Ứng dụng cấp số

Công thức

§1. Công thức(2)

1.1

Lãi kép — tích lũy

Gửi $A$ đồng với lãi suất $r$/kỳ, sau $n$ kỳ: $$T_n = A(1 + r)^n.$$ Trong đó $T_n$ là số tiền nhận sau $n$ kỳ. CSN với $u_0 = A, q = 1 + r$.

1.2

Lãi kép — gửi đều mỗi kỳ

Mỗi cuối kỳ gửi $A$ đồng, lãi suất $r$/kỳ. Sau $n$ kỳ: $$T_n = A \cdot \dfrac{(1+r)^n - 1}{r}.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Giải bài toán dãy số ứng dụng

Bước 1. Đọc đề, nhận diện dạng:

Cộng hằng số mỗi bước → CSC.
Nhân hằng số (lãi kép, tăng trưởng dân số) → CSN.

Bước 2. Xác định $u_1$ (giá trị ban đầu) và $d$ hoặc $q$. Bước 3. Áp dụng công thức $u_n$ hoặc $S_n$ phù hợp. Bước 4. Tính giá trị + kiểm tra đơn vị / điều kiện thực tế.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: "Quy tắc 72" — thời gian gấp đôi

Số kỳ để vốn ban đầu gấp đôi với lãi suất $r$ (%): $$n \approx \dfrac{72}{r\%}.$$ Vd lãi 6%/năm → $\approx 12$ năm để gấp đôi vốn. Công thức xấp xỉ, nhanh cho ước lượng.

Bài tập

1. Bài toán CSC: số ghế xếp tăng đều theo hàngTrắc nghiệm`ap_word_problem`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Một rạp hát có $10$ hàng ghế. Hàng đầu có $30$ ghế, mỗi hàng sau có thêm $2$ ghế so với hàng trước. Tổng số ghế trong rạp là?

A.300

B.400

C.390

D.385

Câu 2.Một rạp hát có $15$ hàng ghế. Hàng đầu có $30$ ghế, mỗi hàng sau có thêm $4$ ghế so với hàng trước. Tổng số ghế trong rạp là?

A.880

B.865

C.870

D.450

Câu 3.Một rạp hát có $10$ hàng ghế. Hàng đầu có $20$ ghế, mỗi hàng sau có thêm $4$ ghế so với hàng trước. Tổng số ghế trong rạp là?

A.200

B.390

C.375

D.380

2. Lãi kép (CSN): tiền sau $n$ năm với lãi suất $r$ mỗi nămTrắc nghiệm`compound_interest`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Gửi $500$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $10\%$/năm theo thể thức lãi kép. Sau $2$ năm, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là bao nhiêu (triệu đồng)?

A.$550$

B.$500$

C.$605$

D.$600$

Câu 5.Gửi $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6\%$/năm theo thể thức lãi kép. Sau $2$ năm, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là bao nhiêu (triệu đồng)?

A.$106$

B.$100$

C.$\dfrac{2809}{25}$

D.$112$

Câu 6.Gửi $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6\%$/năm theo thể thức lãi kép. Sau $3$ năm, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là bao nhiêu (triệu đồng)?

A.$100$

B.$118$

C.$\dfrac{148877}{1250}$

D.$106$

3. Mỗi tháng gửi $a$ triệu, lãi suất $r\%/$tháng, lãi képTrắc nghiệm`periodic_savings_total`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Mỗi đầu tháng, một người gửi vào ngân hàng $2$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất $2\%$/tháng. Hỏi sau $6$ tháng (cuối tháng thứ $6$) số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được là bao nhiêu (đơn vị triệu, làm tròn 4 chữ số)?

A.$A_{6} \approx 14.1554$

B.$A_{6} \approx 6.4343$

C.$A_{6} \approx 12.8685 \, \text{(triệu)}$

D.$A_{6} \approx 11.8685$

Câu 8.Mỗi đầu tháng, một người gửi vào ngân hàng $5$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất $1\%$/tháng. Hỏi sau $12$ tháng (cuối tháng thứ $12$) số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được là bao nhiêu (đơn vị triệu, làm tròn 4 chữ số)?

A.$A_{12} \approx 70.4516$

B.$A_{12} \approx 63.0469$

C.$A_{12} \approx 32.0234$

D.$A_{12} \approx 64.0469 \, \text{(triệu)}$

Câu 9.Mỗi đầu tháng, một người gửi vào ngân hàng $2$ triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất $2\%$/tháng. Hỏi sau $6$ tháng (cuối tháng thứ $6$) số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được là bao nhiêu (đơn vị triệu, làm tròn 4 chữ số)?

A.$A_{6} \approx 6.4343$

B.$A_{6} \approx 14.1554$

C.$A_{6} \approx 12.8685 \, \text{(triệu)}$

D.$A_{6} \approx 11.8685$

4. Quỹ tiết kiệm rút đều: $B_0 = P$, $B_{k+1} = B_k(1+r) - a$Đúng / Sai`fund_drawdown_recurrence_tf`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $100$ triệu đồng, gửi lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $6$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Ở tháng cạn (tháng $18$), thực tế chỉ rút được khoảng $2,678$ triệu (ít hơn $6$ triệu) vì quỹ không còn đủ.

b)Áp dụng công thức đóng, số dư sau $4$ tháng là $B_{4} = 77,8344$ (triệu đồng).

c)Số dư sau $2$ tháng là $B_2 = 88,9725$ (triệu đồng).

d)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

Câu 11.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $100$ triệu đồng, gửi lãi suất $1\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $8$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

b)Áp dụng công thức đóng, số dư sau $3$ tháng là $B_{3} = 78,7893$ (triệu đồng).

c)Số dư sau $n$ tháng bằng $B_n = 100(1+1\%)^n - 8\,n$.

d)Số dư $\{B_n\}$ là một cấp số nhân thuần (chỉ nhân công bội, không cộng hằng).

Câu 12.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $200$ triệu đồng, gửi lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $10$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Ở tháng cạn (tháng $22$), thực tế chỉ rút được khoảng $1,25$ triệu (ít hơn $10$ triệu) vì quỹ không còn đủ.

b)Số dư sau $2$ tháng là $B_2 = 181,955$ (triệu đồng).

c)Quỹ sẽ cạn (số dư về $0$ hoặc âm) lần đầu ở tháng thứ $22$.

d)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $200$ triệu đồng, gửi lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $9$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

b)Quỹ sẽ cạn (số dư về $0$ hoặc âm) lần đầu ở tháng thứ $24$.

c)Ở tháng cạn (tháng $24$), thực tế chỉ rút được khoảng $5,544$ triệu (ít hơn $9$ triệu) vì quỹ không còn đủ.

d)Số dư sau $n$ tháng bằng $B_n = 200(1+0,5\%)^n - 9\,n$.

Câu 14.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $60$ triệu đồng, gửi lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $4$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

b)Quỹ sẽ cạn (số dư về $0$ hoặc âm) lần đầu ở tháng thứ $16$.

c)Số dư $\{B_n\}$ là một cấp số nhân thuần (chỉ nhân công bội, không cộng hằng).

d)Ở tháng cạn (tháng $16$), thực tế chỉ rút được khoảng $2,527$ triệu (ít hơn $4$ triệu) vì quỹ không còn đủ.

Câu 15.Một quỹ tiết kiệm ban đầu có $200$ triệu đồng, gửi lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép). Mỗi tháng (sau khi tính lãi) chủ quỹ RÚT ra $10$ triệu đồng cho đến khi quỹ cạn. Gọi $B_n$ là số dư còn lại sau tháng thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số dư sau $2$ tháng là $B_2 = 181,955$ (triệu đồng).

b)Số dư sau $n$ tháng bằng $B_n = 200(1+0,5\%)^n - 10\,n$.

c)Áp dụng công thức đóng, số dư sau $5$ tháng là $B_{5} = 154,5477$ (triệu đồng).

d)Số dư các tháng $B_0, B_1, B_2, \dots$ lập thành một cấp số cộng (giảm đều).

5. Trả góp khoản vay: dư nợ $D_{k+1} = D_k(1+r) - a$ (cùng công thức truy hồi)Đúng / Sai`loan_repayment_balance_tf`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Anh Nam vay $200$ triệu đồng với lãi suất $1\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $14$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy dư nợ $D_0, D_1, D_2, \dots$ là một cấp số cộng (giảm đều mỗi kỳ một lượng như nhau).

b)Dư nợ sau kỳ $1$ là $D_1 = 200 \cdot (1+1\%) - 14 = 188$ (triệu đồng).

c)Dư nợ sau kỳ $2$ là $D_2 = 175,88$ (triệu đồng).

d)Dư nợ sau $n$ kỳ bằng $D_n = 200(1+1\%)^n - 14\,n$.

Câu 17.Anh Nam vay $200$ triệu đồng với lãi suất $1\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $14$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy dư nợ $D_0, D_1, D_2, \dots$ là một cấp số cộng (giảm đều mỗi kỳ một lượng như nhau).

b)Sau $3$ kỳ, dư nợ còn lại là $D_{3} = 163,6388$ (triệu đồng).

c)Dư nợ sau $n$ kỳ là $D_n = 200(1+1\%)^n - 14 \cdot \dfrac{(1+1\%)^n - 1}{1\%}$.

d)Nếu mỗi kỳ chỉ trả không quá $2$ triệu thì khoản vay không bao giờ trả hết (dư nợ tăng mãi).

Câu 18.Anh Nam vay $100$ triệu đồng với lãi suất $1\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $8$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu mỗi kỳ chỉ trả không quá $1$ triệu thì khoản vay không bao giờ trả hết (dư nợ tăng mãi).

b)Dư nợ sau kỳ $2$ là $D_2 = 85,93$ (triệu đồng).

c)Dãy dư nợ $\{D_n\}$ là một cấp số nhân thuần.

d)Khoản vay được trả hết (dư nợ về $0$ hoặc âm) ở kỳ thứ $14$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Anh Nam vay $60$ triệu đồng với lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $5$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dư nợ sau $n$ kỳ là $D_n = 60(1+0,5\%)^n - 5 \cdot \dfrac{(1+0,5\%)^n - 1}{0,5\%}$.

b)Dãy dư nợ $D_0, D_1, D_2, \dots$ là một cấp số cộng (giảm đều mỗi kỳ một lượng như nhau).

c)Nếu mỗi kỳ chỉ trả không quá $0,3$ triệu thì khoản vay không bao giờ trả hết (dư nợ tăng mãi).

d)Dãy dư nợ $\{D_n\}$ là một cấp số nhân thuần.

Câu 20.Anh Nam vay $100$ triệu đồng với lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $7$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dư nợ sau kỳ $2$ là $D_2 = 86,9675$ (triệu đồng).

b)Khoản vay được trả hết (dư nợ về $0$ hoặc âm) ở kỳ thứ $15$.

c)Sau $3$ kỳ, dư nợ còn lại là $D_{3} = 80,4023$ (triệu đồng).

d)Dãy dư nợ $\{D_n\}$ là một cấp số nhân thuần.

Câu 21.Anh Nam vay $100$ triệu đồng với lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi kép, tính trên dư nợ còn lại). Mỗi tháng anh trả góp $6$ triệu đồng (gồm cả gốc lẫn lãi). Gọi $D_n$ là dư nợ còn lại sau kỳ trả thứ $n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy dư nợ $\{D_n\}$ là một cấp số nhân thuần.

b)Dư nợ sau $n$ kỳ bằng $D_n = 100(1+0,5\%)^n - 6\,n$.

c)Nếu mỗi kỳ chỉ trả không quá $0,5$ triệu thì khoản vay không bao giờ trả hết (dư nợ tăng mãi).

d)Dư nợ sau kỳ $1$ là $D_1 = 100 \cdot (1+0,5\%) - 6 = 94,5$ (triệu đồng).

6. Số vi khuẩn nhân đôi mỗi chu kì $T$ giờ — tạo cấp số nhânĐúng / Sai`seq_app_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $200$ con. Cứ sau mỗi $2$ giờ, số vi khuẩn tăng lên gấp đôi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cấp số nhân với $q > 1$ là dãy tăng (giả sử $u_1 > 0$).

b)Sau $5$ chu kì (tức $10$ giờ), số vi khuẩn là $200 \cdot 2^{5} = 6400$.

c)Cấp số nhân $u_n = 200 \cdot 2^{n-1}$ có công bội $q = 200$.

d)Sau $1$ chu kì số vi khuẩn là $400$.

Câu 23.Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $200$ con. Cứ sau mỗi $1$ giờ, số vi khuẩn tăng lên gấp đôi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sau $1$ chu kì số vi khuẩn là $400$.

b)$u_n = 200 \cdot 2^{n-1}$ là số vi khuẩn sau $(n-1)$ chu kì.

c)Số vi khuẩn tăng theo cấp số cộng.

d)Cấp số nhân với $q > 1$ là dãy tăng (giả sử $u_1 > 0$).

Câu 24.Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $200$ con. Cứ sau mỗi $1$ giờ, số vi khuẩn tăng lên gấp đôi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cấp số nhân với $q > 1$ là dãy tăng (giả sử $u_1 > 0$).

b)Số vi khuẩn sau mỗi chu kì tạo thành CSN với công bội $q = 2$.

c)Cấp số nhân $u_n = 200 \cdot 2^{n-1}$ có công bội $q = 200$.

d)$u_n = 200 \cdot 2^{n-1}$ là số vi khuẩn sau $(n-1)$ chu kì.

7. Bài toán lãi kép: gửi $P$ triệu với lãi suất $r\%$/năm — sau $n$ năm số tiền là CSNĐúng / Sai`seq_app_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Bác Bình gửi tiết kiệm $500$ triệu đồng với lãi suất $6\%$/năm, tính lãi kép. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số tiền sau $n$ năm tính theo công thức $A_n = 500(1 + 0,06)^n$ (với lãi suất $6\%$/năm).

b)Nếu lãi suất tính theo CSC, số tiền tăng tuyến tính theo $n$.

c)Mọi bài toán tăng trưởng đều có thể mô hình hóa bằng CSN.

d)Sau $2$ năm, số tiền là $A_{2} = 561,8$ (triệu đồng).

Câu 26.Bác Bình gửi tiết kiệm $200$ triệu đồng với lãi suất $8\%$/năm, tính lãi kép. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cấp số nhân áp dụng tốt cho bài toán tăng trưởng tỉ lệ phần trăm.

b)Số tiền sau mỗi năm tạo thành cấp số nhân với công bội $q = 1 + 0,08$.

c)Số tiền sau $n$ năm tính theo công thức $A_n = 200(1 + 0,08)^n$ (với lãi suất $8\%$/năm).

d)Mọi bài toán tăng trưởng đều có thể mô hình hóa bằng CSN.

Câu 27.Bác Bình gửi tiết kiệm $500$ triệu đồng với lãi suất $10\%$/năm, tính lãi kép. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cấp số nhân áp dụng tốt cho bài toán tăng trưởng tỉ lệ phần trăm.

b)Số tiền sau $n$ năm tính theo công thức $A_n = 500(1 + 0,010)^n$ (với lãi suất $10\%$/năm).

c)Mọi bài toán tăng trưởng đều có thể mô hình hóa bằng CSN.

d)Số tiền sau mỗi năm tạo thành cấp số nhân với công bội $q = 1 + 0,010$.

8. CSC xếp chồng giảm dần 1 đơn vị/hàng → TỔNG TIỀN (làm tròn đến triệu đồng)Trả lời ngắn`ap_stack_total_cost_million_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Một công ty cần xếp các bó gạch thành một chồng trong kho. Hàng dưới cùng có $45$ bó, hàng thứ hai có $44$ bó, hàng thứ ba có $43$ bó,… Cứ như thế, mỗi hàng phía trên ít hơn hàng ngay phía dưới là $1$ bó và hàng trên cùng có $16$ bó. Biết giá tiền mỗi bó là $250.000$ đồng. Tính tổng số tiền công ty đó đã chi để mua toàn bộ số gạch (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Câu 29.Một công ty cần xếp các bó gạch thành một chồng trong kho. Hàng dưới cùng có $50$ bó, hàng thứ hai có $49$ bó, hàng thứ ba có $48$ bó,… Cứ như thế, mỗi hàng phía trên ít hơn hàng ngay phía dưới là $1$ bó và hàng trên cùng có $21$ bó. Biết giá tiền mỗi bó là $250.000$ đồng. Tính tổng số tiền công ty đó đã chi để mua toàn bộ số gạch (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Câu 30.Một công ty cần xếp các thùng hàng thành một chồng trong kho. Hàng dưới cùng có $45$ thùng, hàng thứ hai có $44$ thùng, hàng thứ ba có $43$ thùng,… Cứ như thế, mỗi hàng phía trên ít hơn hàng ngay phía dưới là $1$ thùng và hàng trên cùng có $20$ thùng. Biết giá tiền mỗi thùng là $300.000$ đồng. Tính tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số thùng hàng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

9. Bài toán CSC: tổng số ghế trong rạpTrả lời ngắn`ap_sum_word_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Một rạp có $10$ hàng ghế. Hàng đầu $30$ ghế, mỗi hàng sau hơn hàng trước $3$ ghế. Tổng số ghế trong rạp là?

Câu 32.Một rạp có $20$ hàng ghế. Hàng đầu $30$ ghế, mỗi hàng sau hơn hàng trước $4$ ghế. Tổng số ghế trong rạp là?

Câu 33.Một rạp có $15$ hàng ghế. Hàng đầu $25$ ghế, mỗi hàng sau hơn hàng trước $4$ ghế. Tổng số ghế trong rạp là?

10. So sánh tổng tích lũy CSC vs CSN -> chênh lệch (triệu đồng)Trả lời ngắn`ap_vs_gp_total_diff_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Lương khởi điểm $20$ triệu/tháng. Phương án 1: cứ $2$ năm lại tăng THÊM $6$ triệu (cấp số cộng). Phương án 2: cứ $2$ năm lại tăng $30\%$ (cấp số nhân). Sau $12$ năm, tổng lương theo Phương án 2 hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 35.Lương khởi điểm $10$ triệu/tháng. Phương án 1: cứ $2$ năm lại tăng THÊM $4$ triệu (cấp số cộng). Phương án 2: cứ $2$ năm lại tăng $30\%$ (cấp số nhân). Sau $18$ năm, tổng lương theo Phương án 2 hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 36.Lương khởi điểm $10$ triệu/tháng. Phương án 1: cứ $3$ năm lại tăng THÊM $4$ triệu (cấp số cộng). Phương án 2: cứ $3$ năm lại tăng $50\%$ (cấp số nhân). Sau $18$ năm, tổng lương theo Phương án 2 hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

11. CSN: số vi khuẩn nhân đôi mỗi giờTrả lời ngắn`gp_doubling_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Một quần thể vi khuẩn có $500$ con tại thời điểm ban đầu, mỗi giờ số lượng tăng gấp đôi. Sau $4$ giờ, số vi khuẩn là bao nhiêu?

Câu 38.Một quần thể vi khuẩn có $500$ con tại thời điểm ban đầu, mỗi giờ số lượng tăng gấp đôi. Sau $3$ giờ, số vi khuẩn là bao nhiêu?

Câu 39.Một quần thể vi khuẩn có $1000$ con tại thời điểm ban đầu, mỗi giờ số lượng tăng gấp đôi. Sau $3$ giờ, số vi khuẩn là bao nhiêu?

12. CSN tăng p%/năm — SỐ NĂM (số kỳ k) tối thiểu để vượt ngưỡng (vd gấp đôi)Trả lời ngắn`gp_periods_to_exceed_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Ban đầu chi phí vận hành là $10$ tỷ đồng, mỗi năm tăng $10\%$. Hỏi SAU ÍT NHẤT BAO NHIÊU NĂM thì tổng chi phí cộng dồn vượt $117$ tỷ đồng?

Câu 41.Ban đầu doanh thu là $5$ tỷ đồng, mỗi năm tăng $25\%$. Hỏi SAU ÍT NHẤT BAO NHIÊU NĂM thì doanh thu trong năm tăng gấp đôi so với ban đầu?

Câu 42.Ban đầu doanh thu là $10$ tỷ đồng, mỗi năm tăng $20\%$. Hỏi SAU ÍT NHẤT BAO NHIÊU NĂM thì tổng doanh thu cộng dồn vượt $168$ tỷ đồng?

13. CSN tăng p%/năm — NĂM DƯƠNG LỊCH đầu tiên số hạng (hoặc tổng) vượt ngưỡng VTrả lời ngắn`gp_year_first_exceed_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Lương năm $2025$ là $5$ tỷ đồng, mỗi năm sau tăng $15\%$. Tính từ năm $2025$, hỏi đến NĂM nào thì tổng lương cộng dồn lần đầu tiên vượt $54$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

Câu 44.Chi phí vận hành năm $2025$ là $1$ tỷ đồng, mỗi năm sau tăng $20\%$ so với năm liền trước. Hỏi bắt đầu từ NĂM nào thì chi phí trong năm đó lần đầu tiên vượt $5$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

Câu 45.Chi phí vận hành năm $2025$ là $5$ tỷ đồng, mỗi năm sau tăng $20\%$ so với năm liền trước. Hỏi bắt đầu từ NĂM nào thì chi phí trong năm đó lần đầu tiên vượt $25$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

14. Bối cảnh đầu tư/sản lượng — tổng tăng đều vs tăng %/kỳ -> chênh lệchTrả lời ngắn`growth_plan_better_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Một doanh nghiệp có sản lượng $10$ triệu/tháng. Phương án A: cứ $2$ năm tăng đều thêm $4$ triệu/tháng (cấp số cộng). Phương án B: cứ $2$ năm tăng $40\%$ (cấp số nhân). Sau $18$ năm, tổng sản lượng của Phương án B nhiều hơn Phương án A bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 47.Một doanh nghiệp có sản lượng $50$ triệu/tháng. Phương án A: cứ $3$ năm tăng đều thêm $5$ triệu/tháng (cấp số cộng). Phương án B: cứ $3$ năm tăng $40\%$ (cấp số nhân). Sau $12$ năm, tổng sản lượng của Phương án B nhiều hơn Phương án A bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 48.Một doanh nghiệp có mức đầu tư $50$ triệu/tháng. Phương án A: cứ $3$ năm tăng đều thêm $4$ triệu/tháng (cấp số cộng). Phương án B: cứ $3$ năm tăng $30\%$ (cấp số nhân). Sau $12$ năm, tổng vốn đầu tư của Phương án B nhiều hơn Phương án A bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

15. Lãi kép + lạm phát -> CHÊNH LỆCH danh nghĩa và thực (triệu đồng)Trả lời ngắn`nominal_real_gap_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Mua chứng chỉ tiền gửi $100$ triệu đồng theo lãi kép $5\%$/năm trong $2$ năm; lạm phát trung bình $3\%$/năm. Hỏi giá trị danh nghĩa lớn hơn giá trị thực (quy về mức giá lúc gửi) bao nhiêu triệu đồng (làm tròn mỗi giá trị đến hàng đơn vị)?

Câu 50.Đầu tư trái phiếu $200$ triệu đồng theo lãi kép $10\%$/năm trong $3$ năm; lạm phát trung bình $3\%$/năm. Hỏi giá trị danh nghĩa lớn hơn giá trị thực (quy về mức giá lúc gửi) bao nhiêu triệu đồng (làm tròn mỗi giá trị đến hàng đơn vị)?

Câu 51.Gửi tiết kiệm $200$ triệu đồng theo lãi kép $5\%$/năm trong $4$ năm; lạm phát trung bình $4\%$/năm. Hỏi giá trị danh nghĩa lớn hơn giá trị thực (quy về mức giá lúc gửi) bao nhiêu triệu đồng (làm tròn mỗi giá trị đến hàng đơn vị)?

16. Lãi kép + lạm phát -> GIÁ TRỊ THỰC (quy về mức giá lúc gửi)Trả lời ngắn`real_value_inflation_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Gửi tiết kiệm $500$ triệu đồng theo lãi kép $8\%$/năm trong $4$ năm; lạm phát trung bình $5\%$/năm. Quy đổi về mức giá tại thời điểm gửi, số tiền nhận được tương đương bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 53.Gửi tiết kiệm $200$ triệu đồng theo lãi kép $8\%$/năm trong $3$ năm; lạm phát trung bình $5\%$/năm. Quy đổi về mức giá tại thời điểm gửi, số tiền nhận được tương đương bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 54.Mua chứng chỉ tiền gửi $100$ triệu đồng theo lãi kép $10\%$/năm trong $2$ năm; lạm phát trung bình $5\%$/năm. Quy đổi về mức giá tại thời điểm gửi, số tiền nhận được tương đương bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

17. CSN lương tăng ``p``%/năm — NĂM dương lịch ĐẦU TIÊN tổng lương cả năm vượt ngưỡng ``V`` tỷ đồngTrả lời ngắn`salary_gp_year_first_exceed_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Đầu năm $2026$, một người thành lập công ty. Tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong năm $2026$ là $1$ tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền trả lương trong năm đó tăng thêm $20\%$ so với năm liền trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền trả lương trong cả năm lớn hơn $2$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

Câu 56.Đầu năm $2025$, một người thành lập công ty. Tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong năm $2025$ là $2$ tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền trả lương trong năm đó tăng thêm $25\%$ so với năm liền trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền trả lương trong cả năm lớn hơn $5$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

Câu 57.Đầu năm $2025$, một người thành lập công ty. Tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong năm $2025$ là $2$ tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền trả lương trong năm đó tăng thêm $12\%$ so với năm liền trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền trả lương trong cả năm lớn hơn $3$ tỷ đồng? (Trả lời bằng năm dương lịch.)

18. So sánh tổng lương 2 phương án (CSC vs CSN) qua nhiều CHU KỲ ``T`` năm, với tổng thời gian ``H`` năm KHÔNG chia hết cho ``T`` (chu kỳ cuối dở dang)Trả lời ngắn`salary_partial_last_cycle_ap_vs_gp_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Một người bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm $15$ triệu đồng một tháng, theo một trong hai phương án: Phương án 1 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng thêm $4$ triệu đồng so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó; Phương án 2 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng $40\%$ so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó. Nếu làm việc đúng $16$ năm thì tổng tiền lương theo Phương án 2 nhiều hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 59.Một người bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm $10$ triệu đồng một tháng, theo một trong hai phương án: Phương án 1 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng thêm $6$ triệu đồng so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó; Phương án 2 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng $40\%$ so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó. Nếu làm việc đúng $17$ năm thì tổng tiền lương theo Phương án 2 nhiều hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 60.Một người bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm $15$ triệu đồng một tháng, theo một trong hai phương án: Phương án 1 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng thêm $6$ triệu đồng so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó; Phương án 2 — cứ sau tròn $3$ năm thì tăng lương mỗi tháng $35\%$ so với mỗi tháng của $3$ năm trước đó. Nếu làm việc đúng $17$ năm thì tổng tiền lương theo Phương án 2 nhiều hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Công thức

§1. Công thức(2)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Bài toán CSC: số ghế xếp tăng đều theo hàngTrắc nghiệmap_word_problem(3 câu)

2. Lãi kép (CSN): tiền sau $n$ năm với lãi suất $r$ mỗi nămTrắc nghiệmcompound_interest(3 câu)

3. Mỗi tháng gửi $a$ triệu, lãi suất $r\%/$tháng, lãi képTrắc nghiệmperiodic_savings_total(3 câu)

4. Quỹ tiết kiệm rút đều: $B_0 = P$, $B_{k+1} = B_k(1+r) - a$Đúng / Saifund_drawdown_recurrence_tf(6 câu)

5. Trả góp khoản vay: dư nợ $D_{k+1} = D_k(1+r) - a$ (cùng công thức truy hồi)Đúng / Sailoan_repayment_balance_tf(6 câu)

6. Số vi khuẩn nhân đôi mỗi chu kì $T$ giờ — tạo cấp số nhânĐúng / Saiseq_app_examples(3 câu)

7. Bài toán lãi kép: gửi $P$ triệu với lãi suất $r\%$/năm — sau $n$ năm số tiền là CSNĐúng / Saiseq_app_facts(3 câu)

8. CSC xếp chồng giảm dần 1 đơn vị/hàng → TỔNG TIỀN (làm tròn đến triệu đồng)Trả lời ngắnap_stack_total_cost_million_sa(3 câu)

9. Bài toán CSC: tổng số ghế trong rạpTrả lời ngắnap_sum_word_sa(3 câu)

10. So sánh tổng tích lũy CSC vs CSN -> chênh lệch (triệu đồng)Trả lời ngắnap_vs_gp_total_diff_sa(3 câu)

11. CSN: số vi khuẩn nhân đôi mỗi giờTrả lời ngắngp_doubling_sa(3 câu)

12. CSN tăng p%/năm — SỐ NĂM (số kỳ k) tối thiểu để vượt ngưỡng (vd gấp đôi)Trả lời ngắngp_periods_to_exceed_sa(3 câu)

13. CSN tăng p%/năm — NĂM DƯƠNG LỊCH đầu tiên số hạng (hoặc tổng) vượt ngưỡng VTrả lời ngắngp_year_first_exceed_sa(3 câu)

14. Bối cảnh đầu tư/sản lượng — tổng tăng đều vs tăng %/kỳ -> chênh lệchTrả lời ngắngrowth_plan_better_sa(3 câu)

15. Lãi kép + lạm phát -> CHÊNH LỆCH danh nghĩa và thực (triệu đồng)Trả lời ngắnnominal_real_gap_sa(3 câu)

16. Lãi kép + lạm phát -> GIÁ TRỊ THỰC (quy về mức giá lúc gửi)Trả lời ngắnreal_value_inflation_sa(3 câu)

17. CSN lương tăng ``p``%/năm — NĂM dương lịch ĐẦU TIÊN tổng lương cả năm vượt ngưỡng ``V`` tỷ đồngTrả lời ngắnsalary_gp_year_first_exceed_sa(3 câu)

18. So sánh tổng lương 2 phương án (CSC vs CSN) qua nhiều CHU KỲ ``T`` năm, với tổng thời gian ``H`` năm KHÔNG chia hết cho ``T`` (chu kỳ cuối dở dang)Trả lời ngắnsalary_partial_last_cycle_ap_vs_gp_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Bài toán CSC: số ghế xếp tăng đều theo hàngTrắc nghiệm`ap_word_problem`(3 câu)

2. Lãi kép (CSN): tiền sau $n$ năm với lãi suất $r$ mỗi nămTrắc nghiệm`compound_interest`(3 câu)

3. Mỗi tháng gửi $a$ triệu, lãi suất $r\%/$tháng, lãi képTrắc nghiệm`periodic_savings_total`(3 câu)

4. Quỹ tiết kiệm rút đều: $B_0 = P$, $B_{k+1} = B_k(1+r) - a$Đúng / Sai`fund_drawdown_recurrence_tf`(6 câu)

5. Trả góp khoản vay: dư nợ $D_{k+1} = D_k(1+r) - a$ (cùng công thức truy hồi)Đúng / Sai`loan_repayment_balance_tf`(6 câu)

6. Số vi khuẩn nhân đôi mỗi chu kì $T$ giờ — tạo cấp số nhânĐúng / Sai`seq_app_examples`(3 câu)

7. Bài toán lãi kép: gửi $P$ triệu với lãi suất $r\%$/năm — sau $n$ năm số tiền là CSNĐúng / Sai`seq_app_facts`(3 câu)

8. CSC xếp chồng giảm dần 1 đơn vị/hàng → TỔNG TIỀN (làm tròn đến triệu đồng)Trả lời ngắn`ap_stack_total_cost_million_sa`(3 câu)

9. Bài toán CSC: tổng số ghế trong rạpTrả lời ngắn`ap_sum_word_sa`(3 câu)

10. So sánh tổng tích lũy CSC vs CSN -> chênh lệch (triệu đồng)Trả lời ngắn`ap_vs_gp_total_diff_sa`(3 câu)

11. CSN: số vi khuẩn nhân đôi mỗi giờTrả lời ngắn`gp_doubling_sa`(3 câu)

12. CSN tăng p%/năm — SỐ NĂM (số kỳ k) tối thiểu để vượt ngưỡng (vd gấp đôi)Trả lời ngắn`gp_periods_to_exceed_sa`(3 câu)

13. CSN tăng p%/năm — NĂM DƯƠNG LỊCH đầu tiên số hạng (hoặc tổng) vượt ngưỡng VTrả lời ngắn`gp_year_first_exceed_sa`(3 câu)

14. Bối cảnh đầu tư/sản lượng — tổng tăng đều vs tăng %/kỳ -> chênh lệchTrả lời ngắn`growth_plan_better_sa`(3 câu)

15. Lãi kép + lạm phát -> CHÊNH LỆCH danh nghĩa và thực (triệu đồng)Trả lời ngắn`nominal_real_gap_sa`(3 câu)

16. Lãi kép + lạm phát -> GIÁ TRỊ THỰC (quy về mức giá lúc gửi)Trả lời ngắn`real_value_inflation_sa`(3 câu)

17. CSN lương tăng ``p``%/năm — NĂM dương lịch ĐẦU TIÊN tổng lương cả năm vượt ngưỡng ``V`` tỷ đồngTrả lời ngắn`salary_gp_year_first_exceed_sa`(3 câu)

18. So sánh tổng lương 2 phương án (CSC vs CSN) qua nhiều CHU KỲ ``T`` năm, với tổng thời gian ``H`` năm KHÔNG chia hết cho ``T`` (chu kỳ cuối dở dang)Trả lời ngắn`salary_partial_last_cycle_ap_vs_gp_sa`(3 câu)