Phương trình quy về bậc hai

Công thức

§1. Phương pháp(4)

1.1

Phương trình trùng phương $ax^4 + bx^2 + c = 0$

Bước 1. Đặt $t = x^2$ với $t \geq 0$. Bước 2. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$: $a t^2 + b t + c = 0$. Bước 3. Giải tìm $t$, loại $t < 0$. Bước 4. Với mỗi $t \geq 0$: $x = \pm\sqrt{t}$. Vd: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Đặt $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1, 4 \Rightarrow x = \pm 1, \pm 2$.

1.2

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. ĐKXĐ: mẫu khác 0. Bước 2. Quy đồng + nhân chéo → đưa về phương trình đa thức. Bước 3. Giải phương trình thu được (thường là bậc 2). Bước 4. Đối chiếu ĐKXĐ → loại nghiệm làm mẫu = 0. Vd: $\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{x-1}{x+2} = 4$, ĐKXĐ $x \neq \pm 2$.

1.3

Đặt ẩn phụ chung

Khi phương trình có dạng $a [f(x)]^2 + b f(x) + c = 0$ với $f(x)$ là biểu thức phức: Bước 1. Đặt $t = f(x)$ (kèm điều kiện nếu cần). Bước 2. Quy về bậc 2 theo $t$, giải tìm $t$. Bước 3. Trở lại biến cũ: giải $f(x) = t$ cho từng giá trị $t$. Vd: $(x^2 - x)^2 - 5(x^2 - x) + 6 = 0$. Đặt $t = x^2 - x$...

1.4

Phương trình chứa căn

$\sqrt{f(x)} = g(x)$: Bước 1. ĐKXĐ: $f(x) \geq 0$ và $g(x) \geq 0$ (vì $\sqrt{} \geq 0$). Bước 2. Bình phương 2 vế: $f(x) = [g(x)]^2$. Bước 3. Giải phương trình thu được. Bước 4. Đối chiếu ĐKXĐ → loại nghiệm ngoại lai. Lưu ý: bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai → luôn kiểm tra.

§2. Lưu ý(2)

2.1!

Lưu ý: kiểm tra nghiệm ngoại lai

Mọi phép biến đổi sau đây có thể sinh nghiệm ngoại lai:

Nhân chéo (mẫu = 0).
Bình phương 2 vế (sinh nghiệm âm).
Đặt ẩn phụ (sinh giá trị ngoài miền).

→ Luôn thay nghiệm tìm được vào phương trình gốc để xác nhận.

2.2!

Lưu ý: $t = x^2 + bx$ có giá trị nhỏ nhất

Khi đặt $t = x^2 + bx$ (đa thức bậc 2 theo $x$, hệ số $a > 0$): $t = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4} \geq -\dfrac{b^2}{4}$. → Phải kèm điều kiện $t \geq -\dfrac{b^2}{4}$ khi đặt ẩn phụ. Vd: $t = x^2 + x$: $t \geq -1/4$. Giải PT theo $t$ → loại các $t < -1/4$ trước khi trả về $x$.

Bài tập

1. Giải phương trình trùng phương $x^4 + bx^2 + c = 0$ với 4 nghiệm thựcTrắc nghiệm`biquadratic_equation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Giải phương trình $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

A.$x = -2\text{ hoặc }x = -1$

B.$x = \pm2\text{ hoặc }x = \pm1$

C.$x = 4\text{ hoặc }x = 1$

D.$x = 2\text{ hoặc }x = 1$

Câu 2.Giải phương trình $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

A.$x = \pm3\text{ hoặc }x = \pm1$

B.$x = 9\text{ hoặc }x = 1$

C.$x = -3\text{ hoặc }x = -1$

D.$x = 3\text{ hoặc }x = 1$

Câu 3.Giải phương trình $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

A.$x = \pm1\text{ hoặc }x = \pm3$

B.$x = 1\text{ hoặc }x = 3$

C.$x = -1\text{ hoặc }x = -3$

D.$x = 1\text{ hoặc }x = 9$

2. Đếm số nghiệm thực của $ax^4 + bx^2 + c = 0$Trắc nghiệm`count_real_roots_biquadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Phương trình $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.1

B.0

C.2

D.4

Câu 5.Phương trình $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.3

B.1

C.2

D.0

Câu 6.Phương trình $x^4 + 3x^2 + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.2

B.1

C.3

D.0

3. VD cao: PT $(x^2 + x)^2 - p(x^2 + x) + q = 0$ qua ẩn phụ $t = x^2 + x$Trắc nghiệm`quy_ve_substitution_t_eq_x2_plus_x`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Số nghiệm thực của phương trình $(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 3 = 0$ là?

A.$2$

B.$0$

C.$3$

D.$1$

Câu 8.Số nghiệm thực của phương trình $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 15 = 0$ là?

A.$4$

B.$0$

C.$3$

D.$5$

Câu 9.Số nghiệm thực của phương trình $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 15 = 0$ là?

A.$3$

B.$0$

C.$5$

D.$4$

4. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, quy về phương trình bậc haiTrắc nghiệm`solve_rational_eq_reduce_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Giải phương trình $\dfrac{x^2 - x - 2}{x + 1} = 0$.

A.$x = -2$

B.$x = -1$

C.$x = 2\text{ hoặc }x = -1$

D.$x = 2$

Câu 11.Giải phương trình $\dfrac{x^2 - x - 2}{x + 1} = 0$.

A.$x = -1$

B.$x = 2$

C.$x = 2\text{ hoặc }x = -1$

D.$x = -2$

Câu 12.Giải phương trình $\dfrac{x - 12}{x - 6} = x$.

A.$x = 3\text{ hoặc }x = 4$

B.$x = -4\text{ hoặc }x = -3$

C.$x = 6\text{ hoặc }x = 3$

D.$x = 3$

5. Đếm số nghiệm của $ax^4 + bx^2 + c = 0$ — tham số chọn để có 0/2/4 nghiệmTrả lời ngắn`biquadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Số nghiệm thực của phương trình $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$ bằng bao nhiêu?

Câu 14.Số nghiệm thực của phương trình $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$ bằng bao nhiêu?

Câu 15.Số nghiệm thực của phương trình $x^4 + 4x^2 + 4 = 0$ bằng bao nhiêu?

6. Giải $(x - a)(x - b) = 0$, hỏi tổng hai nghiệmTrả lời ngắn`solve_factored_form`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Giải phương trình $(x + 1)x = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

Câu 17.Giải phương trình $(x - 3)(x - 6) = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

Câu 18.Giải phương trình $(x - 1)(x - 2) = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

Công thức

§1. Phương pháp(4)

§2. Lưu ý(2)

Bài tập

1. Giải phương trình trùng phương $x^4 + bx^2 + c = 0$ với 4 nghiệm thựcTrắc nghiệmbiquadratic_equation(3 câu)

2. Đếm số nghiệm thực của $ax^4 + bx^2 + c = 0$Trắc nghiệmcount_real_roots_biquadratic(3 câu)

3. VD cao: PT $(x^2 + x)^2 - p(x^2 + x) + q = 0$ qua ẩn phụ $t = x^2 + x$Trắc nghiệmquy_ve_substitution_t_eq_x2_plus_x(3 câu)

4. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, quy về phương trình bậc haiTrắc nghiệmsolve_rational_eq_reduce_quadratic(3 câu)

5. Đếm số nghiệm của $ax^4 + bx^2 + c = 0$ — tham số chọn để có 0/2/4 nghiệmTrả lời ngắnbiquadratic(3 câu)

6. Giải $(x - a)(x - b) = 0$, hỏi tổng hai nghiệmTrả lời ngắnsolve_factored_form(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Giải phương trình trùng phương $x^4 + bx^2 + c = 0$ với 4 nghiệm thựcTrắc nghiệm`biquadratic_equation`(3 câu)

2. Đếm số nghiệm thực của $ax^4 + bx^2 + c = 0$Trắc nghiệm`count_real_roots_biquadratic`(3 câu)

3. VD cao: PT $(x^2 + x)^2 - p(x^2 + x) + q = 0$ qua ẩn phụ $t = x^2 + x$Trắc nghiệm`quy_ve_substitution_t_eq_x2_plus_x`(3 câu)

4. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, quy về phương trình bậc haiTrắc nghiệm`solve_rational_eq_reduce_quadratic`(3 câu)

5. Đếm số nghiệm của $ax^4 + bx^2 + c = 0$ — tham số chọn để có 0/2/4 nghiệmTrả lời ngắn`biquadratic`(3 câu)

6. Giải $(x - a)(x - b) = 0$, hỏi tổng hai nghiệmTrả lời ngắn`solve_factored_form`(3 câu)