Tổng hợp 10 đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2026-2027 – Chinh phục 9+

Câu 1. Một cơ sở may công nghiệp nghiệm thu lô áo bằng cách lấy mẫu: kiểm $n$ áo lấy ngẫu nhiên và chấp nhận lô áo nếu số áo lỗi trong mẫu không vượt $c$. Coi các áo được kiểm là độc lập và cùng có xác suất lỗi $p$, nên số áo lỗi trong mẫu tuân theo phân phối nhị thức $B\left(n; p\right)$. Hai chuẩn rủi ro phải đạt đồng thời: $\left(1\right)$ nếu lô áo tốt, tức $p = 2\%$, thì xác suất chấp nhận phải ít nhất $90\%$; $\left(2\right)$ nếu lô áo xấu, tức $p = 17\%$, thì xác suất chấp nhận phải nhiều nhất $13\%$. Để cộng tổng tích luỹ nhanh, có thể dùng truy hồi $p_0 = \left(1 - p\right)^n$ và $p_{k+1} = p_k \cdot \dfrac{n - k}{k + 1} \cdot \dfrac{p}{1 - p}$, rồi lấy $A = p_0 + p_1 + \cdots + p_c$. Bốn kế hoạch được chào:

Trong các kế hoạch đạt cả hai chuẩn, chọn kế hoạch có tổng chi phí nhỏ nhất (tổng chi phí bằng chi phí cố định cộng chi phí mỗi mẫu nhân cỡ mẫu); nếu hoà thì chọn cỡ mẫu nhỏ hơn. Nên chọn kế hoạch nào?

1. A. kiểm $n = 20$, chấp nhận khi số lỗi $\le 1$; chi phí cố định $30$ và $7$ mỗi mẫu (nghìn đồng)
2. B. kiểm $n = 23$, chấp nhận khi số lỗi $\le 0$; chi phí cố định $50$ và $7$ mỗi mẫu (nghìn đồng)
3. C. kiểm $n = 6$, chấp nhận khi số lỗi $\le 1$; chi phí cố định $90$ và $3$ mỗi mẫu (nghìn đồng)
4. D. kiểm $n = 22$, chấp nhận khi số lỗi $\le 1$; chi phí cố định $50$ và $4$ mỗi mẫu (nghìn đồng)

Câu 2. Một máy sản xuất 3 sản phẩm một cách độc lập. Xác suất mỗi sản phẩm đạt chuẩn bằng $\dfrac{2}{5}$. Xác suất có ít nhất $2$ sản phẩm đạt chuẩn bằng

1. A. $\dfrac{81}{125}$
2. B. $\dfrac{8}{125}$
3. C. $\dfrac{36}{125}$
4. D. $\dfrac{44}{125}$

Câu 3. Một đường đặc tính của bơm được mô tả bởi hàm số $f\left(x\right) = mx + n + \dfrac{r}{x - c}$, trong đó $m \ne 0$, $r \ne 0$ và $c$ là một số nguyên. Đường tiệm cận xiên đọc được chính xác là $y = 4x - 3$; còn $c$ chỉ biết thuộc tập $\left\{-7; -5; -1; 1; 2; 6\right\}$. Quanh tiệm cận đứng, quan sát cho thấy nhánh bên trái đi lên $+\infty$, nhánh bên phải đi xuống $-\infty$. Bộ ghi lưu bốn điểm đo, trong đó đúng ba điểm nằm trên đường cong và một điểm bị ghi sai tung độ:

Bốn báo cáo được nộp, mỗi báo cáo nêu $c$, $r$, điểm bị ghi sai và hai đường tiệm cận. Báo cáo nào là báo cáo duy nhất đúng?

1. A. $c = 1$, $r = 12$; điểm sai là $M_{3}$; tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = 4x - 3$
2. B. $c = -1$, $r = -24$; điểm sai là $M_{1}$; tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận xiên $y = 4x - 3$
3. C. $c = 1$, $r = -12$; điểm sai là $M_{3}$; tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = 4x - 3$
4. D. $c = 1$, $r = -12$; điểm sai là $M_{3}$; tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = -3$

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Bảng biến thiên của hàm số cho biết $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$; hàm số đồng biến trên $\left(-\infty; -6\right)$ và $\left(-5; +\infty\right)$, nghịch biến trên $\left(-6; -5\right)$; $f(-6) = 3$, $f(-5) = -4$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có đúng 3 nghiệm phân biệt là

1. A. $7$
2. B. $6$
3. C. $8$
4. D. $5$

Câu 5. Khảo sát điểm kiểm tra môn Toán của $51$ học sinh, kết quả ghi ở bảng sau.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

1. A. $5$
2. B. $1$
3. C. $3{,}11$
4. D. $4$

Câu 6. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh $12$ cm, người ta cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ cạnh $x$ ở bốn góc rồi gấp các mép lên để được chiếc khay không nắp. Giá trị $x$ cho thể tích hộp lớn nhất bằng

1. A. $8 \text{ cm}$
2. B. $6 \text{ cm}$
3. C. $2 \text{ cm}$
4. D. $3 \text{ cm}$

Câu 7. Khảo sát $100$ học sinh của một trường: $20$ em vừa có học thêm ($A$) vừa đạt điểm khá trở lên ($B$), $30$ em chỉ có học thêm, $40$ em chỉ đạt điểm khá trở lên và $10$ em không thuộc nhóm nào. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất xảy ra đúng một trong hai biến cố $A$, $B$.

1. A. $\dfrac{7}{10}$
2. B. $\dfrac{1}{5}$
3. C. $\dfrac{4}{5}$
4. D. $\dfrac{9}{10}$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec u = (2; -6; -9)$ và $\vec v = (4; 5; -4)$. Tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$ bằng

1. A. $14$
2. B. $-22$
3. C. $-14$
4. D. $-8640$

Câu 9. Cho hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 3}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$.

1. A. $10\pi$
2. B. $8$
3. C. $16\pi$
4. D. $8\pi$

Câu 10. Hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - 24x + 6$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

1. A. $\left(-\infty; -4\right)$
2. B. $\left(-4; 2\right)$
3. C. $\left(-2; 4\right)$
4. D. $\left(2; +\infty\right)$

Câu 11. Một thùng hàng có $2$ sản phẩm loại I và $12$ sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được sản phẩm loại I.

1. A. $\dfrac{1}{13}$
2. B. $\dfrac{1}{98}$
3. C. $\dfrac{1}{91}$
4. D. $\dfrac{1}{49}$

Câu 12. Một cơ sở may bán áo sơ mi. Khi sản xuất $x$ chiếc thì giá bán mỗi chiếc, tính bằng nghìn đồng, là $p(x) = -5x + 320$. Sản lượng cho doanh thu lớn nhất bằng

1. A. $64 \text{ chiếc}$
2. B. $32 \text{ chiếc}$
3. C. $30 \text{ chiếc}$
4. D. $320 \text{ chiếc}$

Câu 13. Cho hai hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ và $\int g(x)\,dx = G(x) + C$, trong đó $F(x) = 3x^{2} - 4x$ và $G(x) = -x^{3} - x$.

• a) $\int f(x)g(x)\,dx = F(x) \cdot G(x) + C$.
• b) $\int \left(4f(x) - 3g(x)\right)\,dx = 3x^{3} + 12x^{2} - 13x + C$.
• c) $4f(-1) - 3g(-1) = -28$.
• d) Nếu $H_1(x)$ và $H_2(x)$ cùng là nguyên hàm của $4f(x) - 3g(x)$ thì $H_1(x) - H_2(x)$ là một hằng số.

Câu 14. Một xưởng in chia đơn hàng thành từng lô, mỗi lô $x$ nghìn bản. Tổng chi phí mỗi đợt, tính bằng triệu đồng, gồm chi phí bảo quản bằng $15x$ và chi phí thiết lập máy bằng $\dfrac{1500}{x}$, tức $C(x) = 15x + \dfrac{1500}{x}$ với $x > 0$.

• a) Chi phí nhỏ nhất đạt tại $x = 10$ nghìn bản.
• b) Tại mức tối ưu, hai thành phần chi phí chênh nhau gấp đôi.
• c) $C\left(6\right) = 340$ triệu đồng.
• d) Chọn $x = 6$ nghìn bản thì chi phí thấp hơn mức tối ưu.

Câu 15. Cho $A\left(-5; 4; 0\right)$, $B\left(-10; -6; 10\right)$. Điểm $M$ thuộc $AB$, $AM:MB=4:1$. Tính hoành độ của $M$ (trả lời kèm dấu).

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(3; 1; -3)$, $B(2; 0; 3)$, $C(-2; 2; 3)$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tính độ dài trung tuyến $AM$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 17. Gửi $100$ triệu đồng theo lãi kép $20\%$ một kì, sau một số kì thu được khoảng $144$ triệu đồng. Tính số kì đã gửi.

Câu 1. Hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba $y = f(x)$. Hai điểm cực trị của đồ thị được đánh dấu là $A(-2; 5)$ và $B(0; 1)$. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = -1$ là

1. A. $2$
2. B. $0$
3. C. $3$
4. D. $1$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y - 2z - 10 = 0$ và đường thẳng $d: \begin{cases}x = 4 - t \\ y = -3 \\ z = 3 + t\end{cases}$. Sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:

1. A. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. B. $1$
3. C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
4. D. $\dfrac{1}{2}$

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left(x + 3\right)\left(3 - x\right)$ và trục hoành.

1. A. $12$
2. B. $144$
3. C. $72$
4. D. $216$

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3; -1; 1)$, $B(1; -1; -1)$ và $C(5; -1; -1)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng:

1. A. $90^\circ$
2. B. $30^\circ$
3. C. $150^\circ$
4. D. $45^\circ$

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0; 2; 3)$ và $B(0; 5; 7)$. Tính $AB^{2}$.

1. A. $7$
2. B. $25$
3. C. $5$
4. D. $49$

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 7x - 4y + 4z + 12 = 0$ và $(Q): 7x - 4y + 4z + 21 = 0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng:

1. A. $9$
2. B. $\dfrac{1}{9}$
3. C. $\dfrac{3}{5}$
4. D. $1$

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{5x + 4}{4x + 5}$. Giá trị $ad - bc$ quyết định dấu của đạo hàm bằng

1. A. $9$
2. B. $-9$
3. C. $0$
4. D. $41$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; -2; 3)$ và $B(6; -6; 1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

1. A. $10$
2. B. $\sqrt{32}$
3. C. $6$
4. D. $36$

Câu 9. Một đường đặc tính của bơm được mô tả bởi hàm số $f\left(x\right) = mx + n + \dfrac{r}{x - c}$, trong đó $m \ne 0$, $r \ne 0$ và $c$ là một số nguyên. Đường tiệm cận xiên đọc được chính xác là $y = 2x + 14$; còn $c$ chỉ biết thuộc tập $\left\{-9; -4; -1; 0; 1; 8\right\}$. Quanh tiệm cận đứng, quan sát cho thấy nhánh bên trái đi lên $+\infty$, nhánh bên phải đi xuống $-\infty$. Bộ ghi lưu bốn điểm đo, trong đó đúng ba điểm nằm trên đường cong và một điểm bị ghi sai tung độ:

Bốn báo cáo được nộp, mỗi báo cáo nêu $c$, $r$, điểm bị ghi sai và hai đường tiệm cận. Báo cáo nào là báo cáo duy nhất đúng?

1. A. $c = 0$, $r = 45$; điểm sai là $M_{1}$; tiệm cận đứng $x = 0$ và tiệm cận xiên $y = 2x + 14$
2. B. $c = 0$, $r = -45$; điểm sai là $M_{1}$; tiệm cận đứng $x = 0$ và tiệm cận xiên $y = 2x + 14$
3. C. $c = -1$, $r = -48$; điểm sai là $M_{2}$; tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận xiên $y = 2x + 14$
4. D. $c = 0$, $r = -45$; điểm sai là $M_{1}$; tiệm cận đứng $x = 0$ và tiệm cận ngang $y = 14$

Câu 10. Đầu tư $60$ triệu đồng và thu về $105$ triệu đồng. Lợi nhuận trên vốn, tính theo phần trăm, bằng

1. A. $75$
2. B. $42$
3. C. $175$
4. D. $45$

Câu 11. Một trạm khí nén dùng máy chụp cắt lớp kiểm tra một bình cầu chịu áp, đặt trong hệ toạ độ $Oxyz$ với đơn vị $\text{cm}$. Máy cắt bình bằng ba mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ và ghi lại, với mỗi lát cắt, tâm đường tròn lát cắt (theo hai trục còn lại) cùng bán kính của nó.

Biết ba tâm lát cắt đều đúng, nhưng đúng một trong ba bán kính đã bị ghi sai; nhãn ba mặt phẳng cũng đúng. Nhắc lại: mặt phẳng cách tâm mặt cầu một khoảng $d$ thì cắt mặt cầu bán kính $R$ theo đường tròn bán kính $\rho$ với $\rho^2 = R^2 - d^2$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu ấy?

1. A. $x^2 + y^2 + z^2 - 18x + 10y + 4z - 1274 = 0$
2. B. $x^2 + y^2 + z^2 - 18x - 10y + 4z - 1335 = 0$
3. C. $x^2 + y^2 + z^2 + 10x + 4y - 18z - 1342 = 0$
4. D. $x^2 + y^2 + z^2 - 18x + 10y + 4z - 1335 = 0$

Câu 12. Trong một quần thể, tỉ lệ có lỗi là $0{,}08$. Một máy kiểm tra cho kết quả báo lỗi với xác suất $0{,}95$ khi đối tượng thật sự có lỗi, và với xác suất $0{,}05$ khi đối tượng không có lỗi. Biết một đối tượng có kết quả báo lỗi, xác suất đối tượng đó thực ra không có lỗi bằng (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).

1. A. $0{,}05$
2. B. $0{,}377$
3. C. $0{,}623$
4. D. $0{,}92$

Câu 13. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh $24$ cm, người ta cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ cạnh $x$ ở bốn góc rồi gấp các mép lên để được chiếc khay không nắp. Ngoài ra xét các hình chữ nhật có chu vi $60$ cm.

• a) Cạnh đáy hộp bằng $24 - 2x$.
• b) Thể tích lớn nhất đạt tại $x = 12$ cm.
• c) Thể tích lớn nhất bằng $1024$ cm$^3$.
• d) Nghiệm của phương trình đạo hàm bằng không phải kiểm lại xem có thuộc miền thực tế không.

Câu 14. Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + 3x^{2} + x - 4$ có đồ thị $(C)$.

• a) $(C)$ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
• b) $f(x)$ là hàm số lẻ.
• c) $(C)$ nhận đường thẳng $x = -1$ làm trục đối xứng.
• d) $f\left(-2\right) + f\left(0\right) = -6$.

Câu 15. Một mẫu số liệu có $Q_1 = 12$ và $Q_3 = 31$. Tính khoảng tứ phân vị.

Câu 16. Một dây chuyền nạp liệu có tốc độ nạp thay đổi theo thời gian $t$ (giờ) như sau: từ lúc $t = 0$, tốc độ nạp tăng đều theo $r\left(t\right) = 30 + 7t$ (tấn/giờ); từ một thời điểm chuyển $\tau$ trở đi, tốc độ nạp giảm đều với tốc độ giảm $1$ tấn/giờ mỗi giờ, và không có bước nhảy tại $\tau$. Quá trình kéo dài tới $T = 24$ giờ. Thời điểm chuyển $\tau$ là một số nguyên thoả $4 \le \tau \le 19$, nhưng bản ghi đã mất. Hai đồng hồ tích luỹ đặt độc lập, mỗi cái cộng dồn trên một cửa sổ thời gian riêng (hai cửa sổ chồng lấn nhau), và báo:

Cả hai số đều đã làm tròn đến bội gần nhất của $200$ tấn. Tìm thời điểm chuyển $\tau$ (theo giờ).

Câu 17. Hàm số $y = x^{3} - 9x^{2} + 24x - 5$ nghịch biến trên khoảng $(m; n)$. Tính $m + n$.

Câu 18. Gửi $9$ triệu đồng theo lãi kép $8\%$ một năm trong $2$ năm. Tính tiền lãi thu được, đơn vị triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất

Giá trị $P(X \geq 1)$ bằng

1. A. $0{,}92$
2. B. $0{,}88$
3. C. $0{,}08$
4. D. $0{,}04$

Câu 2. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = 3t - 6$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây. Tính độ dịch chuyển của chất điểm trong $5$ giây đầu tiên.

1. A. $37{,}5\,\text{m}$
2. B. $19{,}5\,\text{m}$
3. C. $13{,}5\,\text{m}$
4. D. $7{,}5\,\text{m}$

Câu 3. Một doanh nghiệp bán sản phẩm với giá $p$ thì lượng cầu là $q(p) = 55 - p$. Chi phí biến đổi là $9$ trên mỗi sản phẩm và chi phí cố định là $80$. Giá bán tối ưu là

1. A. $23$
2. B. $32$
3. C. $64$
4. D. $9$

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z - 2}{2}$ và $d_2: \dfrac{x}{-9} = \dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{z}{-6}$. Vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ là:

1. A. $d_1$ và $d_2$ chéo nhau
2. B. $d_1$ và $d_2$ cắt nhau
3. C. $d_1$ và $d_2$ song song với nhau
4. D. $d_1$ và $d_2$ trùng nhau

Câu 5. Trong một quần thể, tỉ lệ có lỗi là $0{,}08$. Một máy kiểm tra cho kết quả báo lỗi với xác suất $0{,}96$ khi đối tượng thật sự có lỗi, và với xác suất $0{,}12$ khi đối tượng không có lỗi. Biết một đối tượng có kết quả báo lỗi, xác suất đối tượng đó thật sự có lỗi bằng (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).

1. A. $0{,}96$
2. B. $0{,}08$
3. C. $0{,}4103$
4. D. $0{,}5897$

Câu 6. Khảo sát thời gian tự học trong một tuần của $46$ học sinh, kết quả ghi ở bảng sau.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào?

1. A. $4{,}5$
2. B. $8{,}36$
3. C. $10$
4. D. $3{,}86$

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-1; 1; 3)$, $B(7; 2; -1)$, $C(4; -3; -1)$, $D(3; -3; 1)$. Tọa độ của vectơ $3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{CD}$ là:

1. A. $(22; 3; -8)$
2. B. $(26; 3; -16)$
3. C. $(22; 1; -2)$
4. D. $(13; 2; -2)$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $M(1; -1; -2)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 4x - 3y - 17 = 0$. Bán kính của mặt cầu bằng:

1. A. $2$
2. B. $10$
3. C. $\dfrac{10}{7}$
4. D. $\dfrac{2}{5}$

Câu 9. Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất

Kì vọng $E(X)$ bằng

1. A. $2{,}8$
2. B. $4{,}8$
3. C. $10$
4. D. $3{,}33$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \begin{cases}x = -4t \\ y = 5 - 3t \\ z = -5 - 3t\end{cases}$ với $t \in \mathbb{R}$. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

1. A. $(0; 5; -5)$
2. B. $(-4; -3; -3)$
3. C. $(0; -5; 5)$
4. D. $(-4; 3; -3)$

Câu 11. Cho hàm số $f(x) = -6\left(2x - 5\right)^{2}$. Biết $F(x) = -\left(2x - 5\right)^{3} + C$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(2) = 8$. Giá trị của $C$ bằng:

1. A. $9$
2. B. $14$
3. C. $7$
4. D. $8$

Câu 12. Một xưởng đóng tàu dùng máy quét laser kiểm tra một phao cầu định vị, đặt trong hệ toạ độ $Oxyz$ với đơn vị $\text{cm}$. Máy cắt phao bằng ba mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ và ghi lại, với mỗi lát cắt, tâm đường tròn lát cắt (theo hai trục còn lại) cùng bán kính của nó.

Biết ba tâm lát cắt đều đúng, nhưng đúng một trong ba bán kính đã bị ghi sai; nhãn ba mặt phẳng cũng đúng. Nhắc lại: mặt phẳng cách tâm mặt cầu một khoảng $d$ thì cắt mặt cầu bán kính $R$ theo đường tròn bán kính $\rho$ với $\rho^2 = R^2 - d^2$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu ấy?

1. A. $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16y - 4z - 830 = 0$
2. B. $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16y + 4z - 2141 = 0$
3. C. $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16y - 4z - 2141 = 0$
4. D. $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 16y - 8z - 1704 = 0$

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d: \begin{cases}x = 3 + t \\ y = -3 - t \\ z = 1\end{cases}$.

• a) $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2; 2; 1)$.
• b) Vectơ chỉ phương của $d$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(P)$.
• c) Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
• d) Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$.

Câu 14. Một nhà vườn trồng $x$ luống rau. Doanh thu thu được, tính bằng triệu đồng, được mô hình hoá bởi $P(x) = -4x^{2} + 104x + 58$, trong đó $x$ là số nguyên thoả $4 \leq x \leq 14$.

• a) Nghiệm của $P'(x) = 0$ bằng $-13$.
• b) Giá trị $x$ trong bài toán này phải là số nguyên.
• c) $P\left(4\right) = 410$ triệu đồng.
• d) Khi điểm dừng nằm ngoài đoạn cho phép thì cực trị trên đoạn vẫn nằm tại điểm dừng.

Câu 15. Hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba $y = f(x)$. Hai điểm cực trị của đồ thị được đánh dấu là $A(-1; -5)$ và $B(1; 3)$. Gọi $y_{CĐ}$ là giá trị cực đại và $x_{CT}$ là hoành độ điểm cực tiểu của hàm số. Tính $y_{CĐ} + x_{CT}$.

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $M(2; 4; -2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2; 4; -1)$ có phương trình $2x + 4y - z + d = 0$. Tìm $d$ (trả lời kèm dấu).

Câu 17. Một giàn cảm biến quang lắp một trục thu quang trong hệ toạ độ $Oxyz$. Hướng của trục thu quang là một vectơ đơn vị $\vec u$ và bị hai điều kiện lắp đặt: $\vec u$ nằm trong mặt phẳng lắp đặt, tức $\vec u \cdot \vec n = 0$ với $\vec n = \left(-3; 1; 1\right)$; $\vec u$ phải hướng về nửa an toàn, tức $\vec u \cdot \vec h \ge 0$ với $\vec h = \left(2; 3; -3\right)$. Trục thu quang cần quan sát hai mục tiêu: đèn hiệu $A$ theo hướng $\vec a = \left(-1; -6; -4\right)$ và đèn hiệu $B$ theo hướng $\vec b = \left(3; -6; -3\right)$. Tiêu chí thiết kế: chọn $\vec u$ sao cho góc nhìn xấu hơn trong hai góc $\widehat{\left(\vec u, \vec a\right)}$, $\widehat{\left(\vec u, \vec b\right)}$ là nhỏ nhất có thể. Các góc lấy trong $\left[0^\circ; 180^\circ\right]$. Hỏi góc nhìn xấu hơn nhỏ nhất bằng bao nhiêu độ? Làm tròn đến độ.

Câu 18. Đồ thị hàm số $y = 4x\left(5 - x\right)$ cắt trục hoành tại hai điểm. Tính hoành độ lớn hơn trong hai hoành độ ấy.

Câu 1. Nếu $F$ và $G$ cùng là nguyên hàm của một hàm số $f$ thì đạo hàm của $F - G$ bằng

1. A. $2f(x)$
2. B. $f(x)$
3. C. $C$
4. D. $0$

Câu 2. Khảo sát thời gian tự học trong một tuần của $41$ học sinh, kết quả ghi ở bảng sau.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào?

1. A. $2{,}74$
2. B. $5{,}68$
3. C. $4{,}2$
4. D. $7{,}53$

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec u = (1; 8; -4)$. Giá trị $\left|\vec u\right|^2$ bằng

1. A. $9$
2. B. $169$
3. C. $81$
4. D. $32$

Câu 4. Tìm $t$ biết $\int_{0}^{1} \left((tx + 1)\right)\,dx = 7$.

1. A. $7$
2. B. $12$
3. C. $6$
4. D. $14$

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x - 2y + z + 3 = 0$ và đường thẳng $d: \begin{cases}x = -1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = -3\end{cases}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

1. A. $d$ cắt $(P)$ tại đúng một điểm
2. B. $d$ nằm trong $(P)$
3. C. $d$ vuông góc với $(P)$
4. D. $d$ song song với $(P)$

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-3; -5; -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (3; 3; -2)$. Phương trình tham số của $d$ là:

1. A. $\begin{cases}x = -3 - 3t \\ y = -5 + 3t \\ z = -2 - 2t\end{cases}$
2. B. $\begin{cases}x = 3 + 3t \\ y = 5 + 3t \\ z = 2 - 2t\end{cases}$
3. C. $\begin{cases}x = -3 + 3t \\ y = -5 + 3t \\ z = -2 - 2t\end{cases}$
4. D. $\begin{cases}x = 3 - 3t \\ y = 3 - 5t \\ z = -2 - 2t\end{cases}$