Trục căn ở mẫu

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Lưu ý: kiểm tra mẫu mới $\neq 0$

Sau trục căn, mẫu mới = $a - b$ (hoặc tương tự). → Phải có điều kiện $a \neq b$ (hoặc $a^2 - b \neq 0$). Vd: trục $\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$ → mẫu mới $x - 1 \Rightarrow x \neq 1$. Đối chiếu ĐKXĐ ban đầu để loại trừ trường hợp $x = 1$.

1.2

Quy tắc trục căn ở mẫu

Mục tiêu: làm cho mẫu không còn căn → biểu thức 'sạch' để rút gọn / so sánh. Bước 1. Nhận dạng mẫu:

Dạng $\sqrt{a}$ → nhân $\sqrt{a}$.
Dạng $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ → nhân liên hợp $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$.
Dạng $a \pm \sqrt{b}$ → nhân $a \mp \sqrt{b}$.

Bước 2. Nhân đồng thời tử và mẫu với biểu thức tương ứng. Bước 3. Khai triển tử, dùng $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ cho mẫu. Bước 4. Rút gọn.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: nhớ liên hợp đổi dấu

Liên hợp của một biểu thức: đổi dấu giữa 2 hạng tử (giữ nguyên các căn):

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \rightarrow \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
$a + b\sqrt{c} \rightarrow a - b\sqrt{c}$.

Tính chất: $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$ — khử dấu căn nếu $Y$ là căn.

Bài tập

1. Trục căn dạng $\dfrac{c}{\sqrt a + \sqrt b}$ → nhân với liên hợpTrắc nghiệm`rationalize_conjugate`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.

A.$3\sqrt{3}$

B.$\dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{7}$

C.$\dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

D.$\dfrac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Câu 2.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$.

A.$\dfrac{4(\sqrt{2} + \sqrt{5})}{7}$

B.$\dfrac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

C.$4\sqrt{-3}$

D.$\dfrac{4(\sqrt{2} - \sqrt{5})}{-3}$

Câu 3.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{7}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$.

A.$7\sqrt{4}$

B.$\dfrac{7}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

C.$\dfrac{7(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4}$

D.$\dfrac{7(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{10}$

2. VD cao: $\dfrac{c}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = c(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}).$Trắc nghiệm`rationalize_consecutive_radicals`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trục căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}.$

A.$-1 + \sqrt{2}$

B.$\sqrt{2}$

C.$1 - \sqrt{2}$

D.$1 + \sqrt{2}$

Câu 5.Trục căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{5}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}.$

A.$5 \sqrt{6}$

B.$- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{6}$

C.$- 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{5}$

D.$5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{6}$

Câu 6.Trục căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{3}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}.$

A.$6$

B.$-6 + 3 \sqrt{3}$

C.$6 - 3 \sqrt{3}$

D.$3 \sqrt{3} + 6$

3. Trục căn ở mẫu cho biểu thức $\dfrac{a}{\sqrt{n}}$Trắc nghiệm`rationalize_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{10}{\sqrt{2}}$.

A.$\dfrac{10}{\sqrt{2}}$

B.$\dfrac{10\sqrt{2}}{2}$

C.$\dfrac{\sqrt{2}}{10}$

D.$\dfrac{10\sqrt{2}}{4}$

Câu 8.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$.

A.$\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

B.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

D.$\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Câu 9.Trục căn ở mẫu: $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$.

A.$\dfrac{2\sqrt{10}}{100}$

B.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

C.$\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

D.$\dfrac{2\sqrt{10}}{10}$

4. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a}}$ — kiểm tra kết quả trục cănĐúng / Sai`rationalize_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho biểu thức $P = \dfrac{5}{\sqrt{5}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để trục căn ở mẫu, ta nhân tử và mẫu với $\sqrt{5}$.

b)$P > 0$ vì cả tử và mẫu đều dương.

c)Trục căn thức ở mẫu làm thay đổi giá trị biểu thức.

d)$\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Câu 11.Cho biểu thức $P = \dfrac{7}{\sqrt{11}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = \dfrac{7\sqrt{11}}{11}$.

b)Để trục căn ở mẫu, ta nhân tử và mẫu với $\sqrt{11}$.

c)$P > 0$ vì cả tử và mẫu đều dương.

d)Trục căn thức ở mẫu làm thay đổi giá trị biểu thức.

Câu 12.Cho biểu thức $P = \dfrac{8}{\sqrt{2}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trục căn thức ở mẫu làm thay đổi giá trị biểu thức.

b)$P > 0$ vì cả tử và mẫu đều dương.

c)Để trục căn ở mẫu, ta nhân tử và mẫu với $\sqrt{2}$.

d)$P = \dfrac{8\sqrt{2}}{2}$.

5. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ — dùng liên hợpĐúng / Sai`rationalize_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho biểu thức $P = \dfrac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sau khi trục căn, giá trị biểu thức KHÔNG đổi.

b)Lượng liên hợp của $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ là $\sqrt{7} + \sqrt{3}$.

c)$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 7 - 3 = 4$.

d)Lượng liên hợp của mẫu là $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

Câu 14.Cho biểu thức $P = \dfrac{2}{\sqrt{11} + \sqrt{5}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = \dfrac{2(\sqrt{11} - \sqrt{5})}{6}$.

b)Có thể trục căn bằng cách cộng cùng một số vào tử và mẫu.

c)Lượng liên hợp của $\sqrt{11} + \sqrt{5}$ là $\sqrt{11} + \sqrt{5}$.

d)Lượng liên hợp của mẫu là $\sqrt{11} - \sqrt{5}$.

Câu 15.Cho biểu thức $P = \dfrac{5}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Lượng liên hợp của $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ là $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

b)Có thể trục căn bằng cách cộng cùng một số vào tử và mẫu.

c)$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 5 - 2 = 3$.

d)$P = \dfrac{5(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$.

6. Tính $\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ dạng số thập phânTrả lời ngắn`rationalize_conjugate_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tính giá trị $\dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 17.Tính giá trị $\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 18.Tính giá trị $\dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

7. Tính $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ dạng số thập phân (sau khi trục căn thức)Trả lời ngắn`rationalize_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính giá trị $\dfrac{9}{\sqrt{2}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 20.Tính giá trị $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 21.Tính giá trị $\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Trục căn dạng $\dfrac{c}{\sqrt a + \sqrt b}$ → nhân với liên hợpTrắc nghiệmrationalize_conjugate(3 câu)

2. VD cao: $\dfrac{c}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = c(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}).$Trắc nghiệmrationalize_consecutive_radicals(3 câu)

3. Trục căn ở mẫu cho biểu thức $\dfrac{a}{\sqrt{n}}$Trắc nghiệmrationalize_simple(3 câu)

4. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a}}$ — kiểm tra kết quả trục cănĐúng / Sairationalize_facts(3 câu)

5. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ — dùng liên hợpĐúng / Sairationalize_facts2(3 câu)

6. Tính $\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ dạng số thập phânTrả lời ngắnrationalize_conjugate_sa(3 câu)

7. Tính $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ dạng số thập phân (sau khi trục căn thức)Trả lời ngắnrationalize_simple(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Trục căn dạng $\dfrac{c}{\sqrt a + \sqrt b}$ → nhân với liên hợpTrắc nghiệm`rationalize_conjugate`(3 câu)

2. VD cao: $\dfrac{c}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = c(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}).$Trắc nghiệm`rationalize_consecutive_radicals`(3 câu)

3. Trục căn ở mẫu cho biểu thức $\dfrac{a}{\sqrt{n}}$Trắc nghiệm`rationalize_simple`(3 câu)

4. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a}}$ — kiểm tra kết quả trục cănĐúng / Sai`rationalize_facts`(3 câu)

5. Cho $\dfrac{p}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ — dùng liên hợpĐúng / Sai`rationalize_facts2`(3 câu)

6. Tính $\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ dạng số thập phânTrả lời ngắn`rationalize_conjugate_sa`(3 câu)

7. Tính $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ dạng số thập phân (sau khi trục căn thức)Trả lời ngắn`rationalize_simple`(3 câu)