Chỉnh hợp, tổ hợp

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(18 câu)

Câu 1.Biểu thức nào sau đây bằng $C_{10}^{4}$?

A.$C_{11}^{4}$

B.$A_{10}^{4}$

C.$C_{10}^{3}$

D.$C_{10}^{6}$

Câu 2.Một tổ có $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh đi tham quan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong $3$ học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ?

A.$100$

B.$20$

C.$4$

D.$120$

Câu 3.Một nhóm có $12$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $5$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.95040

B.792

C.793

D.60

Câu 4.Tính $A_{5}^{4}$ (chỉnh hợp chập $4$ của $5$).

A.$A_{5}^{4} = 20$

B.$A_{5}^{4} = 121$

C.$A_{5}^{4} = 5$

D.$A_{5}^{4} = 120$

Câu 5.Tính $A_{5}^{3}$ (chỉnh hợp chập $3$ của $5$).

A.$A_{5}^{3} = 15$

B.$A_{5}^{3} = 10$

C.$A_{5}^{3} = 120$

D.$A_{5}^{3} = 60$

Câu 6.Một lớp có $22$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.462

B.9240

C.1540

D.66

Câu 7.Một nhóm có $11$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $5$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.462

B.55

C.463

D.55440

Câu 8.Tính $C_{12}^{3}$ (số tổ hợp chập $3$ của $12$).

A.$C_{12}^{3} = 479001600$

B.$C_{12}^{3} = 220$

C.$C_{12}^{3} = 1320$

D.$C_{12}^{3} = 36$

Câu 9.Một lớp có $27$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.81

B.2925

C.17550

D.702

Câu 10.Biểu thức nào sau đây bằng $C_{11}^{3}$?

A.$C_{11}^{2}$

B.$C_{11}^{8}$

C.$C_{12}^{3}$

D.$A_{11}^{3}$

Câu 11.Một lớp có $27$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.17550

B.702

C.81

D.2925

Câu 12.Tính $A_{8}^{4}$ (chỉnh hợp chập $4$ của $8$).

A.$A_{8}^{4} = 70$

B.$A_{8}^{4} = 1680$

C.$A_{8}^{4} = 32$

D.$A_{8}^{4} = 40320$

Câu 13.Tính $A_{4}^{2}$ (chỉnh hợp chập $2$ của $4$).

A.$A_{4}^{2} = 24$

B.$A_{4}^{2} = 8$

C.$A_{4}^{2} = 6$

D.$A_{4}^{2} = 12$

Câu 14.Một nhóm có $9$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $4$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.3024

B.127

C.126

D.36

Câu 15.Tính $A_{6}^{3}$ (chỉnh hợp chập $3$ của $6$).

A.$A_{6}^{3} = 20$

B.$A_{6}^{3} = 120$

C.$A_{6}^{3} = 720$

D.$A_{6}^{3} = 18$

Câu 16.Tính $C_{7}^{5}$ (số tổ hợp chập $5$ của $7$).

A.$C_{7}^{5} = 35$

B.$C_{7}^{5} = 5040$

C.$C_{7}^{5} = 2520$

D.$C_{7}^{5} = 21$

Câu 17.Một nhóm có $11$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $4$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.331

B.7920

C.44

D.330

Câu 18.Một lớp có $30$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.870

B.24360

C.90

D.4060

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(7 câu)

Câu 19.Một lớp học có $10$ học sinh. Xét bài toán chọn $3$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A_{10}^0 = 0$.

b)$A_{10}^{3} = 3! \cdot C_{10}^{3} = 6 \cdot 120 = 720$.

c)$C_{10}^{3} = C_{10}^{7}$ (đối xứng).

d)$C_{10}^{10} = 1$.

Câu 20.Một câu lạc bộ có $10$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chia 3 chiếc kẹo giống nhau cho 1 người là $C_{10}^{3}$.

b)$A_{10}^{3} = 6 \cdot C_{10}^{3}$.

c)$A_{10}^{3}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $C_{10}^{3}$.

d)$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Câu 21.Một câu lạc bộ có $12$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn ban gồm 1 trưởng, 1 phó, 1 thư kí là $A_{12}^3 = 1320$.

b)$A_{12}^{3}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $C_{12}^{3}$.

c)$C_n^0 = 0$ (chọn không gì).

d)Số cách chia 3 chiếc kẹo giống nhau cho 1 người là $C_{12}^{3}$.

Câu 22.Một câu lạc bộ có $9$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn ban gồm 1 trưởng, 1 phó, 1 thư kí là $A_{9}^3 = 504$.

b)Số cách chọn ban 3 người không phân biệt vai trò là $C_{9}^{3} = 84$.

c)$C_n^0 = 0$ (chọn không gì).

d)$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Câu 23.Một lớp học có $8$ học sinh. Xét bài toán chọn $2$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Chỉnh hợp tính cả thứ tự, tổ hợp không tính thứ tự.

b)$A_{8}^{2} = 2! \cdot C_{8}^{2} = 2 \cdot 28 = 56$.

c)$C_{8}^{2} = C_{8}^{6}$ (đối xứng).

d)Tổ hợp tính cả thứ tự, chỉnh hợp không tính thứ tự.

Câu 24.Một câu lạc bộ có $9$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn ban 3 người không phân biệt vai trò là $C_{9}^{3} = 84$.

b)$C_n^0 = 0$ (chọn không gì).

c)$A_{9}^{3}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $C_{9}^{3}$.

d)$A_{9}^{3} = 6 \cdot C_{9}^{3}$.

Câu 25.Một lớp học có $7$ học sinh. Xét bài toán chọn $2$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn 2 học sinh có phân biệt thứ tự là $A_{7}^{2} = 42$.

b)Số cách chọn 2 học sinh không phân biệt thứ tự là $C_{7}^{2} = 21$.

c)$A_{7}^{2} = 2! \cdot C_{7}^{2} = 2 \cdot 21 = 42$.

d)Tổ hợp tính cả thứ tự, chỉnh hợp không tính thứ tự.

Phần III. Trả lời ngắn(19 câu)

Câu 26.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $9999$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 27.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số trong tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Hỏi có bao nhiêu số như vậy vừa chia hết cho $11$ vừa có tổng các chữ số chia hết cho $11$?

Câu 28.Số tổ hợp chập $4$ của $5$ phần tử.

Câu 29.Tính $C_7^4$.

Câu 30.Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Xác suất để lấy được một số chẵn chứa các chữ số $2, 3, 4$ sao cho chữ số $2$ đứng trước chữ số $3$ và chữ số $3$ đứng trước chữ số $4$ là $\dfrac{a}{b}$ (trong đó $a, b$ là hai số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Câu 31.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $9999$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 32.Cần chia bánh trung thu cho 3 nhóm thiếu nhi: phân phối $12$ hộp bánh (các hộp bánh giống hệt nhau) cho $3$ nhóm A, B và C. Theo quy định: nhóm $A$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $B$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $C$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $12$ hộp bánh này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 33.Cho tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 15\}$. Có bao nhiêu cách chọn $6$ số phân biệt từ $S$ và sắp xếp chúng thành một dãy $(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6)$ thỏa mãn đồng thời: $\bullet$ $\log_3(a_1) + \log_3(a_2) + \log_3(a_3)$ là một số nguyên. $\bullet$ $a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.

Câu 34.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $99$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 35.Cho tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 15\}$. Có bao nhiêu cách chọn $6$ số phân biệt từ $S$ và sắp xếp chúng thành một dãy $(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6)$ thỏa mãn đồng thời: $\bullet$ $\log_3(a_1) + \log_3(a_2) + \log_3(a_3)$ là một số nguyên. $\bullet$ $a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.

Câu 36.Một hệ thống tự động chia phần thưởng cho 4 đội (các phần thưởng giống hệt nhau): phân phối ngẫu nhiên $8$ phần thưởng cho $4$ đội (đánh số $1, 2, \ldots, 4$). Hệ thống đảm bảo mỗi đội đều nhận được ít nhất $1$ phần thưởng. Tính xác suất để đội số $1$ nhận được đúng $2$ phần thưởng (viết kết quả dưới dạng số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 37.Tính $C_6^4$.

Câu 38.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số trong tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Hỏi có bao nhiêu số như vậy vừa chia hết cho $11$ vừa có tổng các chữ số chia hết cho $11$?

Câu 39.Số tổ hợp chập $3$ của $6$ phần tử.

Câu 40.Cần phân bổ học bổng cho 3 lớp: phân phối $20$ suất học bổng (các suất học bổng giống hệt nhau) cho $3$ lớp A, B và C. Theo quy định: lớp $A$ phải nhận ít nhất $3$ suất học bổng; lớp $B$ phải nhận ít nhất $4$ suất học bổng; lớp $C$ phải nhận ít nhất $2$ suất học bổng. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $20$ suất học bổng này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 41.Số tổ hợp chập $2$ của $10$ phần tử.

Câu 42.Cần chia bánh trung thu cho 3 nhóm thiếu nhi: phân phối $12$ hộp bánh (các hộp bánh giống hệt nhau) cho $3$ nhóm A, B và C. Theo quy định: nhóm $A$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $B$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $C$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $12$ hộp bánh này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 43.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $1111$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 44.Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Xác suất để lấy được một số chẵn chứa các chữ số $2, 3, 4$ sao cho chữ số $2$ đứng trước chữ số $3$ và chữ số $3$ đứng trước chữ số $4$ là $\dfrac{a}{b}$ (trong đó $a, b$ là hai số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(18 câu)

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(7 câu)

Phần III. Trả lời ngắn(19 câu)

Đáp án & Lời giải

Mở đáp án hôm nay