Đạo hàm thương

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Công thức đạo hàm thương

$$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}, \quad v \neq 0.$$ Lưu ý: dấu trong tử số: $u' v$ TRƯỚC, $u v'$ SAU (đừng nhầm).

1.2

Đạo hàm $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$

$$y = \dfrac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow y' = \dfrac{ad - bc}{(cx+d)^2}.$$ Hệ quả:

$ad - bc > 0$: $y' > 0$ → đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
$ad - bc < 0$: $y' < 0$ → nghịch biến.

1.3

Đạo hàm $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{a'x + b'}$

$$y' = \dfrac{(2ax + b)(a'x + b') - a'(ax^2 + bx + c)}{(a'x + b')^2}.$$ Tử số rút gọn thành tam thức bậc 2 theo $x$.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Phương pháp đạo hàm thương

Bước 1. Xác định $u, v$ (tử và mẫu). Bước 2. Tính $u', v'$ riêng rẽ. Bước 3. Áp dụng $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Bước 4. Rút gọn tử số (thường thu được biểu thức bậc thấp hơn). Bước 5. Kết quả: $\dfrac{\text{tử rút gọn}}{v^2}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: chia trước, đạo hàm sau

Khi tử có bậc cao hơn mẫu, hãy thực hiện chia đa thức trước → tách thành tổng đa thức và hàm phân thức bậc thấp hơn, rồi đạo hàm: $$y = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} = (x + 1) + \dfrac{2}{x+1} \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{2}{(x+1)^2}.$$ Cách này tránh áp dụng công thức đạo hàm thương phức tạp.

Bài tập

1. Đạo hàm hàm dạng $\dfrac{1}{P(x)}$ với $P$ bậc 2Trắc nghiệm`derivative_inverse_polynomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2 x^{2} - x - 4}$.

A.$f'(x) = \dfrac{1 - 4 x}{2 x^{2} - x - 4}$

B.$f'(x) = - \dfrac{1}{\left(2 x^{2} - x - 4\right)^{2}}$

C.$f'(x) = \dfrac{4 x - 1}{\left(2 x^{2} - x - 4\right)^{2}}$

D.$f'(x) = \dfrac{1 - 4 x}{\left(- 2 x^{2} + x + 4\right)^{2}}$

Câu 2.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{- 2 x^{2} + 5 x - 7}$.

A.$f'(x) = \dfrac{4 x - 5}{\left(2 x^{2} - 5 x + 7\right)^{2}}$

B.$f'(x) = \dfrac{4 x - 5}{- 2 x^{2} + 5 x - 7}$

C.$f'(x) = - \dfrac{1}{\left(- 2 x^{2} + 5 x - 7\right)^{2}}$

D.$f'(x) = \dfrac{5 - 4 x}{\left(- 2 x^{2} + 5 x - 7\right)^{2}}$

Câu 3.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{- 2 x^{2} - 3 x - 2}$.

A.$f'(x) = \dfrac{4 x + 3}{\left(2 x^{2} + 3 x + 2\right)^{2}}$

B.$f'(x) = - \dfrac{1}{\left(- 2 x^{2} - 3 x - 2\right)^{2}}$

C.$f'(x) = \dfrac{4 x + 3}{- 2 x^{2} - 3 x - 2}$

D.$f'(x) = \dfrac{- 4 x - 3}{\left(- 2 x^{2} - 3 x - 2\right)^{2}}$

2. Đạo hàm hàm số dạng $\dfrac{ax + b}{cx + d}$Trắc nghiệm`derivative_linear_over_linear`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{- x - 1}{- 2 x - 5}$.

A.$f'(x) = \dfrac{-1}{-2}$

B.$f'(x) = \dfrac{3}{(- 2 x - 5)^2}$

C.$f'(x) = \dfrac{-1}{(- 2 x - 5)^2}$

D.$f'(x) = \dfrac{7}{(- 2 x - 5)^2}$

Câu 5.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{- 5 x - 6}{- 2 x - 5}$.

A.$f'(x) = \dfrac{-5}{-2}$

B.$f'(x) = \dfrac{37}{(- 2 x - 5)^2}$

C.$f'(x) = \dfrac{-5}{(- 2 x - 5)^2}$

D.$f'(x) = \dfrac{13}{(- 2 x - 5)^2}$

Câu 6.Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{4 x + 5}{4 x + 1}$.

A.$f'(x) = \dfrac{4}{(4 x + 1)^2}$

B.$f'(x) = \dfrac{24}{(4 x + 1)^2}$

C.$f'(x) = \dfrac{4}{4}$

D.$f'(x) = \dfrac{-16}{(4 x + 1)^2}$

3. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm phân thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ tại điểmTrắc nghiệm`tangent_of_rational_function`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x - 2}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

A.$y = -x + 2$

B.$y = -x + 1$

C.$y = -x$

D.$y = x + 1$

Câu 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3 x + 2}{x + 3}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$.

A.$y = 7x + 10$

B.$y = -7x + 10$

C.$y = 7x + 9$

D.$y = 7x + 11$

Câu 9.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{- 2 x - 3}{x + 2}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$.

A.$y = -x - 7$

B.$y = x - 6$

C.$y = -x - 6$

D.$y = -x - 5$

4. Tiếp tuyến của $\dfrac{ax+b}{x+d}$ có hệ số góc cho trước (HAI tiếp tuyến)Trắc nghiệm`tangent_to_rational_with_given_slope`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hàm số $y = \dfrac{2 x - 5}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình các tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc bằng $1$.

A.$y = x - 3 \text{ và } y = x + 3$

B.$y = x - 2 \text{ và } y = x + 2$

C.$y = -x - 2 \text{ và } y = -x + 2$

D.$y = x + 2$

Câu 11.Cho hàm số $y = \dfrac{1 - 3 x}{x - 3}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình các tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc bằng $2$.

A.$y = -2x - 17 \text{ và } y = -2x - 1$

B.$y = 2x - 17 \text{ và } y = 2x - 1$

C.$y = 2x - 18 \text{ và } y = 2x$

D.$y = 2x - 1$

Câu 12.Cho hàm số $y = \dfrac{- x - 4}{x + 3}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình các tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc bằng $1$.

A.$y = x + 4$

B.$y = -x \text{ và } y = -x + 4$

C.$y = x \text{ và } y = x + 4$

D.$y = x - 1 \text{ và } y = x + 5$

5. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ cụ thể — đạo hàm bằng quy tắc thươngĐúng / Sai`deriv_quotient_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{3x + 3}{x + 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số xác định khi $x + 4 \neq 0$, tức $x \neq -4$.

b)$f'(x)$ luôn xác định trên $\mathbb{R}$.

c)$f'(x) = \dfrac{9}{(x + 4)^2}$.

d)$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v + u v'}{v^2}$.

Câu 14.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(0) = \dfrac{-1}{4}$.

b)$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v + u v'}{v^2}$.

c)Quy tắc đạo hàm thương: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$.

d)$f'(x) = \dfrac{3}{1}$ là một hằng số.

Câu 15.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{3x + 4}{x - 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = \dfrac{3}{1}$ là một hằng số.

b)Dấu của $f'(x)$ là dấu của $ad - bc = -10$.

c)$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v + u v'}{v^2}$.

d)Quy tắc đạo hàm thương: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$.

6. Cho $f(x) = 1/(x^2 + a)$ — xét đạo hàm và tập xác địnhĐúng / Sai`quot_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(0) = 0$.

b)Đạo hàm thương xác định khi mẫu thức $\neq 0$.

c)$f'(x) > 0$ với mọi $x$.

d)$f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 2)^2}$.

Câu 17.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) > 0$ với mọi $x$.

b)$\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.

c)$f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

d)$f'(1) = -\dfrac{2}{(1 + 1)^2} = -\dfrac{2}{4}$.

Câu 18.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(1) = -\dfrac{2}{(1 + 2)^2} = -\dfrac{2}{9}$.

b)$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$.

c)$f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 2)^2}$.

d)Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.

7. Cho $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, tính $f'(x_0)$ tại điểm cụ thểTrả lời ngắn`quotient_derivative`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 7}$. Tính $f'(2)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 20.Cho $f(x) = \dfrac{3x + 2}{-3x + 2}$. Tính $f'(-2)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 21.Cho $f(x) = \dfrac{3x + 7}{2x - 1}$. Tính $f'(-1)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

8. Cho $f(x) = (ax + b)/(cx + d)$, tử số $f'$ là $ad - bc$Trả lời ngắn`quotient_numerator_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $f(x) = \dfrac{-4x + 1}{3x + 4}$. Tử số của đạo hàm $f'(x)$ (hằng số) bằng?

Câu 23.Cho $f(x) = \dfrac{-2x - 1}{-3x + 1}$. Tử số của đạo hàm $f'(x)$ (hằng số) bằng?

Câu 24.Cho $f(x) = \dfrac{4x - 5}{-3x - 4}$. Tử số của đạo hàm $f'(x)$ (hằng số) bằng?

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Đạo hàm hàm dạng $\dfrac{1}{P(x)}$ với $P$ bậc 2Trắc nghiệmderivative_inverse_polynomial(3 câu)

2. Đạo hàm hàm số dạng $\dfrac{ax + b}{cx + d}$Trắc nghiệmderivative_linear_over_linear(3 câu)

3. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm phân thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ tại điểmTrắc nghiệmtangent_of_rational_function(3 câu)

4. Tiếp tuyến của $\dfrac{ax+b}{x+d}$ có hệ số góc cho trước (HAI tiếp tuyến)Trắc nghiệmtangent_to_rational_with_given_slope(3 câu)

5. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ cụ thể — đạo hàm bằng quy tắc thươngĐúng / Saideriv_quotient_facts(3 câu)

6. Cho $f(x) = 1/(x^2 + a)$ — xét đạo hàm và tập xác địnhĐúng / Saiquot_facts2(3 câu)

7. Cho $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, tính $f'(x_0)$ tại điểm cụ thểTrả lời ngắnquotient_derivative(3 câu)

8. Cho $f(x) = (ax + b)/(cx + d)$, tử số $f'$ là $ad - bc$Trả lời ngắnquotient_numerator_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đạo hàm hàm dạng $\dfrac{1}{P(x)}$ với $P$ bậc 2Trắc nghiệm`derivative_inverse_polynomial`(3 câu)

2. Đạo hàm hàm số dạng $\dfrac{ax + b}{cx + d}$Trắc nghiệm`derivative_linear_over_linear`(3 câu)

3. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm phân thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ tại điểmTrắc nghiệm`tangent_of_rational_function`(3 câu)

4. Tiếp tuyến của $\dfrac{ax+b}{x+d}$ có hệ số góc cho trước (HAI tiếp tuyến)Trắc nghiệm`tangent_to_rational_with_given_slope`(3 câu)

5. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ cụ thể — đạo hàm bằng quy tắc thươngĐúng / Sai`deriv_quotient_facts`(3 câu)

6. Cho $f(x) = 1/(x^2 + a)$ — xét đạo hàm và tập xác địnhĐúng / Sai`quot_facts2`(3 câu)

7. Cho $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, tính $f'(x_0)$ tại điểm cụ thểTrả lời ngắn`quotient_derivative`(3 câu)

8. Cho $f(x) = (ax + b)/(cx + d)$, tử số $f'$ là $ad - bc$Trả lời ngắn`quotient_numerator_sa`(3 câu)