Tổng cấp số cộng

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

Tổng $n$ số hạng đầu CSC

Cho CSC $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$, công sai $d$: $$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Tìm $n$ khi biết $S_n$ + $u_1, d$

Bước 1. Thay $u_1, d, S_n$ vào công thức $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$. Bước 2. Thu được phương trình bậc 2 với ẩn $n$. Bước 3. Giải, chọn nghiệm $n \in \mathbb{N}^*$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo Gauss: $1 + 2 + \dots + n$

$$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.$$ $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 \quad \text{(tổng } n \text{ số lẻ đầu)}.$$ $$2 + 4 + \dots + 2n = n(n+1) \quad \text{(tổng } n \text{ số chẵn đầu)}.$$

Bài tập

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệm`sum_arithmetic_find_d_from_total`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $11$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $20$ tấn và sau $11$ ngày vận chuyển được tổng cộng $550$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 5$

B.$d = 6$

C.$d = 7$

D.$d = 60$

Câu 2.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $12$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $13$ tấn và sau $12$ ngày vận chuyển được tổng cộng $420$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 4$

B.$d = 5$

C.$d = 44$

D.$d = 3$

Câu 3.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $15$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $25$ tấn và sau $15$ ngày vận chuyển được tổng cộng $1005$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 5$

B.$d = 7$

C.$d = 84$

D.$d = 6$

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệm`sum_arithmetic_from_first_last`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho cấp số cộng có $u_1 = 2$ và $u_{15} = -40$. Tính tổng $S_{15}$.

A.$S_{15} = -284$

B.$S_{15} = -285$

C.$S_{15} = -600$

D.$S_{15} = -286$

Câu 5.Cho cấp số cộng có $u_1 = -4$ và $u_{6} = -14$. Tính tổng $S_{6}$.

A.$S_{6} = -55$

B.$S_{6} = -53$

C.$S_{6} = -54$

D.$S_{6} = -84$

Câu 6.Cho cấp số cộng có $u_1 = -6$ và $u_{13} = 30$. Tính tổng $S_{13}$.

A.$S_{13} = 390$

B.$S_{13} = 157$

C.$S_{13} = 155$

D.$S_{13} = 156$

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệm`sum_arithmetic_word_problem`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tháng đầu tiên An tiết kiệm $10$ nghìn đồng, mỗi tháng sau An tiết kiệm nhiều hơn tháng liền trước $4$ nghìn đồng. Hỏi sau $20$ tháng An tiết kiệm được tất cả bao nhiêu nghìn đồng?

A.$S_{20} = 960$

B.$S_{20} = 1720$

C.$S_{20} = 1920$

D.$S_{20} = 200$

Câu 8.Một khán phòng có $14$ hàng ghế. Hàng đầu tiên có $13$ ghế, mỗi hàng tiếp theo nhiều hơn hàng liền trước $6$ ghế. Hỏi khán phòng có tất cả bao nhiêu ghế?

A.$S_{14} = 1456$

B.$S_{14} = 728$

C.$S_{14} = 182$

D.$S_{14} = 1274$

Câu 9.Tháng đầu tiên An tiết kiệm $25$ nghìn đồng, mỗi tháng sau An tiết kiệm nhiều hơn tháng liền trước $3$ nghìn đồng. Hỏi sau $10$ tháng An tiết kiệm được tất cả bao nhiêu nghìn đồng?

A.$S_{10} = 250$

B.$S_{10} = 385$

C.$S_{10} = 770$

D.$S_{10} = 520$

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệm`sum_first_n_natural_numbers`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 12$.

A.$S = 84$

B.$S = 144$

C.$S = 66$

D.$S = 78$

Câu 11.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 11$.

A.$S = 71$

B.$S = 55$

C.$S = 121$

D.$S = 66$

Câu 12.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 19$.

A.$S = 171$

B.$S = 190$

C.$S = 199$

D.$S = 361$

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_ap`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = -3$, công sai $d = -6$. Tính $S_{18}$ — tổng $18$ số hạng đầu.

A.$S_{18} = -54$

B.$S_{18} = -972$

C.$S_{18} = -978$

D.$S_{18} = -1944$

Câu 14.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 4$, công sai $d = -1$. Tính $S_{10}$ — tổng $10$ số hạng đầu.

A.$S_{10} = -6$

B.$S_{10} = 40$

C.$S_{10} = -5$

D.$S_{10} = -10$

Câu 15.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = -4$, công sai $d = -6$. Tính $S_{14}$ — tổng $14$ số hạng đầu.

A.$S_{14} = -602$

B.$S_{14} = -608$

C.$S_{14} = -56$

D.$S_{14} = -1204$

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_gp`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = -3$, công bội $q = \dfrac{1}{3}$. Tính $S_{4}$ — tổng $4$ số hạng đầu.

A.$S_{4} = \dfrac{80}{27}$

B.$S_{4} = - \dfrac{40}{9}$

C.$S_{4} = -12$

D.$S_{4} = - \dfrac{1}{27}$

Câu 17.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 1$, công bội $q = -2$. Tính $S_{4}$ — tổng $4$ số hạng đầu.

A.$S_{4} = 15$

B.$S_{4} = -5$

C.$S_{4} = 16$

D.$S_{4} = 4$

Câu 18.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 1$, công bội $q = 2$. Tính $S_{5}$ — tổng $5$ số hạng đầu.

A.$S_{5} = 31$

B.$S_{5} = 5$

C.$S_{5} = 62$

D.$S_{5} = 32$

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệm`sum_formula_general_ap`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = 2$, công sai $d = 6$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = n^{2} + 5 n$

B.$S_n = 3 n^{2} - n$

C.$S_n = 3 n^{2} - 2 n$

D.$S_n = 3 n^{2} + 5 n$

Câu 20.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = 2$, công sai $d = 3$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = \dfrac{3 n^{2} - n}{2}$

B.$S_n = \dfrac{3 n^{2} + 7 n}{2}$

C.$S_n = n^{2} + 2 n$

D.$S_n = \dfrac{3 n^{2} + n}{2}$

Câu 21.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = 9$, công sai $d = 5$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = \dfrac{5 n^{2} + 13 n}{2}$

B.$S_n = \dfrac{5 n^{2} + 11 n}{2}$

C.$S_n = \dfrac{5 n^{2} + 4 n}{2}$

D.$S_n = \dfrac{9 n^{2} + n}{2}$

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Sai`ap_sum_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 4$ và công sai $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $d = 0$, mọi số hạng bằng nhau và $S_n = n u_1$.

b)Số hạng tổng quát $u_n = 4 + (n-1) \cdot 4$.

c)$S_{10} = 220$.

d)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

Câu 23.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 5$ và công sai $d = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$u_{8} = 19$.

b)Khi $d = 0$, mọi số hạng bằng nhau và $S_n = n u_1$.

c)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

d)$S_{10} = 140$.

Câu 24.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và công sai $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số hạng tổng quát $u_n = 1 + (n-1) \cdot 4$.

b)$u_{6} = 21$.

c)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

d)$u_5 = 17$.

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Sai`sum_ap_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $20$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng $2 + 4 + \ldots + 40 = 420 = 420$.

b)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

c)$S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1) d)}{2}$.

d)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

Câu 26.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $50$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng các số chẵn từ $2$ đến $2n$ là $n^2$.

b)Tổng $1 + 2 + \ldots + 50 = \dfrac{50 \cdot 51}{2} = 1275$.

c)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

d)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

Câu 27.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $20$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S_n$ trong CSC là hàm bậc 2 theo $n$.

b)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

c)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

d)Tổng các số chẵn từ $2$ đến $2n$ là $n^2$.

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắn`ap_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tổng $15$ số hạng đầu CSC có $u_1 = -3$, $d = 4$.

Câu 29.Tổng $5$ số hạng đầu CSC có $u_1 = -3$, $d = 3$.

Câu 30.Tổng $15$ số hạng đầu CSC có $u_1 = -1$, $d = 5$.

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_first_n_gp_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.CSN $u_1 = 1$, $q = -2$. Tính $S_{3}$.

Câu 32.CSN $u_1 = -1$, $q = 0.5$. Tính $S_{4}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 33.CSN $u_1 = 2$, $q = 3$. Tính $S_{4}$.

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệmsum_arithmetic_find_d_from_total(3 câu)

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệmsum_arithmetic_from_first_last(3 câu)

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệmsum_arithmetic_word_problem(3 câu)

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệmsum_first_n_natural_numbers(3 câu)

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệmsum_first_n_terms_ap(3 câu)

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệmsum_first_n_terms_gp(3 câu)

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệmsum_formula_general_ap(3 câu)

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Saiap_sum_facts(3 câu)

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Saisum_ap_facts2(3 câu)

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắnap_sum(3 câu)

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắnsum_first_n_gp_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệm`sum_arithmetic_find_d_from_total`(3 câu)

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệm`sum_arithmetic_from_first_last`(3 câu)

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệm`sum_arithmetic_word_problem`(3 câu)

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệm`sum_first_n_natural_numbers`(3 câu)

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_ap`(3 câu)

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_gp`(3 câu)

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệm`sum_formula_general_ap`(3 câu)

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Sai`ap_sum_facts`(3 câu)

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Sai`sum_ap_facts2`(3 câu)

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắn`ap_sum`(3 câu)

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_first_n_gp_sa`(3 câu)