Rút gọn phân thức

Công thức

§1. Phương pháp(1)

1.1

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (mẫu $\neq 0$). Bước 2. Phân tích tử + mẫu thành nhân tử. Bước 3. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bước 4. Phân thức rút gọn — viết lại + ghi ĐKXĐ ban đầu. Vd: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \dfrac{x+2}{x}$, ĐKXĐ: $x \neq 0, 2$.

§2. Mẹo(2)

2.1

Lưu ý: chỉ chia nhân tử chung, KHÔNG chia hạng tử

SAI: $\dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$ (KHÔNG được chia hạng tử). ĐÚNG: chỉ chia khi có nhân tử chung (kết quả phân tích thành tích). Vd ĐÚNG: $\dfrac{x(x+2)}{x(x+3)} = \dfrac{x+2}{x+3}$ (chia cho $x$, là nhân tử chung).

2.2

Mẹo: dùng hằng đẳng thức để phân tích

Trong các bài rút gọn phân thức, nhiều khi tử / mẫu có dạng:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.
$a^3 \pm b^3$.

→ Dùng hằng đẳng thức để phân tích nhanh, tìm nhân tử chung.

Bài tập

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệm`simplify_common_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Rút gọn phân thức $\dfrac{42 x^{2} - 21 x}{42 x^{2} + 7 x}$, ta được:

A.$\dfrac{6 x - 3}{6 x + 1}$

B.$\dfrac{x \left(6 x - 3\right)}{x \left(6 x + 1\right)}$

C.$\dfrac{42 x - 21}{42 x + 7}$

D.$\dfrac{6 x - 3}{- 6 x - 1}$

Câu 2.Rút gọn phân thức $\dfrac{14 x^{3} - 14 x^{2}}{42 x^{3} + 28 x^{2}}$, ta được:

A.$\dfrac{2 x - 2}{6 x + 4}$

B.$\dfrac{14 x - 14}{42 x + 28}$

C.$\dfrac{2 x - 2}{- 6 x - 4}$

D.$\dfrac{x^{2} \left(2 x - 2\right)}{x^{2} \left(6 x + 4\right)}$

Câu 3.Rút gọn phân thức $\dfrac{10 x^{3} - 15 x^{2}}{35 x^{3} + 25 x^{2}}$, ta được:

A.$\dfrac{10 x - 15}{35 x + 25}$

B.$\dfrac{2 x - 3}{7 x + 5}$

C.$\dfrac{x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{2} \left(7 x + 5\right)}$

D.$\dfrac{2 x - 3}{- 7 x - 5}$

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệm`simplify_monomial_fraction`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Rút gọn phân thức $\dfrac{10x^{7}}{5x^{4}}$.

A.$15x^{3}$

B.$2x^3$

C.$2x^{11}$

D.$5x^{3}$

Câu 5.Rút gọn phân thức $\dfrac{6x^{5}}{2x^{2}}$.

A.$4x^{3}$

B.$3x^3$

C.$3x^{7}$

D.$8x^{3}$

Câu 6.Rút gọn phân thức $\dfrac{15x^{4}}{3x^{2}}$.

A.$12x^{2}$

B.$5x^{6}$

C.$18x^{2}$

D.$5x^2$

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`simplify_perfect_square_over_diff_squares_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 12 x + 36}{x^{2} - 36}$ (với $x \neq \pm 6$):

A.$\dfrac{x - 6}{x + 6}$

B.$\dfrac{x + 6}{x - 6}$

C.$1$

D.$x + 6$

Câu 8.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 12 x + 36}{x^{2} - 36}$ (với $x \neq \pm 6$):

A.$x + 6$

B.$\dfrac{x - 6}{x + 6}$

C.$\dfrac{x + 6}{x - 6}$

D.$1$

Câu 9.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 8 x + 16}{x^{2} - 16}$ (với $x \neq \pm 4$):

A.$1$

B.$x + 4$

C.$\dfrac{x + 4}{x - 4}$

D.$\dfrac{x - 4}{x + 4}$

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệm`simplify_quadratic_fraction`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 16}{x + 4}$ (với $x \neq -4$).

A.$x^2 - 4$

B.$x - 4$

C.$x - 8$

D.$x + 4$

Câu 11.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x + 5}$ (với $x \neq -5$).

A.$x - 5$

B.$x + 5$

C.$x - 10$

D.$x^2 - 5$

Câu 12.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x + 5}$ (với $x \neq -5$).

A.$x^2 - 5$

B.$x + 5$

C.$x - 10$

D.$x - 5$

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệm`simplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 64}{x^{2} + 5 x + 4}$ (với $x \neq -4$ và $x \neq -1$):

A.$\dfrac{x + 4}{x + 1}$

B.$\dfrac{x^{2} + 4 x + 16}{x + 1}$

C.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 4}$

D.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 1}$

Câu 14.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 8}{x^{2} + 3 x + 2}$ (với $x \neq -2$ và $x \neq -1$):

A.$\dfrac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 1}$

B.$\dfrac{x^{2} - 2 x + 4}{x + 2}$

C.$\dfrac{x + 2}{x + 1}$

D.$\dfrac{x^{2} - 2 x + 4}{x + 1}$

Câu 15.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 27}{x^{2} + 5 x + 6}$ (với $x \neq -3$ và $x \neq -2$):

A.$\dfrac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 2}$

B.$\dfrac{x^{2} - 3 x + 9}{x + 2}$

C.$\dfrac{x^{2} - 3 x + 9}{x + 3}$

D.$\dfrac{x + 3}{x + 2}$

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệm`simplify_using_difference_of_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Rút gọn phân thức $\dfrac{25 x^{2} - 9}{5 x - 3}$, ta được:

A.$\left(5 x - 3\right) \left(5 x + 3\right)$

B.$5 x + 3$

C.$5 x - 3$

D.$x + 3$

Câu 17.Rút gọn phân thức $\dfrac{9 x^{2} - 4}{3 x + 2}$, ta được:

A.$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right)$

B.$3 x + 2$

C.$3 x - 2$

D.$x - 2$

Câu 18.Rút gọn phân thức $\dfrac{16 x^{2} - 4}{4 x + 2}$, ta được:

A.$x - 2$

B.$\left(4 x - 2\right) \left(4 x + 2\right)$

C.$4 x + 2$

D.$4 x - 2$

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Sai`simplify_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phân thức $\dfrac{8}{14}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

b)Phân thức $\dfrac{8}{14}$ có thể rút gọn được vì tử và mẫu có nhân tử chung là $2$.

c)Phân thức $\dfrac{4}{7}$ là phân thức tối giản.

d)$\dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$.

Câu 20.Cho phân thức $\dfrac{8}{28}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

b)Sau khi rút gọn, giá trị của phân thức không đổi tại các điểm thuộc miền xác định.

c)Phân thức $\dfrac{8}{28}$ có thể rút gọn được vì tử và mẫu có nhân tử chung là $4$.

d)Có thể rút gọn phân thức bằng cách TRỪ cùng một số ở tử và mẫu.

Câu 21.Cho phân thức $\dfrac{12}{28}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phân thức $\dfrac{12}{28}$ có thể rút gọn được vì tử và mẫu có nhân tử chung là $4$.

b)Để rút gọn phân thức, ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung khác $0$.

c)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

d)Có thể rút gọn phân thức bằng cách TRỪ cùng một số ở tử và mẫu.

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Sai`simplify_results_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

b)$\dfrac{(x - 5)^2}{x - 5} = x - 5$ với $x \neq 5$.

c)Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ là $x \neq 5$.

d)$\dfrac{2x + 4}{2} = x + 2$.

Câu 23.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ là $x \neq 5$.

b)$\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ rút gọn được thành $\dfrac{x^2}{x} - \dfrac{25}{5} = x - 5$.

c)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

d)$\dfrac{x^2 - 25}{x - 5} = x + 5$ với $x \neq 5$.

Câu 24.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

b)Tử thức $x^2 - 9$ phân tích được thành $(x - 3)(x + 3)$.

c)$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ rút gọn được thành $\dfrac{x^2}{x} - \dfrac{9}{3} = x - 3$.

d)$\dfrac{(x - 3)^2}{x - 3} = x - 3$ với $x \neq 3$.

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_common_factor_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị $\dfrac{5 x^2(x - 1)}{10 x^1(x - 1)}$ tại $x = 2$.

Câu 26.Tính giá trị $\dfrac{4 x^2(x + 1)}{8 x^2(x + 1)}$ tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính giá trị $\dfrac{15 x^2(x + 1)}{20 x^1(x + 1)}$ tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_difference_squares_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ tại $x = -3$.

Câu 29.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ tại $x = -2$.

Câu 30.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 36}{x - 6}$ tại $x = -2$.

Rút gọn phân thức

Công thức

§1. Phương pháp(1)

§2. Mẹo(2)

Bài tập

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệmsimplify_common_factor(3 câu)

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệmsimplify_monomial_fraction(3 câu)

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệmsimplify_perfect_square_over_diff_squares_l3(3 câu)

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệmsimplify_quadratic_fraction(3 câu)

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệmsimplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4(3 câu)

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệmsimplify_using_difference_of_squares(3 câu)

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Saisimplify_facts(3 câu)

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Saisimplify_results_check(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắnsimplify_common_factor_at_point(3 câu)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắnsimplify_difference_squares_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệm`simplify_common_factor`(3 câu)

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệm`simplify_monomial_fraction`(3 câu)

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`simplify_perfect_square_over_diff_squares_l3`(3 câu)

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệm`simplify_quadratic_fraction`(3 câu)

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệm`simplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4`(3 câu)

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệm`simplify_using_difference_of_squares`(3 câu)

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Sai`simplify_facts`(3 câu)

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Sai`simplify_results_check`(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_common_factor_at_point`(3 câu)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_difference_squares_at_point`(3 câu)