Cộng và trừ phân thức

Công thức

§1. Công thức(2)

1.1

Tính chất phép cộng

Giao hoán: $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}$.
Kết hợp: $\left(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}\right) + \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} + \left(\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\right)$.
Phân thức đối: $-\dfrac{A}{B} + \dfrac{A}{B} = 0$.

1.2

Cộng / trừ phân thức cùng mẫu

$$\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A + B}{C}.$$ $$\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A - B}{C}.$$ Cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Cộng / trừ phân thức khác mẫu

Bước 1. Tìm ĐKXĐ. Bước 2. Quy đồng các phân thức về cùng mẫu (MTC). Bước 3. Cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu. Bước 4. Rút gọn kết quả. Vd: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1 + x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$, ĐKXĐ: $x \neq 0, -1$.

Bài tập

1. Cộng hai phân thức khác mẫu (mẫu là các biểu thức bậc nhất)Trắc nghiệm`add_different_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính tổng $\dfrac{-3}{4} + \dfrac{4}{6}$:

A.$\dfrac{-1}{12}$

B.$\dfrac{-12}{12}$

C.$\dfrac{1}{10}$

D.$\dfrac{1}{12}$

Câu 2.Tính tổng $\dfrac{-5}{2} + \dfrac{-4}{4}$:

A.$\dfrac{-14}{4}$

B.$\dfrac{-9}{4}$

C.$\dfrac{-9}{6}$

D.$\dfrac{20}{4}$

Câu 3.Tính tổng $\dfrac{-5}{3} + \dfrac{5}{7}$:

A.$\dfrac{-20}{21}$

B.$\dfrac{0}{10}$

C.$\dfrac{-25}{21}$

D.$\dfrac{0}{21}$

2. Cộng hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệm`add_same_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính tổng $\dfrac{2 x + 1}{4 x - 2} + \dfrac{- 3 x - 1}{4 x - 2}$:

A.$\dfrac{- x}{4 x - 2}$

B.$\dfrac{- x}{8 x - 4}$

C.$\dfrac{- 6 x^{2} - 5 x - 1}{4 x - 2}$

D.$\dfrac{5 x + 2}{4 x - 2}$

Câu 5.Tính tổng $\dfrac{5 x + 1}{3 x + 4} + \dfrac{- 2 x - 1}{3 x + 4}$:

A.$\dfrac{3 x}{6 x + 8}$

B.$\dfrac{7 x + 2}{3 x + 4}$

C.$\dfrac{3 x}{3 x + 4}$

D.$\dfrac{- 10 x^{2} - 7 x - 1}{3 x + 4}$

Câu 6.Tính tổng $\dfrac{1 - 6 x}{4 x + 3} + \dfrac{- 7 x - 1}{4 x + 3}$:

A.$\dfrac{- 13 x}{4 x + 3}$

B.$\dfrac{42 x^{2} - x - 1}{4 x + 3}$

C.$\dfrac{- 13 x}{8 x + 6}$

D.$\dfrac{x + 2}{4 x + 3}$

3. Cộng/trừ hai phân thức khác mẫu (mẫu là nhị thức bậc nhất)Trắc nghiệm`add_subtract_binomial_denominators_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tính hiệu $\dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{1}{x + 1}$:

A.$\dfrac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

B.$\dfrac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

C.$\dfrac{x + 5}{-4}$

D.$\dfrac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Câu 8.Tính hiệu $\dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x + 5}$:

A.$\dfrac{2 x + 7}{x^{2} + 7 x + 10}$

B.$\dfrac{3}{-3}$

C.$\dfrac{3}{x^{2} + 7 x + 10}$

D.$\dfrac{0}{x^{2} + 7 x + 10}$

Câu 9.Tính tổng $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 5}$:

A.$\dfrac{4 x - 1}{2 x + 3}$

B.$\dfrac{4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

C.$\dfrac{11 - 2 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

D.$\dfrac{4}{x^{2} + 3 x - 10}$

4. Trừ hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệm`subtract_same_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính hiệu $\dfrac{2 - 4 x}{2 x - 4} - \dfrac{7 x - 1}{2 x - 4}$:

A.$\dfrac{3 - 11 x}{4 x - 8}$

B.$\dfrac{3 x + 1}{2 x - 4}$

C.$\dfrac{3 - 11 x}{2 x - 4}$

D.$\dfrac{5 - 11 x}{2 x - 4}$

Câu 11.Tính hiệu $\dfrac{x + 2}{3 x + 9} - \dfrac{7 x - 1}{3 x + 9}$:

A.$\dfrac{5 - 6 x}{3 x + 9}$

B.$\dfrac{8 x + 1}{3 x + 9}$

C.$\dfrac{3 - 6 x}{6 x + 18}$

D.$\dfrac{3 - 6 x}{3 x + 9}$

Câu 12.Tính hiệu $\dfrac{2 - 3 x}{6 x - 1} - \dfrac{- 6 x - 1}{6 x - 1}$:

A.$\dfrac{1 - 9 x}{6 x - 1}$

B.$\dfrac{3 x + 3}{12 x - 2}$

C.$\dfrac{3 x + 3}{6 x - 1}$

D.$\dfrac{3 x + 5}{6 x - 1}$

5. VD cao: $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \dfrac{n}{x(x+n)}$ qua kĩ thuật telescoping (tách phân thức)Trắc nghiệm`telescoping_partial_fraction_sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Tính tổng $S = \dfrac{1}{(5)(6)} + \dfrac{1}{(6)(7)} + \dfrac{1}{(7)(8)} + \dots + \dfrac{1}{(9)(10)}.$ (tổng có $5$ số hạng)

A.$\dfrac{1}{10}$

B.$\dfrac{1}{50}$

C.$\dfrac{1}{6}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 14.Tính tổng $S = \dfrac{1}{(1)(2)} + \dfrac{1}{(2)(3)} + \dfrac{1}{(3)(4)} + \dots + \dfrac{1}{(4)(5)}.$ (tổng có $4$ số hạng)

A.$\dfrac{4}{5}$

B.$\dfrac{1}{5}$

C.$\dfrac{5}{6}$

D.$\dfrac{8}{5}$

Câu 15.Tính tổng $S = \dfrac{1}{(1)(2)} + \dfrac{1}{(2)(3)} + \dfrac{1}{(3)(4)}.$ (tổng có $3$ số hạng)

A.$\dfrac{3}{2}$

B.$\dfrac{3}{4}$

C.$\dfrac{1}{4}$

D.$\dfrac{4}{5}$

6. Cho phân thức $\dfrac{1}{x-c}$ và $\dfrac{1}{x+c}$ cụ thể — kiểm tra kết quả phép cộng / trừĐúng / Sai`add_subtract_compute_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hai phân thức $\dfrac{1}{x - 2}$ và $\dfrac{1}{x + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điều kiện xác định khi cộng $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2}$ là $x \neq \pm 2$.

b)$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$.

c)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x + y}$ (với $x, y \neq 0$).

d)$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$.

Câu 17.Cho hai phân thức $\dfrac{1}{x - 2}$ và $\dfrac{1}{x + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x}$ (với $x \neq 0$).

b)$\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$.

c)Điều kiện xác định khi cộng $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2}$ là $x \neq \pm 2$.

d)$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$.

Câu 18.Cho hai phân thức $\dfrac{1}{x - 2}$ và $\dfrac{1}{x + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.

b)$\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{4}{x^2 - 4}$.

c)Điều kiện xác định khi cộng $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2}$ là $x \neq \pm 2$.

d)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x + y}$ (với $x, y \neq 0$).

7. Cho hai phân thức số cụ thể $\dfrac{p}{q}$ và $\dfrac{r}{s}$ — kiểm tra quy tắc quy đồng và cộngĐúng / Sai`add_subtract_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai phân thức $\dfrac{3}{3}$ và $\dfrac{1}{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.

b)Phép trừ $\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D}$ tương đương với phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{-C}{D}$.

c)Khi cộng các phân thức, có thể bỏ qua điều kiện xác định.

d)Phân thức $0$ là phần tử trung hoà của phép cộng phân thức.

Câu 20.Cho hai phân thức $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{3}{5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để cộng hai phân thức $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{3}{5}$, ta phải quy đồng mẫu (vì hai phân thức khác mẫu).

b)$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.

c)Để cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng tử và giữ nguyên mẫu.

d)Phép trừ $\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D}$ tương đương với phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{-C}{D}$.

Câu 21.Cho hai phân thức $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{1}{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để cộng hai phân thức $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{1}{3}$, ta phải quy đồng mẫu (vì hai phân thức khác mẫu).

b)$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.

c)Phân thức đối của $\dfrac{A}{B}$ là $\dfrac{-A}{-B}$.

d)Phép trừ $\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D}$ tương đương với phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{-C}{D}$.

8. Tính $m/(x + p) + n/(x + q)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắn`add_diff_denom_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính giá trị $\dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{-5}{x - 1}$ tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 23.Tính giá trị $\dfrac{-2}{x + 2} + \dfrac{-3}{x - 2}$ tại $x = -3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Tính giá trị $\dfrac{-4}{x + 4} + \dfrac{4}{x + 2}$ tại $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

9. Tính $(a x + b)/(e x + f) \pm (c x + d)/(e x + f)$ tại $x = x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`add_same_denom_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị của $\dfrac{3x + 3}{x - 5} + \dfrac{-4x - 2}{x - 5}$ tại $x = 1$.

Câu 26.Tính giá trị của $\dfrac{3x - 6}{5x - 4} + \dfrac{-x + 5}{5x - 4}$ tại $x = -2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính giá trị của $\dfrac{-2x - 6}{-2x - 8} - \dfrac{-x - 7}{-2x - 8}$ tại $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Công thức(2)

§2. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cộng hai phân thức khác mẫu (mẫu là các biểu thức bậc nhất)Trắc nghiệmadd_different_denominator(3 câu)

2. Cộng hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệmadd_same_denominator(3 câu)

3. Cộng/trừ hai phân thức khác mẫu (mẫu là nhị thức bậc nhất)Trắc nghiệmadd_subtract_binomial_denominators_l3(3 câu)

4. Trừ hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệmsubtract_same_denominator(3 câu)

5. VD cao: $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \dfrac{n}{x(x+n)}$ qua kĩ thuật telescoping (tách phân thức)Trắc nghiệmtelescoping_partial_fraction_sum(3 câu)

6. Cho phân thức $\dfrac{1}{x-c}$ và $\dfrac{1}{x+c}$ cụ thể — kiểm tra kết quả phép cộng / trừĐúng / Saiadd_subtract_compute_check(3 câu)

7. Cho hai phân thức số cụ thể $\dfrac{p}{q}$ và $\dfrac{r}{s}$ — kiểm tra quy tắc quy đồng và cộngĐúng / Saiadd_subtract_facts(3 câu)

8. Tính $m/(x + p) + n/(x + q)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắnadd_diff_denom_at_point(3 câu)

9. Tính $(a x + b)/(e x + f) \pm (c x + d)/(e x + f)$ tại $x = x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắnadd_same_denom_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cộng hai phân thức khác mẫu (mẫu là các biểu thức bậc nhất)Trắc nghiệm`add_different_denominator`(3 câu)

2. Cộng hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệm`add_same_denominator`(3 câu)

3. Cộng/trừ hai phân thức khác mẫu (mẫu là nhị thức bậc nhất)Trắc nghiệm`add_subtract_binomial_denominators_l3`(3 câu)

4. Trừ hai phân thức cùng mẫu thứcTrắc nghiệm`subtract_same_denominator`(3 câu)

5. VD cao: $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \dfrac{n}{x(x+n)}$ qua kĩ thuật telescoping (tách phân thức)Trắc nghiệm`telescoping_partial_fraction_sum`(3 câu)

6. Cho phân thức $\dfrac{1}{x-c}$ và $\dfrac{1}{x+c}$ cụ thể — kiểm tra kết quả phép cộng / trừĐúng / Sai`add_subtract_compute_check`(3 câu)

7. Cho hai phân thức số cụ thể $\dfrac{p}{q}$ và $\dfrac{r}{s}$ — kiểm tra quy tắc quy đồng và cộngĐúng / Sai`add_subtract_facts`(3 câu)

8. Tính $m/(x + p) + n/(x + q)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắn`add_diff_denom_at_point`(3 câu)

9. Tính $(a x + b)/(e x + f) \pm (c x + d)/(e x + f)$ tại $x = x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`add_same_denom_at_point`(3 câu)