Hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức

§1. Công thức(4)

1.1

$(a \pm b)^3$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3.$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3.$$ Có thể nhớ qua tam giác Pascal: 1, 3, 3, 1.

1.2

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$$ → Phân tích hiệu hai bình phương thành tích. Vd: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Vd: $4 x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)$.

1.3

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$ Vd: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vd: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

1.4

$a^3 + b^3$ và $a^3 - b^3$

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$$ → Phân tích tổng/hiệu lập phương thành tích.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: 7 hằng đẳng thức

Học thuộc đầy đủ 7 hằng đẳng thức: 1. $(a + b)^2$, 2. $(a - b)^2$, 3. $a^2 - b^2$, 4. $(a+b)^3$, 5. $(a-b)^3$, 6. $a^3 + b^3$, 7. $a^3 - b^3$. Áp dụng: nhận dạng nhanh trong biểu thức cần khai triển / rút gọn / phân tích nhân tử.

Bài tập

1. Khai triển lập phương của một hiệu dạng $(x - b)^3$Trắc nghiệm`cube_of_difference`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Biểu thức $\left(x - 4\right)^{3}$ bằng với:

A.$x^{3} - 64$

B.$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

C.$x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64$

D.$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 64$

Câu 2.Hãy khai triển biểu thức $\left(x - 6\right)^{3}$:

A.$x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$

B.$x^{3} - 216$

C.$x^{3} - 18 x^{2} + 108 x + 216$

D.$x^{3} - 6 x^{2} + 36 x - 216$

Câu 3.Hãy khai triển biểu thức $\left(x - 5\right)^{3}$:

A.$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

B.$x^{3} - 5 x^{2} + 25 x - 125$

C.$x^{3} - 125$

D.$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 125$

2. Khai triển lập phương của một tổng dạng $(x + b)^3$Trắc nghiệm`cube_of_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Khai triển biểu thức $\left(x + 5\right)^{3}$, ta được:

A.$x^{3} + 15 x^{2} + 75 x - 125$

B.$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 125$

C.$x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

D.$x^{3} + 125$

Câu 5.Khai triển biểu thức $\left(x + 4\right)^{3}$, ta được:

A.$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 64$

B.$x^{3} + 64$

C.$x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

D.$x^{3} + 12 x^{2} + 48 x - 64$

Câu 6.Kết quả khai triển của $\left(x + 6\right)^{3}$ là:

A.$x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

B.$x^{3} + 18 x^{2} + 108 x - 216$

C.$x^{3} + 6 x^{2} + 36 x + 216$

D.$x^{3} + 216$

3. Phân tích hiệu hai lập phương dạng $x^3 - b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệm`difference_of_cubes_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phân tích đa thức $x^{3} - 125$ thành nhân tử:

A.$\left(x - 5\right)^{3}$

B.$\left(x - 5\right) \left(x^{2} - 5 x + 25\right)$

C.$\left(x - 5\right) \left(x^{2} + 5 x + 25\right)$

D.$\left(x + 5\right) \left(x^{2} - 5 x + 25\right)$

Câu 8.Phân tích đa thức $x^{3} - 27$ thành nhân tử:

A.$\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 3 x + 9\right)$

B.$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 3 x + 9\right)$

C.$\left(x - 3\right)^{3}$

D.$\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 9\right)$

Câu 9.Phân tích đa thức $x^{3} - 216$ thành nhân tử:

A.$\left(x - 6\right) \left(x^{2} + 6 x + 36\right)$

B.$\left(x - 6\right)^{3}$

C.$\left(x + 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 36\right)$

D.$\left(x - 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 36\right)$

4. Khai triển hiệu hai bình phương dạng $(ax + b)(ax - b)$Trắc nghiệm`difference_of_squares_expand`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Hãy khai triển biểu thức $\left(3 x - 3\right) \left(3 x + 3\right)$:

A.$9 x^{2} - 9$

B.$9 x^{2} + 9$

C.$3 x^{2} - 9$

D.$9 x^{2} - 18 x - 9$

Câu 11.Kết quả khai triển của $\left(2 x - 5\right) \left(2 x + 5\right)$ là:

A.$2 x^{2} - 25$

B.$4 x^{2} + 25$

C.$4 x^{2} - 20 x - 25$

D.$4 x^{2} - 25$

Câu 12.Hãy khai triển biểu thức $\left(2 x - 4\right) \left(2 x + 4\right)$:

A.$4 x^{2} - 16$

B.$4 x^{2} - 16 x - 16$

C.$2 x^{2} - 16$

D.$4 x^{2} + 16$

5. Rút gọn $(ax + b)^2 - (ax - b)^2$ bằng hằng đẳng thứcTrắc nghiệm`simplify_two_squares_diff`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Kết quả rút gọn của $- \left(5 x - 7\right)^{2} + \left(5 x + 7\right)^{2}$ là:

A.$140 x^{2}$

B.$50 x^{2} + 98$

C.$140 x$

D.$70 x$

Câu 14.Rút gọn $- \left(6 x - 2\right)^{2} + \left(6 x + 2\right)^{2}$:

A.$48 x$

B.$72 x^{2} + 8$

C.$24 x$

D.$48 x^{2}$

Câu 15.Kết quả rút gọn của $- \left(6 x - 7\right)^{2} + \left(6 x + 7\right)^{2}$ là:

A.$84 x$

B.$168 x^{2}$

C.$72 x^{2} + 98$

D.$168 x$

6. Khai triển bình phương của một hiệu dạng $(ax - b)^2$Trắc nghiệm`square_of_difference`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Biểu thức $\left(3 x - 5\right)^{2}$ bằng với:

A.$9 x^{2} + 30 x + 25$

B.$9 x^{2} + 25$

C.$9 x^{2} - 30 x + 25$

D.$9 x^{2} - 15 x + 25$

Câu 17.Tính $\left(4 x - 4\right)^{2}$:

A.$16 x^{2} + 32 x + 16$

B.$16 x^{2} - 32 x + 16$

C.$16 x^{2} - 16 x + 16$

D.$16 x^{2} + 16$

Câu 18.Hãy khai triển biểu thức $\left(4 x - 3\right)^{2}$:

A.$16 x^{2} - 24 x + 9$

B.$16 x^{2} + 24 x + 9$

C.$16 x^{2} - 12 x + 9$

D.$16 x^{2} + 9$

7. Khai triển bình phương của một tổng dạng $(ax + b)^2$Trắc nghiệm`square_of_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Biểu thức $\left(3 x + 7\right)^{2}$ bằng với:

A.$9 x^{2} + 42 x + 49$

B.$9 x^{2} - 42 x + 49$

C.$9 x^{2} + 21 x + 49$

D.$9 x^{2} + 49$

Câu 20.Biểu thức $\left(3 x + 6\right)^{2}$ bằng với:

A.$9 x^{2} - 36 x + 36$

B.$9 x^{2} + 18 x + 36$

C.$9 x^{2} + 36 x + 36$

D.$9 x^{2} + 36$

Câu 21.Hãy khai triển biểu thức $\left(2 x + 4\right)^{2}$:

A.$4 x^{2} + 16$

B.$4 x^{2} - 16 x + 16$

C.$4 x^{2} + 16 x + 16$

D.$4 x^{2} + 8 x + 16$

8. Phân tích tổng hai lập phương dạng $x^3 + b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệm`sum_of_cubes_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Phân tích đa thức $x^{3} + 216$ thành nhân tử:

A.$\left(x + 6\right)^{3}$

B.$\left(x + 6\right) \left(x^{2} + 6 x + 36\right)$

C.$\left(x - 6\right) \left(x^{2} + 6 x + 36\right)$

D.$\left(x + 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 36\right)$

Câu 23.Phân tích đa thức $x^{3} + 125$ thành nhân tử:

A.$\left(x + 5\right) \left(x^{2} + 5 x + 25\right)$

B.$\left(x + 5\right)^{3}$

C.$\left(x + 5\right) \left(x^{2} - 5 x + 25\right)$

D.$\left(x - 5\right) \left(x^{2} + 5 x + 25\right)$

Câu 24.Phân tích đa thức $x^{3} + 64$ thành nhân tử:

A.$\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 4 x + 16\right)$

B.$\left(x + 4\right) \left(x^{2} - 4 x + 16\right)$

C.$\left(x - 4\right) \left(x^{2} + 4 x + 16\right)$

D.$\left(x + 4\right)^{3}$

9. VD cao: $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$Trắc nghiệm`symmetric_sum_a2_b2_c2`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 25.Cho ba số $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 5$ và $ab + bc + ca = -3$. Tính giá trị $a^2 + b^2 + c^2$.

A.$19$

B.$25$

C.$31$

D.$11$

Câu 26.Cho ba số $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 5$ và $ab + bc + ca = -3$. Tính giá trị $a^2 + b^2 + c^2$.

A.$31$

B.$25$

C.$11$

D.$19$

Câu 27.Cho ba số $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$ và $ab + bc + ca = -2$. Tính giá trị $a^2 + b^2 + c^2$.

A.$7$

B.$13$

C.$5$

D.$9$

10. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(x \pm b)^3$Đúng / Sai`check_cube_identity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho biểu thức $\left(x + 6\right)^{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khi $x = 0$, giá trị của $\left(x + 6\right)^{3}$ bằng $216$.

b)Khai triển $\left(x + 6\right)^{3}$ là đa thức bậc $3$ theo $x$.

c)$\left(x + 6\right)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 36 x + 216$

d)Hệ số của $x$ trong khai triển $\left(x + 6\right)^{3}$ bằng $108$.

Câu 29.Cho biểu thức $\left(x + 5\right)^{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khi $x = 0$, giá trị của $\left(x + 5\right)^{3}$ bằng $125$.

b)Khai triển $\left(x + 5\right)^{3}$ là đa thức bậc $3$ theo $x$.

c)$\left(x + 5\right)^{3} = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

d)$\left(x + 5\right)^{3} = x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 125$

Câu 30.Cho biểu thức $\left(x - 4\right)^{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$\left(x - 4\right)^{3} = x^{3} - 64$

b)Hệ số của $x$ trong khai triển $\left(x - 4\right)^{3}$ bằng $48$.

c)Khai triển $\left(x - 4\right)^{3}$ là đa thức bậc $3$ theo $x$.

d)Hệ số của $x^2$ trong khai triển $\left(x - 4\right)^{3}$ bằng $-12$.

11. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(ax \pm b)^2$Đúng / Sai`check_square_identity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho biểu thức $\left(4 x - 7\right)^{2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hệ số của $x^2$ trong khai triển $\left(4 x - 7\right)^{2}$ bằng $16$.

b)Khai triển $\left(4 x - 7\right)^{2}$ là một đa thức bậc $3$ theo $x$.

c)$\left(4 x - 7\right)^{2} \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d)$\left(4 x - 7\right)^{2} = 16 x^{2} + 56 x + 49$

Câu 32.Cho biểu thức $\left(5 x + 4\right)^{2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hệ số của $x^2$ trong khai triển $\left(5 x + 4\right)^{2}$ bằng $25$.

b)Khi $x = 0$, giá trị của $\left(5 x + 4\right)^{2}$ bằng $16$.

c)$\left(5 x + 4\right)^{2} = 25 x^{2} - 40 x + 16$

d)$\left(5 x + 4\right)^{2} = 25 x^{2} + 40 x + 16$

Câu 33.Cho biểu thức $\left(3 x + 6\right)^{2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$\left(3 x + 6\right)^{2} = 9 x^{2} - 36 x + 36$

b)$\left(3 x + 6\right)^{2} \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)Khai triển $\left(3 x + 6\right)^{2}$ là một đa thức bậc $3$ theo $x$.

d)$\left(3 x + 6\right)^{2} = 9 x^{2} + 18 x + 36$

12. Sử dụng $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ để tính nhanh: tính $a^2 - b^2$ với $a, b$ cụ thểTrả lời ngắn`diff_squares_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tính nhanh $92^2 - 90^2$ bằng cách dùng hằng đẳng thức.

Câu 35.Tính nhanh $32^2 - 31^2$ bằng cách dùng hằng đẳng thức.

Câu 36.Tính nhanh $43^2 - 42^2$ bằng cách dùng hằng đẳng thức.

13. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn rồi tính giá trị tại $x = k$Trả lời ngắn`evaluate_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Tính giá trị của biểu thức $\left(5 x - 8\right)^{2}$ tại $x = 4$.

Câu 38.Tính giá trị của biểu thức $\left(x - 5\right)^{2}$ tại $x = 3$.

Câu 39.Tính giá trị của biểu thức $\left(4 x - 3\right)^{2}$ tại $x = -4$.

Công thức

§1. Công thức(4)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Khai triển lập phương của một hiệu dạng $(x - b)^3$Trắc nghiệmcube_of_difference(3 câu)

2. Khai triển lập phương của một tổng dạng $(x + b)^3$Trắc nghiệmcube_of_sum(3 câu)

3. Phân tích hiệu hai lập phương dạng $x^3 - b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệmdifference_of_cubes_factor(3 câu)

4. Khai triển hiệu hai bình phương dạng $(ax + b)(ax - b)$Trắc nghiệmdifference_of_squares_expand(3 câu)

5. Rút gọn $(ax + b)^2 - (ax - b)^2$ bằng hằng đẳng thứcTrắc nghiệmsimplify_two_squares_diff(3 câu)

6. Khai triển bình phương của một hiệu dạng $(ax - b)^2$Trắc nghiệmsquare_of_difference(3 câu)

7. Khai triển bình phương của một tổng dạng $(ax + b)^2$Trắc nghiệmsquare_of_sum(3 câu)

8. Phân tích tổng hai lập phương dạng $x^3 + b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệmsum_of_cubes_factor(3 câu)

9. VD cao: $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$Trắc nghiệmsymmetric_sum_a2_b2_c2(3 câu)

10. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(x \pm b)^3$Đúng / Saicheck_cube_identity(3 câu)

11. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(ax \pm b)^2$Đúng / Saicheck_square_identity(3 câu)

12. Sử dụng $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ để tính nhanh: tính $a^2 - b^2$ với $a, b$ cụ thểTrả lời ngắndiff_squares_value(3 câu)

13. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn rồi tính giá trị tại $x = k$Trả lời ngắnevaluate_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Khai triển lập phương của một hiệu dạng $(x - b)^3$Trắc nghiệm`cube_of_difference`(3 câu)

2. Khai triển lập phương của một tổng dạng $(x + b)^3$Trắc nghiệm`cube_of_sum`(3 câu)

3. Phân tích hiệu hai lập phương dạng $x^3 - b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệm`difference_of_cubes_factor`(3 câu)

4. Khai triển hiệu hai bình phương dạng $(ax + b)(ax - b)$Trắc nghiệm`difference_of_squares_expand`(3 câu)

5. Rút gọn $(ax + b)^2 - (ax - b)^2$ bằng hằng đẳng thứcTrắc nghiệm`simplify_two_squares_diff`(3 câu)

6. Khai triển bình phương của một hiệu dạng $(ax - b)^2$Trắc nghiệm`square_of_difference`(3 câu)

7. Khai triển bình phương của một tổng dạng $(ax + b)^2$Trắc nghiệm`square_of_sum`(3 câu)

8. Phân tích tổng hai lập phương dạng $x^3 + b^3$ thành nhân tửTrắc nghiệm`sum_of_cubes_factor`(3 câu)

9. VD cao: $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$Trắc nghiệm`symmetric_sum_a2_b2_c2`(3 câu)

10. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(x \pm b)^3$Đúng / Sai`check_cube_identity`(3 câu)

11. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về hằng đẳng thức $(ax \pm b)^2$Đúng / Sai`check_square_identity`(3 câu)

12. Sử dụng $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ để tính nhanh: tính $a^2 - b^2$ với $a, b$ cụ thểTrả lời ngắn`diff_squares_value`(3 câu)

13. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn rồi tính giá trị tại $x = k$Trả lời ngắn`evaluate_at_point`(3 câu)