Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Câu 1.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x + 7}{5 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.

Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ trên đoạn $[-1; 4]$.

Câu 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn $[-3; 5]$.

Câu 4.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $20$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 5.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x + 3}{4 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} \cdot y_{\min}$.

Câu 6.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x - 1}{3 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} \cdot y_{\min}$.

Câu 7.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $24$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 8.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 6x - 6$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 9.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = - 3 x^{2} - 5 x + 4$ trên $[-2; 2]$.

Câu 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Câu 11.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $9$.

Câu 12.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $80$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 13.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $80$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 14.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ trên đoạn $[-3; 0]$.

Câu 15.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $7$.

Câu 16.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $9$.

Câu 17.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ trên đoạn $[-1; 4]$.

Câu 18.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $60$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 19.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 20.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $[1; 9]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 21.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 4x$ trên đoạn $[-4; -1]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 5]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 23.Để hỗ trợ phát triển vaccine phòng dịch tại địa phương, số lượng người được tiêm sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{20000}{1 + 99\, e^{-\dfrac{t}{2}}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người được tiêm mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 24.Cho $y = -x^3 + 3x + 1$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-2; 2]$.

Câu 25.Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng container nhỏ kho hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 400$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $4$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.

Câu 26.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $200$ mét ($AB = CD = 200$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 300\left(e^{x/600} + e^{-x/600}\right) - 580$, với $-100 \le x \le 100$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 4\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 9]$.

Câu 28.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 29.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -2x^2 - 3x - 6$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 30.Tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 31.Tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 32.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -3x^2 - 6x - 7$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 33.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = 2x^2 - 3x + 3$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 34.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 35.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 36.Để hỗ trợ phát triển loại sản phẩm mới ra mắt thị trường, số lượng khách mua sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{5000}{1 + 24\, e^{-t}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng khách mua mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 37.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $110$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 38.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -2x^2 + 3x - 7$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 39.Tấm bìa hình vuông cạnh $6$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?