Hàm số mũ và hàm số logarit

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(23 câu)

Câu 1.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 2^x đi qua điểm (1; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 3$

C.$a = \dfrac{1}{2}$

D.$a = 2$

Câu 2.Cho hàm số $f(x) = 3^x$. Tính $f(2)$.

A.$f(2) = 6$

B.$f(2) = 9$

C.$f(2) = 5$

D.$f(2) = 27$

Câu 3.Hàm số $y = (1/2)^x$ có tính chất nào sau đây?

A.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

B.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

C.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

D.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

Câu 4.Hàm số $y = (1/2)^x$ có tính chất nào sau đây?

A.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

B.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

C.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

D.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 5.Tập xác định của $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$[0; +\infty)$

B.$\mathbb{R}$

C.$(0; +\infty)$

D.$(-\infty; 0)$

Câu 6.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 3^x đi qua điểm (1; 3)

A.$a = 5$

B.$a = 4$

C.$a = 3$

D.$a = \dfrac{1}{3}$

Câu 7.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 2^x đi qua điểm (1; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 2$

C.$a = 3$

D.$a = \dfrac{1}{2}$

Câu 8.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_3(x) đi qua điểm (9; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 3$

C.$a = 2$

D.$a = 9$

Câu 9.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f(1)$.

A.$f(1) = 4$

B.$f(1) = 1$

C.$f(1) = 3$

D.$f(1) = 2$

Câu 10.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (4; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 3$

C.$a = \dfrac{1}{2}$

D.$a = 2$

Câu 11.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_3(x) đi qua điểm (9; 2)

A.$a = 9$

B.$a = 3$

C.$a = 2$

D.$a = 4$

Câu 12.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (8; 3)

A.$a = 2$

B.$a = 8$

C.$a = \dfrac{1}{2}$

D.$a = 3$

Câu 13.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 2^x đi qua điểm (1; 2)

A.$a = 4$

B.$a = \dfrac{1}{2}$

C.$a = 3$

D.$a = 2$

Câu 14.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (8; 3)

A.$a = 8$

B.$a = \dfrac{1}{2}$

C.$a = 3$

D.$a = 2$

Câu 15.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (8; 3)

A.$a = \dfrac{1}{2}$

B.$a = 3$

C.$a = 2$

D.$a = 8$

Câu 16.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (4; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 2$

C.$a = 3$

D.$a = \dfrac{1}{2}$

Câu 17.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f(1)$.

A.$f(1) = 1$

B.$f(1) = 3$

C.$f(1) = 2$

D.$f(1) = 4$

Câu 18.Tập giá trị của $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$(0; +\infty)$

B.$[0; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$\mathbb{R}$

Câu 19.Hàm số $y = 2^x$ có tính chất nào sau đây?

A.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

B.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

C.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

D.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

Câu 20.Hàm số $y = \log_{1/3} x$ có tính chất nào sau đây?

A.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

B.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

C.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

D.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

Câu 21.Tập xác định của $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$[0; +\infty)$

B.$(0; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$\mathbb{R}$

Câu 22.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 3^x đi qua điểm (1; 3)

A.$a = 5$

B.$a = 3$

C.$a = \dfrac{1}{3}$

D.$a = 4$

Câu 23.Tập xác định của $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$[0; +\infty)$

B.$(0; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$\mathbb{R}$

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(19 câu)

Câu 24.Trong một phòng thí nghiệm sinh học, số lượng vi sinh vật $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $100$ con vi sinh vật, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $800$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau nửa ngày ($12$ giờ) nuôi cấy, số lượng vi sinh vật vượt qua mốc $2$ triệu con.

b)$A = 100$ và $k = \ln 2$.

c)Hàm số $N(t)$ đồng biến với tốc độ tăng dần theo thời gian (đồ thị lõm hướng lên).

d)Số lượng vi sinh vật sau $12$ giờ là $409600$ con.

Câu 25.Cho hàm số $y = \log_{10} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_{10} 100 = 2$.

b)Hàm số $y = \log_{10} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

c)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

d)Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.

Câu 26.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$f(2e) = 4$.

b)Hàm số có tập xác định là $[0; 4e]$.

c)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

d)Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0; 2e)$.

Câu 27.Trong một lò ấp công nghiệp, số lượng tế bào $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $200$ con tế bào, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $1600$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Số lượng tế bào sau $9$ giờ là $4525$ con.

b)Hàm số $N(t)$ đồng biến với tốc độ tăng dần theo thời gian (đồ thị lõm hướng lên).

c)Chu kì gấp đôi của số lượng tế bào là $T = 1$ giờ.

d)Hệ số sinh trưởng $k = \ln 8$ (không chia cho $3$).

Câu 28.Cho hàm số $y = \log_{2} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $y = \log_{2} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

b)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

c)Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.

d)Tập xác định của $y = \log_{2} x$ là $(0; +\infty)$.

Câu 29.Trong một môi trường nuôi cấy thí nghiệm, số lượng vi khuẩn $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $500$ con vi khuẩn, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $4000$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Số lượng vi khuẩn sau $6$ giờ là $4000$ con.

b)$A = 500$ và $k = \ln 2$.

c)Hàm số $N(t)$ đồng biến với tốc độ tăng dần theo thời gian (đồ thị lõm hướng lên).

d)Hàm số có dạng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ (với $A > 0$ là hằng số).

Câu 30.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$f(2e) = 4$.

b)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

c)Hàm số có tập xác định là $[0; 4e]$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[e; 3e]$ có dạng $a \ln 2 + b$ với $a, b$ là các số nguyên dương. Khi đó $a + b = 4$.

Câu 31.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

b)$f(e) = f(3e)$.

c)Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[e; 3e]$ có dạng $a \ln 2 + b$ với $a, b$ là các số nguyên dương. Khi đó $a + b = 4$.

d)Hàm số có tập xác định là $[0; 4e]$.

Câu 32.Một lò nướng tắt và bắt đầu nguội. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ lò và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ lò và phòng$ tại thời điểm $t = 0$ phút là $80^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 10$ phút, $hiệu nhiệt độ lò và phòng$ giảm xuống còn $20^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $g(t) = kt + C$ ($t \ge 0$), với $C$ là một hằng số xác định.

b)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

c)Hằng số $C$ (trong biểu thức $g(t) = kt + C$) có giá trị bằng $4\ln 2 + \ln 5$.

d)Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.

Câu 33.Một kỹ sư cơ khí làm nguội một chi tiết máy sau khi đúc. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường$ tại thời điểm $t = 10$ phút là $40^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 20$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường$ giảm xuống còn $10^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị $y(0) = 160^\circ\text{C}$ (tức là nhiệt độ chênh lệch ban đầu là $160^\circ\text{C}$).

b)Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.

c)Để nhiệt độ chênh lệch $y(t)$ nhỏ hơn $1^\circ\text{C}$ thì cần ít nhất $37$ phút kể từ lúc bắt đầu theo dõi.

d)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

Câu 34.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[e; 3e]$ có dạng $a \ln 2 + b$ với $a, b$ là các số nguyên dương. Khi đó $a + b = 4$.

b)$f(e) = f(3e)$.

c)$f(2e) = 4$.

d)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

Câu 35.Một phòng thí nghiệm làm nguội mẫu vật. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ tại thời điểm $t = 5$ phút là $20^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 15$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ giảm xuống còn $5^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

b)Giá trị của hằng số $k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.

c)Giá trị $y(0) = 40^\circ\text{C}$ (tức là nhiệt độ chênh lệch ban đầu là $40^\circ\text{C}$).

d)Hằng số $C$ (trong biểu thức $g(t) = kt + C$) có giá trị bằng $3\ln 2 + \ln 5$.

Câu 36.Một phòng thí nghiệm làm nguội mẫu vật. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ tại thời điểm $t = 5$ phút là $20^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 15$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ giảm xuống còn $5^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $g(t) = kt + C$ ($t \ge 0$), với $C$ là một hằng số xác định.

b)Để nhiệt độ chênh lệch $y(t)$ nhỏ hơn $1^\circ\text{C}$ thì cần ít nhất $27$ phút kể từ lúc bắt đầu theo dõi.

c)Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.

d)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

Câu 37.Một nghiên cứu khả năng ghi nhớ kiến thức của người học sau khi kết thúc khoá học chỉ ra rằng càng về lâu thì khả năng ghi nhớ kiến thức càng giảm. Nếu xem $f(t)$ là phần trăm kiến thức người học còn nhớ sau $t$ tháng thì $f'(t)$ là tốc độ thay đổi kiến thức; độ lớn $|f'(t)|$ là tốc độ giảm sút. Hai bạn Thành và Công cùng tham gia một khoá học. Sau khi kết thúc khoá học, phần trăm kiến thức bạn Thành còn nhớ sau $t$ tháng được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = 96 - 10\,\ln(2t + 1)$, với $0 \le t \le 24$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f$ là hàm nghịch biến trên $[0; 24]$.

b)Tại thời điểm khoá học vừa kết thúc, bạn Thành nhớ được $96\%$ kiến thức.

c)Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau $t$ tháng là $f'(t) = -\dfrac{10}{2t + 1}$.

d)Tại thời điểm sau $4$ tháng khoá học kết thúc, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $1,1\%/$tháng.

Câu 38.Cho hàm số $y = \log_{2} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $y = \log_{2} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

b)Đồ thị $y = \log_{2} x$ và $y = 2^x$ đối xứng qua đường thẳng $y = x$.

c)Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.

d)$\log_{2} 4 = 2$.

Câu 39.Một nghiên cứu khả năng ghi nhớ kiến thức của người học sau khi kết thúc khoá học chỉ ra rằng càng về lâu thì khả năng ghi nhớ kiến thức càng giảm. Nếu xem $f(t)$ là phần trăm kiến thức người học còn nhớ sau $t$ tháng thì $f'(t)$ là tốc độ thay đổi kiến thức; độ lớn $|f'(t)|$ là tốc độ giảm sút. Hai bạn Thành và Công cùng tham gia một khoá học. Sau khi kết thúc khoá học, phần trăm kiến thức bạn Thành còn nhớ sau $t$ tháng được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = 94 - 12\,\ln(3t + 1)$, với $0 \le t \le 24$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f$ là hàm nghịch biến trên $[0; 24]$.

b)Sau $24$ tháng, bạn Thành nhớ được trên $70\%$ kiến thức (tức gần một nửa kiến thức ban đầu).

c)Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau $t$ tháng là $f'(t) = -\dfrac{12}{3t + 1}$.

d)Tại thời điểm sau $3$ tháng khoá học kết thúc, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $1,2\%/$tháng.

Câu 40.Cho hàm số $y = \log_{2} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

b)Hàm số $y = \log_{2} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

c)Đồ thị đi qua điểm $(2; 1)$.

d)Đồ thị đi qua điểm $(1; 0)$.

Câu 41.Trong một vườn ươm thuỷ canh, số lượng mầm cây $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $300$ con mầm cây, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $2400$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hệ số sinh trưởng $k = \ln 8$ (không chia cho $3$).

b)Chu kì gấp đôi của số lượng mầm cây là $T = 1$ giờ.

c)Sau nửa ngày ($12$ giờ) nuôi cấy, số lượng mầm cây vượt qua mốc $2$ triệu con.

d)Số lượng mầm cây sau $9$ giờ là $153600$ con.

Câu 42.Cho hàm số $y = \log_{2} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập xác định của $y = \log_{2} x$ là $(0; +\infty)$.

b)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

c)Hàm số $y = \log_{2} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

d)Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.

Phần III. Trả lời ngắn(2 câu)

Câu 43.Cho $g(x) = \log_{5} x$. Tính $g(125)$.

Câu 44.Cho $f(x) = 2^x$. Tính $f(3)$.

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(23 câu)

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(19 câu)

Phần III. Trả lời ngắn(2 câu)

Đáp án & Lời giải

Mở đáp án hôm nay