Nhân đa thức với đa thức

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

$$(A + B)(C + D) = A C + A D + B C + B D.$$ Tổng quát: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình thực hiện

Bước 1. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai. Bước 2. Cộng các tích thu được. Bước 3. Cộng các đơn thức đồng dạng → rút gọn. Vd: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng hằng đẳng thức

Trước khi nhân khai triển, kiểm tra có thuộc dạng hằng đẳng thức:

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

→ Dùng hằng đẳng thức trực tiếp, không cần khai triển → nhanh + chính xác hơn.

Bài tập

1. Nhân hai nhị thức bậc nhất (FOIL) — không gồm dạng hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`binomial_times_binomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Khai triển $\left(x + 3\right) \left(x + 5\right)$:

A.$x^{2} + 8 x + 15$

B.$x^{2} + 3 x + 15$

C.$x^{2} + 5 x + 15$

D.$x^{2} + 15$

Câu 2.Kết quả khai triển của $\left(x + 1\right) \left(3 x + 5\right)$ là:

A.$3 x^{2} + 3 x + 5$

B.$3 x^{2} + 5$

C.$3 x^{2} + 8 x + 5$

D.$3 x^{2} + 5 x + 5$

Câu 3.Kết quả khai triển của $\left(2 x + 3\right) \left(2 x + 7\right)$ là:

A.$4 x^{2} + 14 x + 21$

B.$4 x^{2} + 6 x + 21$

C.$4 x^{2} + 20 x + 21$

D.$4 x^{2} + 21$

2. Nhân nhị thức bậc nhất với tam thức bậc haiTrắc nghiệm`binomial_times_trinomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Biểu thức $\left(x + 4\right) \left(2 x^{2} + 3 x + 2\right)$ bằng với:

A.$8 x^{2} + 12 x + 8$

B.$2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$

C.$2 x^{3} + 8$

D.$2 x^{3} + 11 x^{2} + 14 x + 8$

Câu 5.Khai triển biểu thức $\left(4 x + 1\right) \left(4 x^{2} + 4 x + 5\right)$, ta được:

A.$16 x^{3} + 5$

B.$16 x^{3} + 16 x^{2} + 20 x$

C.$4 x^{2} + 4 x + 5$

D.$16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x + 5$

Câu 6.Tính $\left(4 x - 4\right) \left(4 x^{2} - 5 x + 7\right)$:

A.$16 x^{3} - 28$

B.$- 16 x^{2} + 20 x - 28$

C.$16 x^{3} - 20 x^{2} + 28 x$

D.$16 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 28$

3. Tính giá trị $(ax+b)(cx+d)$ tại $x = k$Trắc nghiệm`evaluate_product_two_polys`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính giá trị của biểu thức $(-2x - 5)(4x + 5)$ tại $x = -1$.

A.$-3$

B.$-63$

C.$-2$

D.$-33$

Câu 8.Tính giá trị của biểu thức $(x - 7)(5x - 5)$ tại $x = 4$.

A.$-45$

B.$0$

C.$-44$

D.$115$

Câu 9.Tính giá trị của biểu thức $(3x - 5)(3x - 3)$ tại $x = -2$.

A.$0$

B.$51$

C.$100$

D.$99$

4. Cho $(x + b)(x + c)$, tìm $b$ để hệ số $x$ trong khai triển bằng $0$ → $b + c = 0$Trắc nghiệm`find_b_for_no_x_term`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm giá trị của $b$ để khi khai triển biểu thức $(x + b)(x + 6) $, hệ số của $x$ bằng $0$.

A.$-6$

B.$6$

C.$-7$

D.$-5$

Câu 11.Tìm giá trị của $b$ để khi khai triển biểu thức $(x + b)(x - 7) $, hệ số của $x$ bằng $0$.

A.$7$

B.$8$

C.$6$

D.$-7$

Câu 12.Tìm giá trị của $b$ để khi khai triển biểu thức $(x + b)(x - 1) $, hệ số của $x$ bằng $0$.

A.$-1$

B.$2$

C.$0$

D.$1$

5. VD cao: chứng minh giá trị biểu thức KHÔNG phụ thuộc biến $x$Trắc nghiệm`prove_independent_of_variable`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $(x - 5)(x - 3) - x(x - 8)$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$. Kết luận nào sau đây đúng?

A.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $-15$.

B.Phụ thuộc $x$; biểu thức bằng $x^{2} - 8 x + 15$.

C.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $15$.

D.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $16$.

Câu 14.Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $(x + 2)(x - 4) - x(x - 2)$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$. Kết luận nào sau đây đúng?

A.Phụ thuộc $x$; biểu thức bằng $x^{2} - 2 x - 8$.

B.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $-7$.

C.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $-8$.

D.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $8$.

Câu 15.Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $(x + 2)(x + 5) - x(x + 7)$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$. Kết luận nào sau đây đúng?

A.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $-10$.

B.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $11$.

C.Không phụ thuộc $x$; giá trị bằng $10$.

D.Phụ thuộc $x$; biểu thức bằng $x^{2} + 7 x + 10$.

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về tích hai nhị thức bậc nhấtĐúng / Sai`check_binomial_product`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho tích $\left(x - 7\right) \left(4 x + 1\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hệ số của $x$ trong tích $\left(x - 7\right) \left(4 x + 1\right)$ bằng $-27$.

b)$\left(x - 7\right) \left(4 x + 1\right) = 4 x^{2} - 7$

c)Bậc của tích $\left(x - 7\right) \left(4 x + 1\right)$ bằng $3$.

d)$\left(x - 7\right) \left(4 x + 1\right) = 4 x^{2} - 27 x - 7$

Câu 17.Cho tích $\left(3 x + 5\right) \left(3 x + 7\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hệ số của $x$ trong tích $\left(3 x + 5\right) \left(3 x + 7\right)$ bằng $36$.

b)Hằng số trong tích $\left(3 x + 5\right) \left(3 x + 7\right)$ bằng $35$.

c)$\left(3 x + 5\right) \left(3 x + 7\right) = 9 x^{2} + 36 x + 35$

d)$\left(3 x + 5\right) \left(3 x + 7\right) = 9 x^{2} + 21 x + 35$

Câu 18.Cho tích $\left(2 x - 5\right) \left(5 x - 1\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Bậc của tích $\left(2 x - 5\right) \left(5 x - 1\right)$ bằng $3$.

b)$\left(2 x - 5\right) \left(5 x - 1\right) = 10 x^{2} + 5$

c)Hệ số của $x^2$ trong tích $\left(2 x - 5\right) \left(5 x - 1\right)$ bằng $10$.

d)$\left(2 x - 5\right) \left(5 x - 1\right) = 10 x^{2} - 2 x + 5$

7. Cho hai biểu thức cụ thể $(x + a)(x - a)$ và $(x + b)^2$ — kiểm tra hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thứcĐúng / Sai`multiply_poly_general_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai biểu thức $(x + 2)(x - 2)$ và $(x + 2)^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích của hai đa thức luôn có nhiều hạng tử hơn mỗi đa thức ban đầu.

b)Hằng đẳng thức $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ là trường hợp riêng của phép nhân đa thức.

c)$(x + 2)^2 = x^2 + 4$.

d)Tích của hai đa thức bậc $m$ và $n$ là một đa thức bậc $m + n$.

Câu 20.Cho hai biểu thức $(x + 3)(x - 3)$ và $(x + 3)^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hằng đẳng thức $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ là trường hợp riêng của phép nhân đa thức.

b)$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$.

c)$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

d)$(x + 3)(x + 3) = x^2 + 9$.

Câu 21.Cho hai biểu thức $(x + 4)(x - 4)$ và $(x + 3)^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

b)Tích của hai đa thức luôn có nhiều hạng tử hơn mỗi đa thức ban đầu.

c)$(x + 3)^2 = x^2 + 9$.

d)Khi nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng lại.

8. Sau khi khai triển $(ax+b)(cx+d)$, hỏi hệ số của $x$ hoặc hằng sốTrả lời ngắn`coef_after_multiply`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Khai triển $(-3x - 5)(4x + 5)$, tìm hệ số của $x$.

Câu 23.Khai triển $(-x - 3)(3x + 6)$, tìm hằng số.

Câu 24.Khai triển $(-2x - 3)(-2x + 2)$, tìm hệ số của $x$.

9. Tính $(ax + b)(cx + d)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắn`multiply_two_polys_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính $(-5x + 3)(3x + 1)$ tại $x = 2$.

Câu 26.Tính $(-3x + 5)(x + 6)$ tại $x = -1$.

Câu 27.Tính $(5x + 1)(x + 6)$ tại $x = 2$.

Nhân đa thức với đa thức

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Nhân hai nhị thức bậc nhất (FOIL) — không gồm dạng hiệu hai bình phươngTrắc nghiệmbinomial_times_binomial(3 câu)

2. Nhân nhị thức bậc nhất với tam thức bậc haiTrắc nghiệmbinomial_times_trinomial(3 câu)

3. Tính giá trị $(ax+b)(cx+d)$ tại $x = k$Trắc nghiệmevaluate_product_two_polys(3 câu)

4. Cho $(x + b)(x + c)$, tìm $b$ để hệ số $x$ trong khai triển bằng $0$ → $b + c = 0$Trắc nghiệmfind_b_for_no_x_term(3 câu)

5. VD cao: chứng minh giá trị biểu thức KHÔNG phụ thuộc biến $x$Trắc nghiệmprove_independent_of_variable(3 câu)

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về tích hai nhị thức bậc nhấtĐúng / Saicheck_binomial_product(3 câu)

7. Cho hai biểu thức cụ thể $(x + a)(x - a)$ và $(x + b)^2$ — kiểm tra hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thứcĐúng / Saimultiply_poly_general_facts(3 câu)

8. Sau khi khai triển $(ax+b)(cx+d)$, hỏi hệ số của $x$ hoặc hằng sốTrả lời ngắncoef_after_multiply(3 câu)

9. Tính $(ax + b)(cx + d)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắnmultiply_two_polys_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Nhân hai nhị thức bậc nhất (FOIL) — không gồm dạng hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`binomial_times_binomial`(3 câu)

2. Nhân nhị thức bậc nhất với tam thức bậc haiTrắc nghiệm`binomial_times_trinomial`(3 câu)

3. Tính giá trị $(ax+b)(cx+d)$ tại $x = k$Trắc nghiệm`evaluate_product_two_polys`(3 câu)

4. Cho $(x + b)(x + c)$, tìm $b$ để hệ số $x$ trong khai triển bằng $0$ → $b + c = 0$Trắc nghiệm`find_b_for_no_x_term`(3 câu)

5. VD cao: chứng minh giá trị biểu thức KHÔNG phụ thuộc biến $x$Trắc nghiệm`prove_independent_of_variable`(3 câu)

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về tích hai nhị thức bậc nhấtĐúng / Sai`check_binomial_product`(3 câu)

7. Cho hai biểu thức cụ thể $(x + a)(x - a)$ và $(x + b)^2$ — kiểm tra hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thứcĐúng / Sai`multiply_poly_general_facts`(3 câu)

8. Sau khi khai triển $(ax+b)(cx+d)$, hỏi hệ số của $x$ hoặc hằng sốTrả lời ngắn`coef_after_multiply`(3 câu)

9. Tính $(ax + b)(cx + d)$ tại $x = x_0$Trả lời ngắn`multiply_two_polys_at_point`(3 câu)