Tính chất cơ bản của phân thức

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Mẫu thức chung

Mẫu thức chung (MTC) = bội chung nhỏ nhất của các mẫu thức. Cách tìm MTC: 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2. Lấy mọi nhân tử (chữ + số) với số mũ lớn nhất. 3. Nhân lại.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy đồng mẫu thức

Bước 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử + tìm MTC. Bước 2. Với mỗi phân thức: tính nhân tử phụ = MTC ÷ mẫu. Bước 3. Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ. Bước 4. Tất cả phân thức có cùng mẫu = MTC. Vd: $\dfrac{1}{x - 1}, \dfrac{1}{x + 1}$. MTC = $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Nhân tử phụ: $(x+1)$ và $(x-1)$. → $\dfrac{x+1}{x^2-1}, \dfrac{x-1}{x^2-1}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: luôn phân tích nhân tử trước

Trước khi quy đồng / rút gọn:

Phân tích mọi đa thức thành nhân tử.
Nhận ra các nhân tử chung → MTC nhỏ nhất.

→ Giúp tính nhanh hơn, kết quả gọn hơn. Vd: mẫu $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ → MTC dùng $(x+1)^2$, không cần $(x^2 + 2x + 1)$.

Bài tập

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệm`check_equal_fractions`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hai phân thức $\dfrac{3}{-5}$ và $\dfrac{9}{-14}$ có bằng nhau không?

A.Bằng nhau.

B.Không xác định.

C.Không bằng nhau.

D.Phụ thuộc dấu.

Câu 2.Hai phân thức $\dfrac{1}{4}$ và $\dfrac{2}{8}$ có bằng nhau không?

A.Bằng nhau.

B.Không bằng nhau.

C.Phụ thuộc dấu.

D.Không xác định.

Câu 3.Hai phân thức $\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{-2}{-10}$ có bằng nhau không?

A.Bằng nhau.

B.Phụ thuộc dấu.

C.Không bằng nhau.

D.Không xác định.

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`count_integer_x_fraction_value_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{2 x + 1}{x + 2}$ (với $x \neq -2$) nhận giá trị nguyên?

A.$6$ giá trị

B.$2$ giá trị

C.$5$ giá trị

D.$4$ giá trị

Câu 5.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{3 x + 7}{x + 4}$ (với $x \neq -4$) nhận giá trị nguyên?

A.$4$ giá trị

B.$2$ giá trị

C.$12$ giá trị

D.$6$ giá trị

Câu 6.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{3 x + 6}{x + 3}$ (với $x \neq -3$) nhận giá trị nguyên?

A.$4$ giá trị

B.$8$ giá trị

C.$2$ giá trị

D.$6$ giá trị

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệm`equivalent_by_multiplication`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{2}{6 x + 5}$?

A.$\dfrac{2}{18 x + 15}$

B.$\dfrac{6}{18 x + 15}$

C.$\dfrac{5}{6 x + 8}$

D.$\dfrac{6}{6 x + 5}$

Câu 8.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{-8}{3 x + 7}$?

A.$\dfrac{-32}{12 x + 28}$

B.$\dfrac{-8}{12 x + 28}$

C.$\dfrac{-32}{3 x + 7}$

D.$\dfrac{-4}{3 x + 11}$

Câu 9.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{-9}{4 x + 9}$?

A.$\dfrac{-9}{- 8 x - 18}$

B.$\dfrac{18}{4 x + 9}$

C.$\dfrac{-11}{4 x + 7}$

D.$\dfrac{18}{- 8 x - 18}$

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệm`fraction_property_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Khi nhân cả tử và mẫu của phân thức với cùng một đa thức khác $0$ thì phân thức đó?

A.Bằng phân thức mới (khác)

B.Bằng phân thức cũ

C.$A \cdot D = B \cdot C$

D.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

Câu 11.Khi nhân cả tử và mẫu của phân thức với cùng một đa thức khác $0$ thì phân thức đó?

A.Bằng phân thức cũ

B.Bằng phân thức mới (khác)

C.$A \cdot D = B \cdot C$

D.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

Câu 12.Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi nào?

A.$A \cdot D = B \cdot C$

B.Bằng phân thức cũ

C.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

D.Bằng phân thức mới (khác)

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệm`reduce_by_common_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Rút gọn phân thức $\dfrac{6x^2}{12x}$.

A.$3y$

B.$\dfrac{x}{2y}$

C.$\dfrac{x}{2}$

D.$\dfrac{x + 1}{2}$

Câu 14.Rút gọn phân thức $\dfrac{4(x + 1)}{8}$.

A.$3y$

B.$\dfrac{x}{2}$

C.$\dfrac{x + 1}{2}$

D.$\dfrac{x}{2y}$

Câu 15.Rút gọn phân thức $\dfrac{15xy}{5x}$.

A.$\dfrac{x}{2y}$

B.$\dfrac{x + 1}{2}$

C.$3y$

D.$\dfrac{x}{2}$

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệm`sign_change_then_reduce_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 25}{5 - x}$ (với $x \neq 5$):

A.$x - 5$

B.$- x - 5$

C.$x + 5$

D.$5 - x$

Câu 17.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 49}{7 - x}$ (với $x \neq 7$):

A.$x - 7$

B.$- x - 7$

C.$7 - x$

D.$x + 7$

Câu 18.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 49}{7 - x}$ (với $x \neq 7$):

A.$x + 7$

B.$- x - 7$

C.$7 - x$

D.$x - 7$

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Sai`fraction_equality_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $2$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{a + b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a}$ với $a \neq 0$.

b)$\dfrac{x + 2}{2} = x$.

c)$\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{1}{2}$.

d)$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2x}{3x}$ với $x \neq 0$.

Câu 20.Cho $3$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{3x + 3}{3} = x + 1$.

b)$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ (với $x \neq 3$).

c)$\dfrac{x}{x} = 1$ với mọi $x$.

d)$\dfrac{x + 3}{3} = x$.

Câu 21.Cho $4$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = x + 4$ (với $x \neq 4$).

b)$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2x}{3x}$ với $x \neq 0$.

c)$\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{1}{2}$.

d)$\dfrac{8x}{16} = \dfrac{x}{2}$.

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Sai`fraction_property_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phân thức $\dfrac{2}{11}$ và số $k = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi và chỉ khi $A \cdot D = B \cdot C$.

b)Phân thức $\dfrac{2}{0}$ bằng $0$.

c)$\dfrac{4}{22}$ rút gọn được thành $\dfrac{2}{11}$ (chia cả tử và mẫu cho $2$).

d)$\dfrac{2}{11} = \dfrac{3}{12}$ (cộng $1$ vào cả tử và mẫu).

Câu 23.Cho phân thức $\dfrac{4}{7}$ và số $k = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{21}$ (nhân cả tử và mẫu với $3$).

b)$\dfrac{4}{7} = \dfrac{-4}{-7}$ (đổi dấu cả tử và mẫu).

c)Phân thức $\dfrac{4}{0}$ bằng $0$.

d)$\dfrac{12}{21}$ rút gọn được thành $\dfrac{4}{7}$ (chia cả tử và mẫu cho $3$).

Câu 24.Cho phân thức $\dfrac{2}{9}$ và số $k = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi và chỉ khi $A \cdot D = B \cdot C$.

b)$\dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{10}$ (cộng $1$ vào cả tử và mẫu).

c)$\dfrac{4}{18}$ rút gọn được thành $\dfrac{2}{9}$ (chia cả tử và mẫu cho $2$).

d)$\dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{18}$ (nhân cả tử và mẫu với $2$).

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắn`find_missing_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Để biến đổi $\dfrac{5}{2x + 1}$ thành $\dfrac{-10}{-4x - 2}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

Câu 26.Để biến đổi $\dfrac{3}{4x - 4}$ thành $\dfrac{6}{8x - 8}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

Câu 27.Để biến đổi $\dfrac{2}{3x + 1}$ thành $\dfrac{-6}{-9x - 3}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`reduce_using_property_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho $\dfrac{-2x + 4}{4x - 2}$. Tính giá trị tại $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 29.Cho $\dfrac{-12x + 20}{-12x - 16}$. Tính giá trị tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 30.Cho $\dfrac{6x + 2}{2x + 8}$. Tính giá trị tại $x = -1$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệmcheck_equal_fractions(3 câu)

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệmcount_integer_x_fraction_value_l4(3 câu)

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệmequivalent_by_multiplication(3 câu)

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệmfraction_property_facts(3 câu)

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệmreduce_by_common_factor(3 câu)

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệmsign_change_then_reduce_l3(3 câu)

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Saifraction_equality_check(3 câu)

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Saifraction_property_facts(3 câu)

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắnfind_missing_factor(3 câu)

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắnreduce_using_property_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệm`check_equal_fractions`(3 câu)

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`count_integer_x_fraction_value_l4`(3 câu)

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệm`equivalent_by_multiplication`(3 câu)

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệm`fraction_property_facts`(3 câu)

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệm`reduce_by_common_factor`(3 câu)

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệm`sign_change_then_reduce_l3`(3 câu)

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Sai`fraction_equality_check`(3 câu)

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Sai`fraction_property_facts`(3 câu)

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắn`find_missing_factor`(3 câu)

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`reduce_using_property_at_point`(3 câu)