Đường tròn

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Dây + đường kính

Cho đường tròn $(O; R)$:

Dây: đoạn nối 2 điểm trên đường tròn.
Đường kính: dây đi qua tâm $O$. Là dây lớn nhất, độ dài $= 2R$.
Cung: phần đường tròn giữa 2 điểm.
1 dây chia đường tròn thành 2 cung.

1.2

Cho điểm $O$ và số $R > 0$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, ký hiệu $(O; R)$, là tập hợp các điểm $M$ sao cho $OM = R$.

Đường tròn có vô số trục đối xứng (mọi đường kính).
Tâm đối xứng: chính tâm $O$.

§2. Định lý(1)

2.1

Quan hệ đường kính - dây

Trong một đường tròn:

Đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm dây ấy.
Đường kính đi qua trung điểm 1 dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

→ Dùng để xác định trung điểm dây, hoặc kiểm tra vuông góc.

§3. Tính chất(1)

3.1

Quan hệ dây - khoảng cách đến tâm

Trong một đường tròn:

2 dây bằng nhau $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm đến chúng bằng nhau.
Dây dài hơn $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm nhỏ hơn.

$$d^2 + \left(\dfrac{\text{dây}}{2}\right)^2 = R^2.$$ (Dùng Pythagore: $d$ = khoảng cách tâm-dây, $R$ = bán kính.)

§4. Công thức(1)

4.1

Độ dài dây qua khoảng cách + bán kính

Cho dây $AB$ cách tâm $O$ khoảng $d$, bán kính $R$: $$AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2}.$$ Suy ra: $d = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}$.

Bài tập

1. Tính chu vi/diện tích đường tròn theo bán kínhTrắc nghiệm`circle_area_circumference`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Đường tròn có bán kính $r = 3$. Diện tích bằng:

A.$S = 18\pi$

B.$S = 9\pi$

C.$S = 12\pi$

D.$S = 6\pi$

Câu 2.Đường tròn có bán kính $r = 8$. Chu vi bằng:

A.$C = 8\pi$

B.$C = 64\pi$

C.$C = 16\pi$

D.$C = 18\pi$

Câu 3.Đường tròn có bán kính $r = 4$. Chu vi bằng:

A.$C = 8\pi$

B.$C = 4\pi$

C.$C = 16\pi$

D.$C = 10\pi$

2. Quan sát đường tròn có ghi nhãn $r$ — tính diện tíchTrắc nghiệm`circle_area_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Quan sát đường tròn trong hình vẽ với bán kính được ghi. Tính diện tích $S$ của hình tròn.

Đường tròn (O) bán kính r = 4

A.$S = 16\pi$

B.$S = 20\pi$

C.$S = 8\pi$

D.$S = 32\pi$

Câu 5.Quan sát đường tròn trong hình vẽ với bán kính được ghi. Tính diện tích $S$ của hình tròn.

Đường tròn (O) bán kính r = 5

A.$S = 50\pi$

B.$S = 10\pi$

C.$S = 25\pi$

D.$S = 30\pi$

Câu 6.Quan sát đường tròn trong hình vẽ với bán kính được ghi. Tính diện tích $S$ của hình tròn.

Đường tròn (O) bán kính r = 3

A.$S = 12\pi$

B.$S = 9\pi$

C.$S = 6\pi$

D.$S = 18\pi$

3. Tìm bán kính từ hai dây song song khác phía tâm và khoảng cách giữa chúngTrắc nghiệm`opposite_parallel_chords_find_radius`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho đường tròn $(O; R)$ chưa biết bán kính. Hai dây $AB$ và $CD$ song song với nhau và nằm về HAI PHÍA khác nhau so với tâm $O$, biết $AB = 8$, $CD = 6$ và khoảng cách giữa hai dây bằng $7$. Tính bán kính $R$ của đường tròn.

A.$R = 7$

B.$R = 4$

C.$R = 3$

D.$R = 5$

Câu 8.Cho đường tròn $(O; R)$ chưa biết bán kính. Hai dây $AB$ và $CD$ song song với nhau và nằm về HAI PHÍA khác nhau so với tâm $O$, biết $AB = 56$, $CD = 42$ và khoảng cách giữa hai dây bằng $49$. Tính bán kính $R$ của đường tròn.

A.$R = 28$

B.$R = 49$

C.$R = 35$

D.$R = 21$

Câu 9.Cho đường tròn $(O; R)$ chưa biết bán kính. Hai dây $AB$ và $CD$ song song với nhau và nằm về HAI PHÍA khác nhau so với tâm $O$, biết $AB = 56$, $CD = 42$ và khoảng cách giữa hai dây bằng $49$. Tính bán kính $R$ của đường tròn.

A.$R = 28$

B.$R = 49$

C.$R = 21$

D.$R = 35$

4. Khoảng cách giữa hai dây song song cùng phía tâm trong đường trònTrắc nghiệm`parallel_chords_distance`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 17$. Hai dây $AB$ và $CD$ song song và cùng nằm về một phía so với tâm $O$, biết $AB = 30$ và $CD = 16$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.$7$

B.$23$

C.$15$

D.$8$

Câu 11.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 20$. Hai dây $AB$ và $CD$ song song và cùng nằm về một phía so với tâm $O$, biết $AB = 32$ và $CD = 24$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.$4$

B.$12$

C.$16$

D.$28$

Câu 12.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 17$. Hai dây $AB$ và $CD$ song song và cùng nằm về một phía so với tâm $O$, biết $AB = 30$ và $CD = 16$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.$8$

B.$23$

C.$7$

D.$15$

5. Cho điểm $P$ và đường tròn $(O; R)$ với $OP = d$ — xác định vị trí $P$Trắc nghiệm`position_point_circle`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Cho đường tròn $(O; 4)$ và điểm $P$ thoả $OP = 3$. Vị trí của $P$ so với đường tròn là:

A.Không xác định được.

B.Nằm trên đường tròn.

C.Nằm bên trong đường tròn.

D.Nằm bên ngoài đường tròn.

Câu 14.Cho đường tròn $(O; 8)$ và điểm $P$ thoả $OP = 3$. Vị trí của $P$ so với đường tròn là:

A.Không xác định được.

B.Nằm bên trong đường tròn.

C.Nằm bên ngoài đường tròn.

D.Nằm trên đường tròn.

Câu 15.Cho đường tròn $(O; 8)$ và điểm $P$ thoả $OP = 8$. Vị trí của $P$ so với đường tròn là:

A.Nằm trên đường tròn.

B.Nằm bên trong đường tròn.

C.Không xác định được.

D.Nằm bên ngoài đường tròn.

6. Cho đường tròn $(O; R)$ cụ thể — kiểm tra dây cung và đường kínhĐúng / Sai`circle_basic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho đường tròn $(O; R = 8)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường tròn $(O; R)$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng bằng $8$.

b)Đường kính của đường tròn bằng $16$.

c)Đường kính dài gấp đôi bán kính.

d)Trong đường tròn này, dây cung có thể dài hơn $16$.

Câu 17.Cho đường tròn $(O; R = 8)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường kính dài gấp đôi bán kính.

b)Bán kính của đường tròn bằng $8$.

c)Đường tròn $(O; R)$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng bằng $8$.

d)Hai đường tròn phân biệt có thể có nhiều hơn 2 điểm chung.

Câu 18.Cho đường tròn $(O; R = 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi điểm trên đường tròn cách tâm cùng một khoảng.

b)Bán kính của đường tròn bằng $4$.

c)Trong đường tròn này, dây cung có thể dài hơn $8$.

d)Đường kính của đường tròn bằng $8$.

7. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ với $OA$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`circle_position_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho đường tròn $(O; R = 6)$ và điểm $A$ thoả $OA = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $A$ nằm ngoài đường tròn.

b)Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn.

c)Đường tròn $(O; R)$ có đúng một tâm.

d)Điểm $A$ nằm trên đường tròn.

Câu 20.Cho đường tròn $(O; R = 6)$ và điểm $A$ thoả $OA = 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ tâm $O$ đến mọi điểm trên đường tròn bằng $6$.

b)Đường tròn $(O; R)$ có đúng một tâm.

c)Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn.

d)Điểm $A$ nằm ngoài đường tròn.

Câu 21.Cho đường tròn $(O; R = 5)$ và điểm $A$ thoả $OA = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn.

b)Đường tròn $(O; R)$ có đúng một tâm.

c)Điểm $A$ nằm bên trong đường tròn.

d)Khoảng cách từ tâm đường tròn đến mọi điểm trên đường tròn đều bằng đường kính.

8. Chu vi/diện tích đường tròn (đáp án là $k$ trong $k\pi$)Trả lời ngắn`circumference_or_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Đường tròn bán kính $4$ cm. Tính diện tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 23.Đường tròn bán kính $10$ cm. Tính diện tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 24.Đường tròn bán kính $3$ cm. Tính chu vi (dạng $k\pi$, ghi $k$).

9. Vị trí điểm $A$ với đường tròn — đáp án 1 (trong) / 2 (trên) / 3 (ngoài)Trả lời ngắn`position_point_circle_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Đường tròn $(O; 4)$ và điểm $A$ với $OA = 4$. Vị trí $A$ với đường tròn? (Trả lời $1$ trong, $2$ trên, $3$ ngoài.)

Câu 26.Đường tròn $(O; 8)$ và điểm $A$ với $OA = 9$. Vị trí $A$ với đường tròn? (Trả lời $1$ trong, $2$ trên, $3$ ngoài.)

Câu 27.Đường tròn $(O; 9)$ và điểm $A$ với $OA = 10$. Vị trí $A$ với đường tròn? (Trả lời $1$ trong, $2$ trên, $3$ ngoài.)

Đường tròn — chu vi, diện tích

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Định lý(1)

§3. Tính chất(1)

§4. Công thức(1)

Bài tập

1. Tính chu vi/diện tích đường tròn theo bán kínhTrắc nghiệmcircle_area_circumference(3 câu)

2. Quan sát đường tròn có ghi nhãn $r$ — tính diện tíchTrắc nghiệmcircle_area_from_figure(3 câu)

3. Tìm bán kính từ hai dây song song khác phía tâm và khoảng cách giữa chúngTrắc nghiệmopposite_parallel_chords_find_radius(3 câu)

4. Khoảng cách giữa hai dây song song cùng phía tâm trong đường trònTrắc nghiệmparallel_chords_distance(3 câu)

5. Cho điểm $P$ và đường tròn $(O; R)$ với $OP = d$ — xác định vị trí $P$Trắc nghiệmposition_point_circle(3 câu)

6. Cho đường tròn $(O; R)$ cụ thể — kiểm tra dây cung và đường kínhĐúng / Saicircle_basic_facts(3 câu)

7. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ với $OA$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Saicircle_position_facts(3 câu)

8. Chu vi/diện tích đường tròn (đáp án là $k$ trong $k\pi$)Trả lời ngắncircumference_or_area(3 câu)

9. Vị trí điểm $A$ với đường tròn — đáp án 1 (trong) / 2 (trên) / 3 (ngoài)Trả lời ngắnposition_point_circle_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính chu vi/diện tích đường tròn theo bán kínhTrắc nghiệm`circle_area_circumference`(3 câu)

2. Quan sát đường tròn có ghi nhãn $r$ — tính diện tíchTrắc nghiệm`circle_area_from_figure`(3 câu)

3. Tìm bán kính từ hai dây song song khác phía tâm và khoảng cách giữa chúngTrắc nghiệm`opposite_parallel_chords_find_radius`(3 câu)

4. Khoảng cách giữa hai dây song song cùng phía tâm trong đường trònTrắc nghiệm`parallel_chords_distance`(3 câu)

5. Cho điểm $P$ và đường tròn $(O; R)$ với $OP = d$ — xác định vị trí $P$Trắc nghiệm`position_point_circle`(3 câu)

6. Cho đường tròn $(O; R)$ cụ thể — kiểm tra dây cung và đường kínhĐúng / Sai`circle_basic_facts`(3 câu)

7. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ với $OA$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`circle_position_facts`(3 câu)

8. Chu vi/diện tích đường tròn (đáp án là $k$ trong $k\pi$)Trả lời ngắn`circumference_or_area`(3 câu)

9. Vị trí điểm $A$ với đường tròn — đáp án 1 (trong) / 2 (trên) / 3 (ngoài)Trả lời ngắn`position_point_circle_sa`(3 câu)