Phương trình đường thẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Vectơ pháp tuyến + chỉ phương

Vectơ chỉ phương (VTCP) $\vec{u}$ của đường thẳng $\Delta$: có giá song song với $\Delta$.
Vectơ pháp tuyến (VTPT) $\vec{n}$: có giá vuông góc với $\Delta$.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$. Nếu $\vec{u} = (a; b)$ thì có thể chọn $\vec{n} = (-b; a)$ (hoặc $(b; -a)$).

§2. Công thức(6)

2.1

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho $\Delta_1, \Delta_2$ có VTPT $\vec{n_1} = (a_1; b_1), \vec{n_2} = (a_2; b_2)$: $$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.$$ Góc giữa 2 đường thẳng $\in [0°; 90°]$.

2.2

Phương trình chính tắc

Với $a, b \neq 0$: $$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}.$$ Suy ra từ phương trình tham số bằng cách khử $t$.

2.3

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho $\Delta: a x + b y + c = 0$, điểm $M_0(x_0; y_0)$: $$d(M_0, \Delta) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

2.4

Phương trình tổng quát

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTPT $\vec{n} = (a; b)$: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c = 0,$$ với $c = -(a x_0 + b y_0)$. Điều kiện: $(a, b) \neq (0, 0)$.

2.5

Điều kiện song song + vuông góc

Cho $\Delta_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$, $\Delta_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$:

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 b_2 = a_2 b_1$ và $a_1 c_2 \neq a_2 c_1$ (hoặc tương đương).
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.

2.6

Phương trình tham số

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b)$: $$\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \end{cases}, \, t \in \mathbb{R}.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Cách viết phương trình đường thẳng

1. Qua 1 điểm + 1 VTPT (hoặc VTCP) → phương trình tổng quát. 2. Qua 2 điểm $A, B$: VTCP $\vec{AB}$. 3. Qua $M$ song song $\Delta$: dùng cùng VTPT/VTCP với $\Delta$. 4. Qua $M$ vuông góc $\Delta$: VTPT của ta = VTCP của $\Delta$. 5. Trung trực $AB$: qua trung điểm $I$ của $AB$, VTPT $\vec{AB}$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng hệ số góc cho bài đơn giản

$y = k x + m$: $k$ = hệ số góc.

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2$.
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1$ (cả 2 đều có hệ số góc).

Cẩn thận: đường thẳng đứng $x = c$ không có hệ số góc.

Bài tập

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệm`distance_point_to_line_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Khoảng cách từ điểm $M(4; 4)$ đến đường thẳng $12x + 5y + 3 = 0$ bằng?

A.$d = \dfrac{71}{13}$

B.$d = 923$

C.$d = 71$

D.$d = \dfrac{72}{13}$

Câu 2.Khoảng cách từ điểm $M(1; 5)$ đến đường thẳng $12x + 5y - 6 = 0$ bằng?

A.$d = \dfrac{31}{13}$

B.$d = 31$

C.$d = \dfrac{32}{13}$

D.$d = 403$

Câu 3.Khoảng cách từ điểm $M(4; 2)$ đến đường thẳng $5x + 12y - 1 = 0$ bằng?

A.$d = 43$

B.$d = \dfrac{44}{13}$

C.$d = \dfrac{43}{13}$

D.$d = 559$

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệm`line_min_path_reflect_2d`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + y + 1 = 0$ và hai điểm $A(4; 1)$, $B(-2; 5)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-4; 3)$

B.$M(-2; 1)$

C.$M(1; -2)$

D.$M(1; 3)$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x - y + 6 = 0$ và hai điểm $A(-2; 1)$, $B(4; 4)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-5; 4)$

B.$M(-2; 4)$

C.$M(1; 7)$

D.$M(4; -2)$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x - y + 5 = 0$ và hai điểm $A(1; 2)$, $B(-3; -2)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-5; 0)$

B.$M(-1; 4)$

C.$M(-3; 2)$

D.$M(-1; 0)$

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệm`line_parametric_to_general`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = 3 - 3t \\ y = -1 + 2t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$-2x - 3y + 3 = 0$

B.$-3x + 2y + 11 = 0$

C.$3x - y + 3 = 0$

D.$-2x - 3y = 0$

Câu 8.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$x + y = 0$

B.$x + y - 3 = 0$

C.$x + 2y - 3 = 0$

D.$x - y + 1 = 0$

Câu 9.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 - 2t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$2x - 2y + 8 = 0$

B.$-2x - 2y + 4 = 0$

C.$-x + 3y + 8 = 0$

D.$2x - 2y = 0$

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệm`line_reflect_point_over_line`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + y - 3 = 0$ và điểm $M(-4; -3)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(6; 7)$

B.$M'(1; 2)$

C.$M'(4; 3)$

D.$M'(6; -7)$

Câu 11.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + y - 3 = 0$ và điểm $M(-4; -3)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(6; 7)$

B.$M'(4; 3)$

C.$M'(6; -7)$

D.$M'(1; 2)$

Câu 12.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 3 = 0$ và điểm $M(-2; 4)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(4; -4)$

B.$M'(4; 4)$

C.$M'(2; -4)$

D.$M'(1; 0)$

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệm`line_via_point_normal_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(-5; -3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-4; -3)$.

A.$-4x - 3y - 29 = 0$

B.$-4x - 3y + 29 = 0$

C.$-5x - 3y - 29 = 0$

D.$-4x - 3y = 0$

Câu 14.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(-4; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 2)$.

A.$4x + 2y = 0$

B.$4x + 2y + 10 = 0$

C.$-4x + 3y + 10 = 0$

D.$4x + 2y - 10 = 0$

Câu 15.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(-2; -4)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-5; -1)$.

A.$-5x - y - 14 = 0$

B.$-2x - 4y - 14 = 0$

C.$-5x - y = 0$

D.$-5x - y + 14 = 0$

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sai`line_equation_2d_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(1, 2)$ và $B(3, 6)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $k = 2$.

b)Điểm $B(3, 6)$ thoả phương trình đường thẳng $AB$.

c)Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (4; -2)$.

d)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

Câu 17.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(1, 2)$ và $B(3, 6)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Phương trình tổng quát của $AB$ là $4x - 2y = 0$.

b)Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$.

c)Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (4; -2)$.

d)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

Câu 18.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(1, 2)$ và $B(3, 6)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Phương trình tổng quát của $AB$ là $4x - 2y = 0$.

b)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

c)Điểm $B(3, 6)$ thoả phương trình đường thẳng $AB$.

d)Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (4; -2)$.

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sai`line_equation_2d_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường thẳng $\Delta: -2x + 2y + 2 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng là $\dfrac{2}{\sqrt{8}}$.

b)Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (-2; -2)$.

c)Điểm $(1; 1)$ nằm trên đường thẳng.

d)Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $(2; -2)$.

Câu 20.Cho đường thẳng $\Delta: -3x - 2y - 3 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (2; -3)$.

b)Hệ số góc của đường thẳng là $k = \dfrac{-3}{2}$.

c)Điểm $(1; 1)$ nằm trên đường thẳng.

d)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n} = (-3; -2)$.

Câu 21.Cho đường thẳng $\Delta: 2x - 2y + 2 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $(-2; 2)$.

b)Hệ số góc của đường thẳng là $k = 1$.

c)Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (2; 2)$.

d)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n} = (2; -2)$.

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`distance_origin_to_line_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $x + y + 8 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $5x + 12y + 7 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $5x + 12y + 3 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`line_slope_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Tính hệ số góc của đường thẳng $3x + 2y - 6 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 26.Tính hệ số góc của đường thẳng $5x - 4y + 1 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính hệ số góc của đường thẳng $2x + y - 3 = 0$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(6)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệmdistance_point_to_line_2d(3 câu)

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệmline_min_path_reflect_2d(3 câu)

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệmline_parametric_to_general(3 câu)

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệmline_reflect_point_over_line(3 câu)

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệmline_via_point_normal_2d(3 câu)

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sailine_equation_2d_examples(3 câu)

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sailine_equation_2d_facts(3 câu)

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắndistance_origin_to_line_2d(3 câu)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắnline_slope_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệm`distance_point_to_line_2d`(3 câu)

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệm`line_min_path_reflect_2d`(3 câu)

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệm`line_parametric_to_general`(3 câu)

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệm`line_reflect_point_over_line`(3 câu)

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệm`line_via_point_normal_2d`(3 câu)

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sai`line_equation_2d_examples`(3 câu)

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sai`line_equation_2d_facts`(3 câu)

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`distance_origin_to_line_2d`(3 câu)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`line_slope_value`(3 câu)