Biểu thức toạ độ phép toán vectơ

Công thức

§1. Công thức(4)

1.1

Tổng + hiệu vectơ qua toạ độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; \, y_1 + y_2).$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; \, y_1 - y_2).$$

1.2

Độ dài (modul) vectơ qua toạ độ

$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.$$ Khoảng cách 2 điểm: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

1.3

Điều kiện cùng phương qua toạ độ

$\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$ cùng phương $\Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$. Hệ quả: $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0$.

1.4

Nhân vectơ với số qua toạ độ

$$k \vec{a} = k (x_1; y_1) = (k x_1; \, k y_1).$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Giải bài toán vectơ bằng toạ độ

Bước 1. Gắn hệ toạ độ $Oxy$ — chọn gốc, trục cho thuận tiện (đối xứng / vuông góc tự nhiên). Bước 2. Tính toạ độ các điểm và vectơ liên quan. Bước 3. Áp dụng các công thức toạ độ:

Cộng/trừ/nhân số.
Độ dài, khoảng cách, cùng phương, thẳng hàng.

Bước 4. Kết luận theo ngôn ngữ hình học.

Bài tập

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệm`circumcircle_right_triangle_from_coords`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C(0;4)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(0, 0), B=(3, 0), C=(0, 4), vuông tại A.

A.$I\left(\dfrac{3}{2};\,2\right);\ R = \dfrac{5}{2}$

B.$I\left(\dfrac{3}{2};\,0\right);\ R = \dfrac{3}{2}$

C.$I\left(0;\,2\right);\ R = 2$

D.$I\left(1;\,\dfrac{4}{3}\right);\ R = \dfrac{5}{2}$

Câu 2.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(2;1)$, $B(8;1)$, $C(2;9)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(2, 1), B=(8, 1), C=(2, 9), vuông tại A.

A.$I\left(5;\,1\right);\ R = 3$

B.$I\left(5;\,5\right);\ R = 5$

C.$I\left(2;\,5\right);\ R = 4$

D.$I\left(4;\,\dfrac{11}{3}\right);\ R = 5$

Câu 3.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(-2;-3)$, $B(4;-3)$, $C(-2;5)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(-2, -3), B=(4, -3), C=(-2, 5), vuông tại A.

A.$I\left(0;\,- \dfrac{1}{3}\right);\ R = 5$

B.$I\left(1;\,1\right);\ R = 5$

C.$I\left(1;\,-3\right);\ R = 3$

D.$I\left(-2;\,1\right);\ R = 4$

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`collinear_find_parameter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (1; 6)$ và $\vec v = (-2; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = -12$

B.$m = 12$

C.$m = 4$

D.$m = 8$

Câu 5.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (-6; 5)$ và $\vec v = (-12; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = 11$

B.$m = 12$

C.$m = 10$

D.$m = 9$

Câu 6.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (-5; 2)$ và $\vec v = (-10; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = 12$

B.$m = 5$

C.$m = 4$

D.$m = 3$

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`find_point_vector_condition`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(-5; 3)$, $B(4; 5)$, $C(1; -4)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(10; -2)$

B.$D(-4; -1)$

C.$D(-8; -6)$

D.$D(-2; 12)$

Câu 8.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(-5; -6)$, $B(-5; 4)$, $C(1; -5)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(1; -15)$

B.$D(1; 5)$

C.$D(-4; -11)$

D.$D(-11; 3)$

Câu 9.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(2; -2)$, $B(-4; -5)$, $C(-3; -3)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(-9; -6)$

B.$D(1; -4)$

C.$D(-1; -5)$

D.$D(3; 0)$

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`scalar_times_vector`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho $\vec{a} = (4; 2)$. Tính $-2\vec{a}$.

A.$(-8; -4)$

B.$(-2; -2)$

C.$(2; 0)$

D.$(-8; 2)$

Câu 11.Cho $\vec{a} = (-6; 5)$. Tính $2\vec{a}$.

A.$(-4; 7)$

B.$(2; 2)$

C.$(-12; 10)$

D.$(-12; 5)$

Câu 12.Cho $\vec{a} = (-2; -7)$. Tính $-2\vec{a}$.

A.$(4; -7)$

B.$(4; 14)$

C.$(-2; -2)$

D.$(-4; -9)$

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`vector_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $\vec{a} = (-4; 6)$ và $\vec{b} = (-2; -3)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(-2; 9)$

B.$(8; -18)$

C.$(-5; 3)$

D.$(-6; 3)$

Câu 14.Cho $\vec{a} = (6; -6)$ và $\vec{b} = (-7; 7)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(13; -13)$

B.$(-1; 1)$

C.$(-42; -42)$

D.$(0; 1)$

Câu 15.Cho $\vec{a} = (4; 1)$ và $\vec{b} = (-6; 7)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(-1; 8)$

B.$(-24; 7)$

C.$(10; -6)$

D.$(-2; 8)$

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Sai`coord_op_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-2; -2)$ và $\vec{b} = (-4; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$.

b)$|\vec{a}|^2 = 8$.

c)Tổng hai vectơ luôn nhỏ hơn từng vectơ thành phần.

d)$\vec{a} \perp \vec{b}$.

Câu 17.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (1; -3)$ và $\vec{b} = (4; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$.

b)$2\vec{a} - \vec{b} = (-2; -9)$.

c)Tổng hai vectơ luôn nhỏ hơn từng vectơ thành phần.

d)$\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$.

Câu 18.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-1; -1)$ và $\vec{b} = (-2; 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng hai vectơ luôn nhỏ hơn từng vectơ thành phần.

b)$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$.

c)$|\vec{a}|^2 = 2$.

d)$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$.

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Sai`coord_ops_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (3; -1)$ và $\vec{b} = (1; 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} + \vec{b} = (4; 3)$.

b)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

c)$\vec{a} + \vec{b} = (4; -5)$.

d)$\vec{a} - \vec{b} = (2; -5)$.

Câu 20.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-2; 1)$ và $\vec{b} = (1; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} + \vec{b} = (-1; 3)$.

b)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

c)$2\vec{a} = (-4; 2)$.

d)$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Câu 21.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-1; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} + \vec{b} = (0; -2)$.

b)$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

c)$\vec{a} + \vec{b} = (0; 0)$.

d)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắn`vector_combination_x`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $\vec{a} = (2; -2)$, $\vec{b} = (2; 1)$. Hoành độ của $3\vec{a} - 1\vec{b}$ bằng?

Câu 23.Cho $\vec{a} = (5; 1)$, $\vec{b} = (1; 2)$. Hoành độ của $-3\vec{a} - 1\vec{b}$ bằng?

Câu 24.Cho $\vec{a} = (4; -2)$, $\vec{b} = (-2; -1)$. Hoành độ của $-2\vec{a} - 3\vec{b}$ bằng?

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắn`vector_magnitude_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho $\vec{a} = (3; 4)$. Tính $|\vec{a}|$.

Câu 26.Cho $\vec{a} = (9; 12)$. Tính $|\vec{a}|$.

Câu 27.Cho $\vec{a} = (5; 12)$. Tính $|\vec{a}|$.

Công thức

§1. Công thức(4)

§2. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệmcircumcircle_right_triangle_from_coords(3 câu)

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmcollinear_find_parameter(3 câu)

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmfind_point_vector_condition(3 câu)

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmscalar_times_vector(3 câu)

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmvector_sum(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Saicoord_op_facts2(3 câu)

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Saicoord_ops_facts(3 câu)

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắnvector_combination_x(3 câu)

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắnvector_magnitude_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệm`circumcircle_right_triangle_from_coords`(3 câu)

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`collinear_find_parameter`(3 câu)

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`find_point_vector_condition`(3 câu)

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`scalar_times_vector`(3 câu)

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`vector_sum`(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Sai`coord_op_facts2`(3 câu)

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Sai`coord_ops_facts`(3 câu)

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắn`vector_combination_x`(3 câu)

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắn`vector_magnitude_sa`(3 câu)