Bài toán ứng dụng nâng cao

Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-6; -1; -1)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z - 3 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.

Câu 2.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(0; 0; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 0; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 6)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$ và $(S_2): (x - 7)^2 + (y - 5)^2 + (z - 13)^2 = 4$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.

Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; -2; -3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): -2x + y - 2z + 16 = 0$.

Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-2; 2; 2)$, $B(-4; 1; 4)$, $C(-1; 5; 4)$, $D(-5; 4; -1)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -2 + s \\ y = -1 - s \\ z = 2 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Câu 6.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(1;-1;2)$ và $B(-1;3;2)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 7.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-3;-3;2)$ và $B(1;-3;0)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4; -2; 3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): -x - 2y - 2z + 24 = 0$.

Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;1)$ và $B(-1;-3;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.

Câu 10.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(3;3;-3)$ và $B(-3;-3;-1)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3; -3; -3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 3x + 4y + 53 = 0$.

Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1; -3; 1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z + 16 = 0$.

Câu 13.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(12; 3; 7)$, $B(16; 6; 5)$, $C(6; 4; 3)$, $D(8; 3; 4)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 10$, $d_B = 13$, $d_C = 3$, $d_D = 5$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 14.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(0; 1; 2)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 1; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = 4$ và $(S_2): (x - 6)^2 + (y - 8)^2 + (z - 10)^2 = 16$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.

Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -1 + t \\ y = -3 \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = -5 + 2s \\ z = 5 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -3 + t \\ y = -3 \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -2 \\ y = -2 + s \\ z = 0 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 \\ z = -2 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 + 2s \\ z = 0 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Câu 18.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(3;1;-3)$ và $B(-1;1;-3)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(4; 1; 4)$, $B(5; -2; 3)$, $C(6; 2; 5)$, $D(8; 5; 3)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 20.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(0; 1; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 0; 1)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 + (z - 6)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 + (z - 8)^2 = 9$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.

Câu 21.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(4; 4; 8)$, $B(4; 16; 8)$, $C(3; 5; 6)$, $D(5; 8; 11)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 5$, $d_B = 13$, $d_C = 3$, $d_D = 9$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 22.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(4; 4; -3)$, $B(1; 1; -4)$, $C(8; 2; 0)$, $D(8; 7; 1)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 23.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(2; 6; 5)$, $B(4; 16; 7)$, $C(5; 7; 3)$, $D(9; 5; 7)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 3$, $d_B = 13$, $d_C = 5$, $d_D = 9$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-5; 5; 4)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = -7 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.

Câu 25.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-3; -1; 2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 3y + 4z + 45 = 0$.

Câu 26.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4; 0; -3)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = -4 + t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.

Câu 27.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(6; 14; 6)$, $B(10; 2; 9)$, $C(3; 10; 7)$, $D(3; 4; 5)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 13$, $d_B = 10$, $d_C = 9$, $d_D = 3$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;0;4)$ và $B(-3;-1;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.

Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 \\ z = -3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = -2 \\ z = -2 + s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-4; -4; -2)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z + 7 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.

Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(4; 2; 4)$, $B(1; 3; 8)$, $C(3; -1; 1)$, $D(2; 5; 6)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2; -2; -3)$, $B(-1; -1; -2)$, $C(-1; -4; -6)$, $D(4; -1; -6)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(5; -2; 1)$ và mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.

Câu 34.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(6; 3; -2)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 7 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.

Câu 35.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-1;1;2)$ và $B(3;1;-2)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 36.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-3;-1;-2)$ và $B(-3;3;2)$, và vuông góc với $AB$.

Câu 37.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(8; 6; 5)$, $B(6; 11; 4)$, $C(2; 9; 11)$, $D(5; 7; 3)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 9$, $d_C = 10$, $d_D = 5$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 38.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(2; 2; 0)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 0; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 5)^2 + (y - 10)^2 + (z - 6)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 9)^2 + (y - 8)^2 + (z - 8)^2 = 25$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.

Câu 39.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(2; 0; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 0; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 10)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 16$ và $(S_2): (x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 16$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.

Câu 40.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(-2; -1; -3)$, $B(1; 0; -2)$, $C(-4; -4; -6)$, $D(-5; 0; -1)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 41.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4; -1; -3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 4x + 4y + 7z + 171 = 0$.

Câu 42.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1; 4; -2)$, $B(4; 1; -4)$, $C(-2; 3; -1)$, $D(5; 2; -1)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Câu 43.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(8; 5; 9)$, $B(8; 16; 4)$, $C(10; 6; 4)$, $D(12; 10; 1)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 9$, $d_B = 13$, $d_C = 7$, $d_D = 10$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.

Câu 44.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;2)$ và $B(-1;1;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.