Các trường hợp đồng dạng

Công thức

§1. Định lý(3)

1.1

Trường hợp g-g (góc-góc)

2 tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau → đồng dạng: $$\widehat{A} = \widehat{A'}, \widehat{B} = \widehat{B'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.$$ → Trường hợp đơn giản nhất vì chỉ cần 2 góc.

1.2

Trường hợp c-g-c (cạnh-góc-cạnh)

2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau, 2 cặp cạnh kề tương ứng tỉ lệ → đồng dạng: $$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} \text{ và } \widehat{A'} = \widehat{A} \Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC.$$

1.3

Trường hợp c-c-c (cạnh-cạnh-cạnh)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ → đồng dạng: $$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} \Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình chứng minh đồng dạng

Bước 1. Xác định 2 tam giác cần chứng minh đồng dạng. Bước 2. Tìm các yếu tố bằng nhau / tỉ lệ:

2 góc bằng nhau → g-g.
3 cặp cạnh tỉ lệ → c-c-c.
2 cạnh tỉ lệ + góc xen giữa → c-g-c.

Bước 3. Khẳng định đồng dạng, ghi rõ các đỉnh tương ứng. Bước 4. Suy ra các tỉ số cạnh / góc bằng nhau theo yêu cầu.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng

Khi viết $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$: thứ tự đỉnh bắt buộc đúng thứ tự tương ứng. → $A \leftrightarrow A', B \leftrightarrow B', C \leftrightarrow C'$. Sai thứ tự = sai tương ứng cạnh/góc → các tỉ số sẽ sai.

Bài tập

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệm`area_ratio_squared`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{1}{4}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4}{1}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{1}{2}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{3}{2}$

Câu 2.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{3}{5}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{8}{2}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{9}{25}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{25}{9}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{3}{5}$

Câu 3.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{3}{5}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{8}{2}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{25}{9}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{3}{5}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{9}{25}$

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệm`cgc_common_angle_find_side`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8$, $AC = 12$, $BC = 8$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 3$, $AN = 2$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 1$

B.$MN = 3$

C.$MN = 8$

D.$MN = 2$

Câu 5.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9$, $AC = 12$, $BC = 9$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 8$, $AN = 6$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 7$

B.$MN = 8$

C.$MN = 6$

D.$MN = 5$

Câu 6.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8$, $AC = 14$, $BC = 8$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 7$, $AN = 4$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 7$

B.$MN = 4$

C.$MN = 5$

D.$MN = 3$

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệm`check_two_triangles_similar`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $9, 5, 6$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $18, 10, 13$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Đồng dạng.

B.Bằng nhau.

C.Không đồng dạng.

D.Không xác định.

Câu 8.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $7, 8, 5$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $14, 16, 11$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Đồng dạng.

B.Không đồng dạng.

C.Không xác định.

D.Bằng nhau.

Câu 9.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $6, 8, 3$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $12, 16, 5$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Không xác định.

B.Bằng nhau.

C.Đồng dạng.

D.Không đồng dạng.

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệm`identify_similarity_case`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ."

A.g-g-g

B.c-c-c

C.c-g-c

D.g-g

Câu 11.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau."

A.g-g

B.g-g-g

C.c-g-c

D.c-c-c

Câu 12.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ."

A.c-g-c

B.c-c-c

C.g-g

D.g-g-g

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệm`similar_triangle_remaining_sides`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 4$, $BC = 9$, $CA = 11$ và $A'B' = 8$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (4,9,11) và (8,18,22).

A.$B'C' = 18,\ C'A' = 22$

B.$B'C' = 13,\ C'A' = 15$

C.$B'C' = 19,\ C'A' = 22$

D.$B'C' = 22,\ C'A' = 18$

Câu 14.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 8$, $BC = 10$, $CA = 12$ và $A'B' = 12$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (8,10,12) và (12,15,18).

A.$B'C' = 18,\ C'A' = 15$

B.$B'C' = 15,\ C'A' = 18$

C.$B'C' = 16,\ C'A' = 18$

D.$B'C' = 20,\ C'A' = 24$

Câu 15.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 3$, $BC = 5$, $CA = 4$ và $A'B' = 12$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (3,5,4) và (12,20,16).

A.$B'C' = 20,\ C'A' = 16$

B.$B'C' = 16,\ C'A' = 20$

C.$B'C' = 10,\ C'A' = 8$

D.$B'C' = 21,\ C'A' = 16$

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệm`similarity_ratio_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $5$ và $10$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = 50$

B.$k = \dfrac{1}{2}$

C.$k = 15$

D.$k = \dfrac{2}{1}$

Câu 17.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $5$ và $10$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = \dfrac{1}{2}$

B.$k = 50$

C.$k = \dfrac{2}{1}$

D.$k = 15$

Câu 18.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $6$ và $9$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = 54$

B.$k = \dfrac{2}{3}$

C.$k = 15$

D.$k = \dfrac{3}{2}$

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Sai`cases_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 50^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.

b)Hai tam giác có thêm $\widehat{B} = \widehat{B'} = 50^\circ$ nên có ít nhất 2 cặp góc bằng nhau.

c)Trường hợp đồng dạng g.g: hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

d)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

Câu 20.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 50^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

b)Theo trường hợp đồng dạng góc-góc (g.g), $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$.

c)Hai tam giác có thêm $\widehat{B} = \widehat{B'} = 50^\circ$ nên có ít nhất 2 cặp góc bằng nhau.

d)Để chứng minh hai tam giác đồng dạng cần ít nhất $3$ dữ kiện về cạnh / góc.

Câu 21.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 30^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trường hợp đồng dạng g.g: hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

b)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

c)Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.

d)$\widehat{C} = \widehat{C'} = 60^\circ$.

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Sai`similarity_cases_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 12$, $B'C' = 18$, $C'A' = 15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trường hợp (c.g.g) — hai cặp cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau (góc không xen giữa) — luôn cho hai tam giác đồng dạng.

b)Hai tam giác này có cùng diện tích.

c)Để chứng minh hai tam giác đồng dạng (c.c.c) cần $3$ điều kiện về cạnh.

d)Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'A'}{CA} = 3$.

Câu 23.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 8$, $B'C' = 12$, $C'A' = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'A'}{CA} = 2$.

b)Trường hợp (c.g.g) — hai cặp cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau (góc không xen giữa) — luôn cho hai tam giác đồng dạng.

c)Theo trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$.

d)Trường hợp đồng dạng (c.c.c) phát biểu: nếu ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng.

Câu 24.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 8$, $B'C' = 12$, $C'A' = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để chứng minh hai tam giác đồng dạng (c.c.c) cần $3$ điều kiện về cạnh.

b)Tỉ số đồng dạng của $\Delta A'B'C'$ với $\Delta ABC$ bằng $2$.

c)Trường hợp đồng dạng (c.c.c) phát biểu: nếu ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng.

d)Hai tam giác này có cùng diện tích.

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_ratio`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tam giác lớn ba cạnh $15$, $24$, $18$ (đồng dạng tỉ số $3:1$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $5$, $6$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

Câu 26.Tam giác lớn ba cạnh $4.5$, $9$, $10.5$ (đồng dạng tỉ số $3:2$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $6$, $7$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

Câu 27.Tam giác lớn ba cạnh $24$, $28$, $12$ (đồng dạng tỉ số $4:1$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $6$, $3$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắn`similarity_ratio_perimeter`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Đồng dạng tỉ số $2:2$. Tam giác nhỏ chu vi $12$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Câu 29.Đồng dạng tỉ số $2:2$. Tam giác nhỏ chu vi $6$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Câu 30.Đồng dạng tỉ số $2:1$. Tam giác nhỏ chu vi $6$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Công thức

§1. Định lý(3)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệmarea_ratio_squared(3 câu)

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệmcgc_common_angle_find_side(3 câu)

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệmcheck_two_triangles_similar(3 câu)

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệmidentify_similarity_case(3 câu)

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệmsimilar_triangle_remaining_sides(3 câu)

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệmsimilarity_ratio_value(3 câu)

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Saicases_facts2(3 câu)

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Saisimilarity_cases_facts(3 câu)

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắnfind_third_side_via_ratio(3 câu)

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắnsimilarity_ratio_perimeter(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệm`area_ratio_squared`(3 câu)

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệm`cgc_common_angle_find_side`(3 câu)

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệm`check_two_triangles_similar`(3 câu)

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệm`identify_similarity_case`(3 câu)

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệm`similar_triangle_remaining_sides`(3 câu)

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệm`similarity_ratio_value`(3 câu)

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Sai`cases_facts2`(3 câu)

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Sai`similarity_cases_facts`(3 câu)

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_ratio`(3 câu)

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắn`similarity_ratio_perimeter`(3 câu)