Đạo hàm tại một điểm

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Đạo hàm tại 1 điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0 \in (a;b)$. Đạo hàm của $f$ tại $x_0$: $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$ (Khi giới hạn tồn tại hữu hạn.)

§2. Tính chất(3)

2.1

Liên hệ đạo hàm và liên tục

Nếu $f$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f$ liên tục tại $x_0$. Chiều ngược KHÔNG đúng: hàm liên tục có thể không có đạo hàm (vd $y = |x|$ liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại đó).

2.2

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

$f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$. Phương trình tiếp tuyến tại $M_0$: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$

2.3

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Nếu $s = s(t)$ là phương trình chuyển động (quãng đường theo thời gian) thì:

$v(t) = s'(t)$: vận tốc tức thời tại thời điểm $t$.
$a(t) = v'(t) = s''(t)$: gia tốc tức thời.

Tổng quát: đạo hàm = tốc độ biến thiên tức thời của đại lượng theo biến.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Bước 2. Lập tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, rút gọn. Bước 3. Tính giới hạn khi $\Delta x \to 0$: $f'(x_0) = \lim \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Lưu ý: cách này chỉ dùng cho bài "theo định nghĩa"; thường dùng công thức đạo hàm để tính nhanh.

Bài tập

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`derivative_quadratic_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $f(x) = 6x^2 + 8x - 7$. Tính $f'(-4)$.

A.$f'(-4) = -16$

B.$f'(-4) = 57$

C.$f'(-4) = -40$

D.$f'(-4) = -23$

Câu 2.Cho hàm số $f(x) = 7x^2 + 4x - 5$. Tính $f'(9)$.

A.$f'(9) = 67$

B.$f'(9) = 130$

C.$f'(9) = 598$

D.$f'(9) = 62$

Câu 3.Cho hàm số $f(x) = 5x^2 - 7x - 2$. Tính $f'(7)$.

A.$f'(7) = 26$

B.$f'(7) = 63$

C.$f'(7) = 194$

D.$f'(7) = 28$

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệm`read_tangent_slope_from_graph`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=1x²+(2)x+(1) với tiếp tuyến tại x=-2

A.$k = -3$

B.$k = -1$

C.$k = 2$

D.$k = -2$

Câu 5.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=1x²+(-3)x+(1) với tiếp tuyến tại x=-2

A.$k = -7$

B.$k = -8$

C.$k = 7$

D.$k = -6$

Câu 6.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=1x²+(3)x+(2) với tiếp tuyến tại x=-2

A.$k = 0$

B.$k = -1$

C.$k = 1$

D.$k = -2$

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_equation_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 3 x^{2} - 4 x - 1$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

A.$y = -16x + 12$

B.$y = -16x + 10$

C.$y = -16x + 11$

D.$y = -15x + 11$

Câu 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 3 x^{2} - x + 7$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 3$.

A.$y = -19x + 33$

B.$y = -18x + 34$

C.$y = -19x + 35$

D.$y = -19x + 34$

Câu 9.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 3 x^{2} + x + 5$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

A.$y = -11x + 16$

B.$y = -10x + 17$

C.$y = -11x + 17$

D.$y = -11x + 18$

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệm`tangent_equation_with_slope_condition`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hàm số $y = x^{3} + 6 x^{2} + 10 x - 5$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = -2x + 1$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = -2x - 14$

B.$y = -2x - 13$

C.$y = -2x - 9$

D.$y = -2x - 12$

Câu 11.Cho hàm số $y = x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 1$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = -3x - 4$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = -3x - 27$

B.$y = -3x - 25$

C.$y = -3x - 17$

D.$y = -3x - 26$

Câu 12.Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 6$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = 2x - 4$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = 2x - 7$

B.$y = 2x - 8$

C.$y = 2x - 9$

D.$y = 2x - 6$

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệm`tangent_parallel_to_given_line`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 2x - 3$.

A.$x_0 = -1$

B.$x_0 = 1$

C.$x_0 = 2$

D.$x_0 = 4$

Câu 14.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = -4x + 0$.

A.$x_0 = 2$

B.$x_0 = -1$

C.$x_0 = -4$

D.$x_0 = -2$

Câu 15.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = -2x + 2$.

A.$x_0 = 0$

B.$x_0 = -2$

C.$x_0 = -1$

D.$x_0 = 1$

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệm`tangent_perpendicular_to_given_line`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = 2x + 2$.

A.$x_0 = \dfrac{1}{4}$

B.$x_0 = - \dfrac{1}{4}$

C.$x_0 = -1$

D.$x_0 = 1$

Câu 17.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = x$.

A.$x_0 = - \dfrac{1}{2}$

B.$x_0 = -1$

C.$x_0 = 1$

D.$x_0 = \dfrac{1}{2}$

Câu 18.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = 3x$.

A.$x_0 = \dfrac{3}{2}$

B.$x_0 = \dfrac{1}{6}$

C.$x_0 = - \dfrac{3}{2}$

D.$x_0 = - \dfrac{1}{6}$

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_slope_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 3 x^{3} + 3 x + 3$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$ bằng:

A.$k = 39$

B.$k = 40$

C.$k = -39$

D.$k = 38$

Câu 20.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} - x + 6$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ bằng:

A.$k = -7$

B.$k = -8$

C.$k = 7$

D.$k = -6$

Câu 21.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - 3 x^{3} - x + 1$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$ bằng:

A.$k = -81$

B.$k = -82$

C.$k = 82$

D.$k = -83$

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Sai`dap_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = 2x^2$ và điểm $x_0 = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 4x$.

b)$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

c)$f'(2) = 8$.

d)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

Câu 23.Cho hàm số $f(x) = 3x^2$ và điểm $x_0 = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đạo hàm tại 1 điểm có thể âm.

b)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

c)$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

d)Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $f$ tại $x_0 = 1$ là $6$.

Câu 24.Cho hàm số $f(x) = 3x^2$ và điểm $x_0 = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

b)Hàm có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$.

c)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

d)$f'(x) = 6x$.

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Sai`deriv_at_point_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 2x$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(3) = f(3) = 15$.

b)$f$ có đạo hàm tại $x_0 = 3$ nên $f$ liên tục tại $x_0$.

c)$f'(x) = 2x + 2$.

d)$f(3) = 15$.

Câu 26.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 4x$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(3) = f(3) = 21$.

b)Phương trình tiếp tuyến tại $x_0 = 3$ là $y = 10(x - 3) + 21$.

c)$f'(x) = 2x + 4$.

d)$f(3) = 21$.

Câu 27.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 2x$ và điểm $x_0 = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình tiếp tuyến tại $x_0 = 1$ là $y = 4(x - 1) + 3$.

b)Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại $x_0 = 1$ là $k = 4$.

c)$f'(1) = f(1) = 3$.

d)$f$ có đạo hàm tại $x_0 = 1$ nên $f$ liên tục tại $x_0$.

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắn`poly_derivative_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho $f(x) = x^2 - x + 7$. Tính $f'(5)$.

Câu 29.Cho $f(x) = -3x^2 + 4x + 2$. Tính $f'(2)$.

Câu 30.Cho $f(x) = 3x^2 + 5x - 3$. Tính $f'(1)$.

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`tangent_slope_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $f(x) = -2x^2 + 2x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 4$.

Câu 32.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 5x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 4$.

Câu 33.Cho hàm số $f(x) = -2x^2 + 4x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 3$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(3)

§3. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmderivative_quadratic_at_point(3 câu)

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệmread_tangent_slope_from_graph(3 câu)

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệmtangent_equation_at_point(3 câu)

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệmtangent_equation_with_slope_condition(3 câu)

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệmtangent_parallel_to_given_line(3 câu)

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệmtangent_perpendicular_to_given_line(3 câu)

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệmtangent_slope_at_point(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Saidap_facts2(3 câu)

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Saideriv_at_point_facts(3 câu)

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắnpoly_derivative_at_point(3 câu)

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắntangent_slope_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`derivative_quadratic_at_point`(3 câu)

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệm`read_tangent_slope_from_graph`(3 câu)

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_equation_at_point`(3 câu)

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệm`tangent_equation_with_slope_condition`(3 câu)

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệm`tangent_parallel_to_given_line`(3 câu)

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệm`tangent_perpendicular_to_given_line`(3 câu)

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_slope_at_point`(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Sai`dap_facts2`(3 câu)

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Sai`deriv_at_point_facts`(3 câu)

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắn`poly_derivative_at_point`(3 câu)

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`tangent_slope_sa`(3 câu)