Dãy số

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa dãy số

Dãy số $(u_n)$ là một hàm số $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$, $n \mapsto u_n$. $u_n$ gọi là số hạng thứ $n$ (số hạng tổng quát).

§2. Tính chất(1)

2.1

Dãy số tăng / giảm / bị chặn

Cho dãy số $(u_n)$:

Tăng: $u_{n+1} > u_n, \forall n$.
Giảm: $u_{n+1} < u_n, \forall n$.
Bị chặn trên: tồn tại $M$ sao cho $u_n \leq M, \forall n$.
Bị chặn dưới: tồn tại $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n$.
Bị chặn: vừa chặn trên + chặn dưới.

§3. Phương pháp(2)

3.1

Xét tính đơn điệu của dãy số

Cách 1 — Hiệu: tính $u_{n+1} - u_n$:

Dương $\forall n$ → tăng.
Âm $\forall n$ → giảm.

Cách 2 — Thương (khi $u_n > 0$): tính $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$:

$> 1$ → tăng.
$< 1$ → giảm.

3.2

Các cách cho dãy số

1. Liệt kê số hạng: $u_1, u_2, u_3, \dots$ 2. Công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$. Vd $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. 3. Hệ thức truy hồi: cho $u_1$ và $u_{n+1} = g(u_n, n)$. Vd $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2n$. 4. Mô tả tính chất: vd dãy các số nguyên tố.

Bài tập

1. Tính $u_n$ từ $u_n = a n^2 + bn + c$Trắc nghiệm`evaluate_general_term`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n^2 + 3n + 2$. Tính $u_{4}$.

A.$u_{4} = 66$

B.$u_{4} = 62$

C.$u_{4} = 26$

D.$u_{4} = 32$

Câu 2.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2 + 4n + 1$. Tính $u_{5}$.

A.$u_{5} = 46$

B.$u_{5} = 30$

C.$u_{5} = 26$

D.$u_{5} = 51$

Câu 3.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = -n^2 - 4n + 6$. Tính $u_{8}$.

A.$u_{8} = 8$

B.$u_{8} = -34$

C.$u_{8} = -90$

D.$u_{8} = -82$

2. Tính $u_{n_0}$ từ công thức tổng quát HỮU TỈ $u_n = \dfrac{an + b}{cn + d}$Trắc nghiệm`evaluate_rational_general_term`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{-3n + 1}{n - 1}$, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Giá trị của $u_{3}$ bằng

A.$-4$

B.$-2$

C.$- \dfrac{1}{4}$

D.$- \dfrac{8}{3}$

Câu 5.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{3n + 4}{2n + 1}$, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Giá trị của $u_{4}$ bằng

A.$2$

B.$\dfrac{16}{7}$

C.$\dfrac{9}{16}$

D.$\dfrac{16}{9}$

Câu 6.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{-2n + 4}{-2n + 3}$, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Giá trị của $u_{3}$ bằng

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{3}{2}$

C.$\dfrac{2}{9}$

D.$\dfrac{2}{3}$

3. Đếm số giá trị tham số nguyên để dãy $u_n = \dfrac{mn + c}{n+1}$ đơn điệuTrắc nghiệm`monotone_param_decreasing_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{mn - 4}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$), trong đó $m$ là tham số nguyên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-5; 5]$ để dãy $(u_n)$ là dãy số tăng?

A.$9$

B.$11$

C.$1$

D.$10$

Câu 8.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{mn - 1}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$), trong đó $m$ là tham số nguyên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-5; 5]$ để dãy $(u_n)$ là dãy số tăng?

A.$6$

B.$4$

C.$7$

D.$11$

Câu 9.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{mn - 1}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$), trong đó $m$ là tham số nguyên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-4; 4]$ để dãy $(u_n)$ là dãy số tăng?

A.$3$

B.$5$

C.$9$

D.$6$

4. Truy hồi $u_{n+1} = u_n + (pn + r)$ — tính $u_k$ bằng cộng dồn (telescoping)Trắc nghiệm`recurrence_sum_fn_term`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 5$ và $u_{n+1} = u_n + (2n - 3)$ với mọi $n \geq 1$. Tính $u_{7}$.

A.$u_{7} = 28$

B.$u_{7} = 30$

C.$u_{7} = 40$

D.$u_{7} = 29$

Câu 11.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 5$ và $u_{n+1} = u_n + (3n - 4)$ với mọi $n \geq 1$. Tính $u_{7}$.

A.$u_{7} = 44$

B.$u_{7} = 61$

C.$u_{7} = 43$

D.$u_{7} = 45$

Câu 12.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = -2$ và $u_{n+1} = u_n + (-n + 4)$ với mọi $n \geq 1$. Tính $u_{8}$.

A.$u_{8} = -2$

B.$u_{8} = -3$

C.$u_{8} = -1$

D.$u_{8} = -6$

5. Cho $u_1$ và quy tắc truy hồi $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_k$Trắc nghiệm`recurrence_term`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = -5$, $u_{n+1} = -1 u_n - 2$. Tính $u_{4}$.

A.$u_{4} = 3$

B.$u_{4} = 4$

C.$u_{4} = 6$

D.$u_{4} = 2$

Câu 14.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 2$, $u_{n+1} = -2 u_n - 1$. Tính $u_{3}$.

A.$u_{3} = 9$

B.$u_{3} = 18$

C.$u_{3} = 8$

D.$u_{3} = 10$

Câu 15.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 3$, $u_{n+1} = -2 u_n - 4$. Tính $u_{3}$.

A.$u_{3} = 17$

B.$u_{3} = 32$

C.$u_{3} = 15$

D.$u_{3} = 16$

6. Kiểm tra dãy $u_n$ có bị chặn — bị chặn trên/dưới/không bị chặnTrắc nghiệm`sequence_bounded_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho dãy số $u_n = \sin n$. Tính bị chặn của dãy?

A.Bị chặn

B.Bị chặn dưới (không bị chặn trên)

C.Không bị chặn

D.Bị chặn trên (không bị chặn dưới)

Câu 17.Cho dãy số $u_n = \dfrac{1}{n}$. Tính bị chặn của dãy?

A.Bị chặn dưới (không bị chặn trên)

B.Không bị chặn

C.Bị chặn

D.Bị chặn trên (không bị chặn dưới)

Câu 18.Cho dãy số $u_n = \sin n$. Tính bị chặn của dãy?

A.Không bị chặn

B.Bị chặn

C.Bị chặn trên (không bị chặn dưới)

D.Bị chặn dưới (không bị chặn trên)

7. Kiểm tra dãy $u_n$ tăng/giảm — so sánh $u_{n+1} - u_n$Trắc nghiệm`sequence_increasing_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho dãy số $u_n = \dfrac{1}{n}$. Hỏi dãy này tăng, giảm hay không đơn điệu?

A.Giảm

B.Tăng

C.Không đơn điệu

D.Hằng số

Câu 20.Cho dãy số $u_n = n^2$. Hỏi dãy này tăng, giảm hay không đơn điệu?

A.Tăng

B.Giảm

C.Không đơn điệu

D.Hằng số

Câu 21.Cho dãy số $u_n = 2n + 1$. Hỏi dãy này tăng, giảm hay không đơn điệu?

A.Tăng

B.Hằng số

C.Giảm

D.Không đơn điệu

8. Cho dãy $u_n = 1/n$ — xét đơn điệu, bị chặn, giới hạnĐúng / Sai`seq_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy số bị chặn nếu bị chặn cả trên và dưới.

b)Dãy $u_n = (-1)^n$ là dãy đơn điệu.

c)$\lim u_n = 0$.

d)Dãy $(u_n)$ là dãy tăng.

Câu 23.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$u_1 = 1$.

b)$\lim u_n = 0$.

c)Dãy $(u_n)$ là dãy tăng.

d)$u_2 = \dfrac{1}{2}$.

Câu 24.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy $(u_n)$ là dãy đơn điệu giảm.

b)Dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $0$ và bị chặn trên bởi $1$.

c)$u_1 = 1$.

d)Dãy $(u_n)$ là dãy tăng.

9. Cho dãy $u_n = n^2 + bn$ với $b$ cụ thể — xét đơn điệu, một số số hạngĐúng / Sai`sequence_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2 + 2n$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$u_2 = 8$.

b)Mọi dãy số đều có công thức tổng quát tường minh.

c)Dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

d)Dãy số là một hàm số xác định trên $\mathbb{N}^*$.

Câu 26.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2 + 3n$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$u_2 = 10$.

b)Một dãy số có thể có vô hạn số hạng.

c)Mọi dãy số đều có công thức tổng quát tường minh.

d)Dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Câu 27.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2 + 3n$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

b)Mọi dãy số đều có công thức tổng quát tường minh.

c)Một dãy số có thể có vô hạn số hạng.

d)$u_1 = 4$.

10. Cho công thức tổng quát $u_n$, tính $u_k$Trả lời ngắn`evaluate_sequence_term`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho dãy số $u_n = 3n^2 + n$. Tính $u_{8}$.

Câu 29.Cho dãy số $u_n = 2n^2 + 5n$. Tính $u_{8}$.

Câu 30.Cho dãy số $u_n = -n^2 - 2n$. Tính $u_{4}$.

11. Cho $u_1$ và $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_3$Trả lời ngắn`recurrence_term_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_1 = -2$ và $u_{n+1} = 3 u_n + 3$. Tính $u_3$.

Câu 32.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_1 = 2$ và $u_{n+1} = -1 u_n - 5$. Tính $u_3$.

Câu 33.Cho dãy số $(u_n)$ với $u_1 = -5$ và $u_{n+1} = 3 u_n - 1$. Tính $u_3$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(2)

Bài tập

1. Tính $u_n$ từ $u_n = a n^2 + bn + c$Trắc nghiệmevaluate_general_term(3 câu)

2. Tính $u_{n_0}$ từ công thức tổng quát HỮU TỈ $u_n = \dfrac{an + b}{cn + d}$Trắc nghiệmevaluate_rational_general_term(3 câu)

3. Đếm số giá trị tham số nguyên để dãy $u_n = \dfrac{mn + c}{n+1}$ đơn điệuTrắc nghiệmmonotone_param_decreasing_count(3 câu)

4. Truy hồi $u_{n+1} = u_n + (pn + r)$ — tính $u_k$ bằng cộng dồn (telescoping)Trắc nghiệmrecurrence_sum_fn_term(3 câu)

5. Cho $u_1$ và quy tắc truy hồi $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_k$Trắc nghiệmrecurrence_term(3 câu)

6. Kiểm tra dãy $u_n$ có bị chặn — bị chặn trên/dưới/không bị chặnTrắc nghiệmsequence_bounded_check(3 câu)

7. Kiểm tra dãy $u_n$ tăng/giảm — so sánh $u_{n+1} - u_n$Trắc nghiệmsequence_increasing_check(3 câu)

8. Cho dãy $u_n = 1/n$ — xét đơn điệu, bị chặn, giới hạnĐúng / Saiseq_facts2(3 câu)

9. Cho dãy $u_n = n^2 + bn$ với $b$ cụ thể — xét đơn điệu, một số số hạngĐúng / Saisequence_intro_facts(3 câu)

10. Cho công thức tổng quát $u_n$, tính $u_k$Trả lời ngắnevaluate_sequence_term(3 câu)

11. Cho $u_1$ và $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_3$Trả lời ngắnrecurrence_term_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính $u_n$ từ $u_n = a n^2 + bn + c$Trắc nghiệm`evaluate_general_term`(3 câu)

2. Tính $u_{n_0}$ từ công thức tổng quát HỮU TỈ $u_n = \dfrac{an + b}{cn + d}$Trắc nghiệm`evaluate_rational_general_term`(3 câu)

3. Đếm số giá trị tham số nguyên để dãy $u_n = \dfrac{mn + c}{n+1}$ đơn điệuTrắc nghiệm`monotone_param_decreasing_count`(3 câu)

4. Truy hồi $u_{n+1} = u_n + (pn + r)$ — tính $u_k$ bằng cộng dồn (telescoping)Trắc nghiệm`recurrence_sum_fn_term`(3 câu)

5. Cho $u_1$ và quy tắc truy hồi $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_k$Trắc nghiệm`recurrence_term`(3 câu)

6. Kiểm tra dãy $u_n$ có bị chặn — bị chặn trên/dưới/không bị chặnTrắc nghiệm`sequence_bounded_check`(3 câu)

7. Kiểm tra dãy $u_n$ tăng/giảm — so sánh $u_{n+1} - u_n$Trắc nghiệm`sequence_increasing_check`(3 câu)

8. Cho dãy $u_n = 1/n$ — xét đơn điệu, bị chặn, giới hạnĐúng / Sai`seq_facts2`(3 câu)

9. Cho dãy $u_n = n^2 + bn$ với $b$ cụ thể — xét đơn điệu, một số số hạngĐúng / Sai`sequence_intro_facts`(3 câu)

10. Cho công thức tổng quát $u_n$, tính $u_k$Trả lời ngắn`evaluate_sequence_term`(3 câu)

11. Cho $u_1$ và $u_{n+1} = a u_n + b$, tính $u_3$Trả lời ngắn`recurrence_term_sa`(3 câu)