hai mốc. Hành lang nào thoả đồng thời cả ba điều kiện?

1. A. $x - 5y + 24 = 0$, hướng đi $\vec u = (5; 1)$
2. B. $5x + y + 21 = 0$, hướng đi $\vec u = (1; -5)$
3. C. $5x + 2y + 33 = 0$, hướng đi $\vec u = (-2; 5)$
4. D. $3x - y - 30 = 0$, hướng đi $\vec u = (-1; -3)$

Câu 7. Gieo một con xúc xắc $3$ lần. Số kết quả đồng khả năng là

1. A. $20$
2. B. $120$
3. C. $216$
4. D. $18$

Câu 8. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 31 = 0$ và điểm $M(1; 8)$ nằm trên $(C)$ (như hình vẽ). Bán kính của $(C)$ bằng:

1. A. $3$
2. B. $36$
3. C. $12$
4. D. $6$

Câu 9. Xác suất của biến cố chắc chắn và của biến cố không thể lần lượt bằng

1. A. $1$ và $0$
2. B. $0$ và $0$
3. C. $1$ và $1$
4. D. $0$ và $1$

Câu 10. Đường thẳng $d: -2x - y - 5 = 0$ có một vectơ chỉ phương là

1. A. $\vec u = (-1; -2)$
2. B. $\vec u = (1; -2)$
3. C. $\vec u = (-2; -1)$
4. D. $\vec u = (-2; 1)$

Câu 11. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và phân biệt. Xác suất của biến cố đối của biến cố “có ít nhất một con ra mặt sáu chấm” bằng

1. A. $\dfrac{11}{36}$
2. B. $\dfrac{25}{36}$
3. C. $\dfrac{2}{3}$
4. D. $\dfrac{25}{11}$

Câu 12. Số đứng ở vị trí thứ $10$ của hàng thứ $12$ trong tam giác Pascal bằng

1. A. $66$
2. B. $12$
3. C. $55$
4. D. $220$

Câu 13. Một bạn chọn trang phục đi chơi, lần lượt qua ba bước: chọn áo có $4$ cách, rồi chọn quần có $2$ cách, rồi chọn mũ có $3$ cách. Vẽ sơ đồ hình cây, số nhánh mọc ra từ mỗi nút ở tầng chọn áo bằng

1. A. $4$
2. B. $8$
3. C. $2$
4. D. $3$

Câu 14. Một giá sách có $7$ quyển sách môn Toán và $4$ quyển sách môn Ngữ văn. Lấy ra đồng thời $3$ quyển sách. Bỏ qua điều kiện trên, có bao nhiêu cách lấy $3$ quyển sách từ $7$ quyển sách môn Toán?

1. A. $165$
2. B. $210$
3. C. $4$
4. D. $35$

Câu 15. Biến cố $B$ có $P\left(\overline{B}\right) = 0{,}35$. Giá trị $P(B)$ bằng

1. A. $0{,}65$
2. B. $0{,}35$
3. C. $0{,}17$
4. D. $1{,}35$

Câu 16. Một giỏ có 15 quả cam, 8 quả quýt và 7 quả bưởi. Có bao nhiêu cách chọn một quả bất kì?

1. A. $23$
2. B. $840$
3. C. $30$
4. D. $29$

Câu 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng $\Delta_1: -3y + 27 = 0$ và $\Delta_2: 8x - 15y = 0$. Cosin góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng

1. A. $\dfrac{15}{17}$
2. B. $\dfrac{-15}{17}$
3. C. $\dfrac{8}{17}$
4. D. $\dfrac{9}{4}$

Câu 2. Với $2 \leq k \leq n$, hệ thức nào sau đây đúng?

1. A. $C_{n}^{k} = k! \cdot A_{n}^{k}$
2. B. $A_{n}^{k} = C_{n}^{k}$
3. C. $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$
4. D. $A_{n}^{k} = n! \cdot C_{n}^{k}$

Câu 3. Cho một khay có 2 chiếc bút xanh và 3 chiếc bút đen. Rút ngẫu nhiên một chiếc bút. Xác suất rút được chiếc bút xanh bằng

1. A. $\dfrac{2}{3}$
2. B. $2$
3. C. $\dfrac{3}{5}$
4. D. $\dfrac{2}{5}$

Câu 4. Một tổ có 15 bạn nam, 10 bạn nữ và 7 bạn dự bị. Có bao nhiêu cách chọn một bạn nam và một bạn nữ?

1. A. $25$
2. B. $150$
3. C. $32$
4. D. $1050$

Câu 5. Từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6$, người ta lập các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số chẵn?

1. A. $1176$
2. B. $300$
3. C. $420$
4. D. $480$

Câu 6. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và phân biệt. Xác suất có ít nhất một con ra mặt sáu chấm bằng

1. A. $\dfrac{1}{3}$
2. B. $\dfrac{11}{12}$
3. C. $\dfrac{25}{36}$
4. D. $\dfrac{11}{36}$

Câu 7. Một hộp có $15$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $15$. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $A$ là biến cố “số ghi trên thẻ chia hết cho $4$”. Giá trị $P(A)$ bằng

1. A. $\dfrac{1}{4}$
2. B. $3$
3. C. $\dfrac{4}{5}$
4. D. $\dfrac{1}{5}$