Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Công thức

§1. Công thức(2)

1.1

Đưa thừa số ra/vào dấu căn

Đưa ra: $\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}$ với $b \geq 0$. Đưa vào: $a \sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ với $a \geq 0, b \geq 0$. $a \sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ với $a < 0, b \geq 0$.

1.2

Căn của tích / thương

Với $a, b \geq 0$: $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.$$ Với $a \geq 0, b > 0$: $$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Rút gọn căn

Bước 1. Phân tích số dưới căn thành tích các lũy thừa: $n = a^2 \cdot b$ (với $b$ là số 'sạch'). Bước 2. Đưa thừa số bình phương ra ngoài: $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$ (với $a > 0$). Bước 3. Gộp các căn cùng số trong căn. Vd: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}$. Vd: $\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: thuộc lòng các bình phương 4, 9, 16, 25...

Để rút gọn căn nhanh, thuộc các số chính phương: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400$. Tìm số chính phương lớn nhất chia hết cho số dưới căn → đưa ra ngoài.

Bài tập

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{ax + b}$Trắc nghiệm`condition_sqrt_defined`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{4x - 4}$.

A.$x \geq 1$

B.$x \geq -4$

C.$x \leq 1$

D.$x \geq -1$

Câu 2.Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{-4x + 2}$.

A.$x \leq - \dfrac{1}{2}$

B.$x \leq \dfrac{1}{2}$

C.$x \geq \dfrac{1}{2}$

D.$x \leq 2$

Câu 3.Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{2x + 11}$.

A.$x \leq - \dfrac{11}{2}$

B.$x \geq - \dfrac{11}{2}$

C.$x \geq 11$

D.$x \geq \dfrac{11}{2}$

2. Rút gọn hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}-\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệm`conjugate_nested_radical_difference`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Rút gọn biểu thức $P = \sqrt{13 + 2\sqrt{42}} - \sqrt{13 - 2\sqrt{42}}$.

A.$\sqrt{7} + \sqrt{6}$

B.$2\sqrt{6}$

C.$\sqrt{7} - \sqrt{6}$

D.$2\sqrt{7}$

Câu 5.Rút gọn biểu thức $P = \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.

A.$2\sqrt{7}$

B.$\sqrt{7} + 1$

C.$2$

D.$\sqrt{7} - 1$

Câu 6.Rút gọn biểu thức $P = \sqrt{16 + 2\sqrt{55}} - \sqrt{16 - 2\sqrt{55}}$.

A.$2\sqrt{5}$

B.$\sqrt{11} - \sqrt{5}$

C.$\sqrt{11} + \sqrt{5}$

D.$2\sqrt{11}$

3. Rút gọn căn lồng $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ dùng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$Trắc nghiệm`nested_radical_identity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Rút gọn biểu thức $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$.

A.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$

B.$\sqrt{3} + \sqrt{2}$

C.$\sqrt{5}$

D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$

Câu 8.Rút gọn biểu thức $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.

A.$\sqrt{3} + 1$

B.$1 - \sqrt{3}$

C.$\sqrt{4}$

D.$\sqrt{3} - 1$

Câu 9.Rút gọn biểu thức $\sqrt{13 - 2\sqrt{30}}$.

A.$\sqrt{10} - \sqrt{3}$

B.$\sqrt{3} - \sqrt{10}$

C.$\sqrt{13}$

D.$\sqrt{10} + \sqrt{3}$

4. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ có thể âm — đáp án $|a|$Trắc nghiệm`sqrt_a_squared`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính $\sqrt{(-10)^2}$.

A.$\sqrt{-10}$

B.$-10^2$

C.$10$

D.$-10$

Câu 11.Tính $\sqrt{(-12)^2}$.

A.$\sqrt{-12}$

B.$-12^2$

C.$12$

D.$-12$

Câu 12.Tính $\sqrt{(7)^2}$.

A.$\sqrt{7}$

B.$7^2$

C.$7$

D.$-7$

5. Cho biểu thức $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$ với $a, b$ cụ thểĐúng / Sai`identity_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $P = \sqrt{6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 + 4^2}$ với $a = 6, b = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = 6 - 4 = 2$.

b)$P \geq 0$.

c)$P = |6 - 4| = 2$.

d)$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ luôn đúng.

Câu 14.Cho $P = \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2}$ với $a = 3, b = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biểu thức trong căn là một bình phương đầy đủ.

b)$P = 3 + 2$.

c)$P = 3 - 2 = 1$.

d)$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ luôn đúng.

Câu 15.Cho $P = \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 + 7^2}$ với $a = 3, b = 7$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = 3 - 7 = -4$.

b)Biểu thức trong căn là một bình phương đầy đủ.

c)$P \geq 0$.

d)$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ luôn đúng.

6. Cho $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Đúng / Sai`sqrt_identity_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho $a = -5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{a^2} = a$ với mọi số thực $a$.

b)$(\sqrt{5})^2 = 5$.

c)$(\sqrt{a})^2 = a$ chỉ đúng khi $a \geq 0$.

d)$\sqrt{25} = -5$.

Câu 17.Cho $a = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi số thực $a$.

b)$(\sqrt{a})^2 = a$ chỉ đúng khi $a \geq 0$.

c)$\sqrt{4} = 2$.

d)$\sqrt{a^2} = a$ với mọi số thực $a$.

Câu 18.Cho $a = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{1} = 1$.

b)$\sqrt{a^2} = a$ với mọi số thực $a$.

c)$\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi số thực $a$.

d)$\sqrt{1} = 1$.

7. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Trả lời ngắn`abs_via_sqrt`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính $\sqrt{(10)^2}$.

Câu 20.Tính $\sqrt{(-8)^2}$.

Câu 21.Tính $\sqrt{(7)^2}$.

8. Tính $(\sqrt{a})^2$ với $a > 0$Trả lời ngắn`sqrt_squared`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tính $(\sqrt{5})^2$.

Câu 23.Tính $(\sqrt{25})^2$.

Câu 24.Tính $(\sqrt{2})^2$.

Công thức

§1. Công thức(2)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{ax + b}$Trắc nghiệmcondition_sqrt_defined(3 câu)

2. Rút gọn hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}-\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệmconjugate_nested_radical_difference(3 câu)

3. Rút gọn căn lồng $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ dùng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$Trắc nghiệmnested_radical_identity(3 câu)

4. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ có thể âm — đáp án $|a|$Trắc nghiệmsqrt_a_squared(3 câu)

5. Cho biểu thức $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$ với $a, b$ cụ thểĐúng / Saiidentity_facts2(3 câu)

6. Cho $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Đúng / Saisqrt_identity_facts(3 câu)

7. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Trả lời ngắnabs_via_sqrt(3 câu)

8. Tính $(\sqrt{a})^2$ với $a > 0$Trả lời ngắnsqrt_squared(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{ax + b}$Trắc nghiệm`condition_sqrt_defined`(3 câu)

2. Rút gọn hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}-\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệm`conjugate_nested_radical_difference`(3 câu)

3. Rút gọn căn lồng $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ dùng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$Trắc nghiệm`nested_radical_identity`(3 câu)

4. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ có thể âm — đáp án $|a|$Trắc nghiệm`sqrt_a_squared`(3 câu)

5. Cho biểu thức $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$ với $a, b$ cụ thểĐúng / Sai`identity_facts2`(3 câu)

6. Cho $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Đúng / Sai`sqrt_identity_facts`(3 câu)

7. Tính $\sqrt{a^2}$ với $a$ cụ thể (có thể âm)Trả lời ngắn`abs_via_sqrt`(3 câu)

8. Tính $(\sqrt{a})^2$ với $a > 0$Trả lời ngắn`sqrt_squared`(3 câu)