Phương trình và bất phương trình mũ

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(28 câu)

Câu 1.Chất phóng xạ Co-60 có chu kỳ bán rã $T = 5$ năm. Một mẫu ban đầu nặng $64$ g Co-60. Khối lượng Co-60 còn lại sau 10 năm là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$48 \text{ g}$

B.$32 \text{ g}$

C.$8 \text{ g}$

D.$16 \text{ g}$

Câu 2.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $10$ triệu người, tốc độ tăng $r = 5\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $20$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = 20 \, \ln \dfrac{1}{2}$

B.$t = 20 \, \ln 2$

C.$t = \dfrac{1}{5} \, \ln 2$

D.$t = 20 \, \log 2$

Câu 3.Giải phương trình $3^x = 7$.

A.$x = 3$

B.$x = \log_7 3$

C.$x = 7$

D.$x = \log_3 7$

Câu 4.Giải phương trình $2^x = 4$.

A.$x = -2$

B.$x = 3$

C.$x = -3$

D.$x = 2$

Câu 5.Giải phương trình $3^x = 27$.

A.$x = -3$

B.$x = 2$

C.$x = 3$

D.$x = -2$

Câu 6.Chất phóng xạ I-131 có chu kỳ bán rã $T = 8$ ngày. Một mẫu ban đầu nặng $200$ g I-131. Khối lượng I-131 còn lại sau 24 ngày là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$50 \text{ g}$

B.$12 \text{ g}$

C.$25 \text{ g}$

D.$175 \text{ g}$

Câu 7.Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5\%/năm tính theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc hằng năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) ít nhất 200 triệu đồng?

A.$n = 15$

B.$n = 14$

C.$n = 17$

D.$n = 16$

Câu 8.Giải phương trình $3^x = 27$.

A.$x = -2$

B.$x = -3$

C.$x = 2$

D.$x = 3$

Câu 9.Chất phóng xạ Cs-137 có chu kỳ bán rã $T = 30$ năm. Một mẫu ban đầu nặng $64$ g Cs-137. Khối lượng Cs-137 còn lại sau 90 năm là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$8 \text{ g}$

B.$16 \text{ g}$

C.$56 \text{ g}$

D.$4 \text{ g}$

Câu 10.Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10\%/năm tính theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc hằng năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) ít nhất 100 triệu đồng?

A.$n = 9$

B.$n = 7$

C.$n = 8$

D.$n = 10$

Câu 11.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $5$ triệu người, tốc độ tăng $r = 4\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $10$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = 25 \, \ln \dfrac{1}{2}$

B.$t = 25 \, \ln 2$

C.$t = 25 \, \log 2$

D.$t = \dfrac{1}{4} \, \ln 2$

Câu 12.Giải phương trình $3^x = 7$.

A.$x = \log_3 7$

B.$x = 3$

C.$x = \log_7 3$

D.$x = 7$

Câu 13.Giải bất phương trình $3^x > 81$.

A.$x = 4$

B.$x \geq 4$

C.$x < 4$

D.$x > 4$

Câu 14.Giải phương trình $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

A.$x = 4$

B.$x = 0,\ x = 2$

C.$x = 0,\ x = 4$

D.$x = 1$

Câu 15.Giải phương trình $5^x = 11$.

A.$x = 5$

B.$x = \log_5 11$

C.$x = \log_11 5$

D.$x = 11$

Câu 16.Giải phương trình $5^x = \dfrac{1}{125}$.

A.$x = 3$

B.$x = 2$

C.$x = -3$

D.$x = -2$

Câu 17.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 2$

B.$m \geq 1$

C.$m > 1$

D.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

Câu 18.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $1$ triệu người, tốc độ tăng $r = 2\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $2$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = \dfrac{1}{2} \, \ln 2$

B.$t = 50 \, \log 2$

C.$t = 50 \, \ln 2$

D.$t = 50 \, \ln \dfrac{1}{2}$

Câu 19.Giải phương trình $4^x = 8$.

A.$x = \dfrac{3}{2}$

B.$x = 2$

C.$x = -2$

D.$x = 3$

Câu 20.Giải bất phương trình $3^x > 9$.

A.$x < 2$

B.$x > 2$

C.$x \geq 2$

D.$x = 2$

Câu 21.Giải phương trình $3^x = 9$.

A.$x = 3$

B.$x = 2$

C.$x = 9$

D.$x = -2$

Câu 22.Giải bất phương trình $2^x > 2$.

A.$x \geq 1$

B.$x = 1$

C.$x < 1$

D.$x > 1$

Câu 23.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 2$

B.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

C.$m \geq 1$

D.$m > 1$

Câu 24.Chất phóng xạ Sr-90 có chu kỳ bán rã $T = 29$ năm. Một mẫu ban đầu nặng $100$ g Sr-90. Khối lượng Sr-90 còn lại sau 58 năm là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$50 \text{ g}$

B.$25 \text{ g}$

C.$75 \text{ g}$

D.$12 \text{ g}$

Câu 25.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

B.$m > 1$

C.$m > 2$

D.$m \geq 1$

Câu 26.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m \geq 1$

B.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

C.$m > 2$

D.$m > 1$

Câu 27.Giải phương trình $2^x = 8$.

A.$x = -3$

B.$x = 2$

C.$x = 8$

D.$x = 3$

Câu 28.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $1$ triệu người, tốc độ tăng $r = 4\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $1,5$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = 25 \, \ln \dfrac{3}{2}$

B.$t = 25 \, \log \dfrac{3}{2}$

C.$t = \dfrac{1}{4} \, \ln \dfrac{3}{2}$

D.$t = 25 \, \ln \dfrac{2}{3}$

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(6 câu)

Câu 29.Cho bất phương trình $3^x > 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bất phương trình tương đương $3^x > 3^{2}$.

b)$a^x > a^k$ với $a > 1$ ⇔ $x > k$.

c)Bất phương trình tương đương $x < 2$.

d)Phương trình $a^x = 0$ vô nghiệm.

Câu 30.Cho phương trình $2^x = 16$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình tương đương $2^x = 2^{4}$.

b)Nghiệm phương trình là $x = 4$.

c)Phương trình $2^x = -1$ có nghiệm $x = -1$.

d)$a^0 = 1$ với mọi $a > 0, a \neq 1$.

Câu 31.Cho phương trình $3^x = 27$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

b)Phương trình tương đương $3^x = 3^{3}$.

c)Phương trình $a^x = c$ với $c \leq 0$ vô nghiệm.

d)Nghiệm phương trình là $x = 3$.

Câu 32.Cho phương trình $2^x = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

b)Nghiệm phương trình là $x = 2$.

c)Có thể đặt $t = a^x$ với điều kiện $t > 0$ trong các phương trình phức tạp.

d)Phương trình tương đương $2^x = 2^{2}$.

Câu 33.Cho phương trình $5^x = 25$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $5^x = -1$ có nghiệm $x = -1$.

b)Phương trình $a^x = c$ với $c \leq 0$ vô nghiệm.

c)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

d)$a^0 = 1$ với mọi $a > 0, a \neq 1$.

Câu 34.Cho bất phương trình $2^x > 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì cơ số $a = 2$ lớn hơn, bất phương trình tương đương $x > 2$.

b)Bất phương trình tương đương $x < 2$.

c)$a^x > a^k$ với $a > 1$ ⇔ $x > k$.

d)Tập nghiệm là $\{x > 2\}$.

Phần III. Trả lời ngắn(10 câu)

Câu 35.Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 20\%/năm tính theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Câu 36.Tìm $x$ biết $2^x = 2$.

Câu 37.Số nghiệm của phương trình $2^x = 5$ là?

Câu 38.Dân số một thị trấn năm gốc là $1000$ nghìn người. Mỗi năm dân số tăng 10\% so với năm liền trước. Hỏi sau 2 năm dân số thị trấn là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?

Câu 39.Anh A vay ngân hàng $50$ triệu đồng để mua xe với lãi suất $1\%$/tháng (lãi suất tính theo dư nợ thực tế). Theo hợp đồng, vào cuối mỗi tháng anh A phải trả vào ngân hàng một khoản tiền cố định $5$ triệu đồng (cho cả gốc và lãi) đến khi trả hết nợ. Hỏi anh A phải trả trong bao nhiêu tháng thì hết nợ (làm tròn lên đến số nguyên dương)?

Câu 40.Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 20\%/năm tính theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Câu 41.Anh A vay ngân hàng $100$ triệu đồng để mua xe với lãi suất $1\%$/tháng (lãi suất tính theo dư nợ thực tế). Theo hợp đồng, vào cuối mỗi tháng anh A phải trả vào ngân hàng một khoản tiền cố định $5$ triệu đồng (cho cả gốc và lãi) đến khi trả hết nợ. Hỏi anh A phải trả trong bao nhiêu tháng thì hết nợ (làm tròn lên đến số nguyên dương)?

Câu 42.Tìm $x$ biết $2^x = 32$.

Câu 43.Trong quá trình rã đông một chai sữa từ tủ đông sang nhiệt độ phòng, nhiệt độ chai sữa $P(t)$ tăng dần theo công thức $P(t) = 100 \cdot \left(1 - e^{-k t}\right)$ (với $K = 100$ là giá trị tiệm cận tối đa và $t$ tính bằng phút kể từ thời điểm khảo sát ban đầu, $t \ge 0$). Biết rằng sau $2$ phút, $P(t)$ đạt $75$ (tức $\dfrac{3}{4}$ giá trị tiệm cận tối đa). Hỏi cần bao nhiêu phút (kể từ thời điểm ban đầu) để $P(t)$ đạt một nửa giá trị tiệm cận tối đa?

Câu 44.Dân số một thị trấn năm gốc là $1000$ nghìn người. Mỗi năm dân số tăng 10\% so với năm liền trước. Hỏi sau 2 năm dân số thị trấn là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(28 câu)

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(6 câu)

Phần III. Trả lời ngắn(10 câu)

Đáp án & Lời giải

Mở đáp án hôm nay