Bài toán giải bằng hệ phương trình

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Quy trình giải bài toán bằng hệ

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn 2 đại lượng chưa biết, đặt $x, y$ và ghi điều kiện ($> 0$, nguyên,...). Bước 2 — Lập hệ: dùng dữ kiện đề bài để viết 2 phương trình. Bước 3 — Giải hệ: dùng phương pháp thế / cộng đại số. Bước 4 — Đối chiếu: kiểm tra $x, y$ có thoả điều kiện. Bước 5 — Kết luận: trả lời câu hỏi của đề.

1.2

Các dạng bài toán điển hình

1. Toán chuyển động: dùng $S = v \cdot t$. Lập hệ qua quãng đường / thời gian / vận tốc. 2. Toán công việc: 1 người làm xong trong $t$ giờ → 1 giờ làm $\dfrac{1}{t}$ công việc. 3. Toán năng suất: tổng sản phẩm = số ngày × năng suất / ngày. 4. Toán nồng độ: khối lượng chất tan = khối lượng dung dịch × nồng độ. 5. Toán phần trăm + lãi suất. 6. Toán hỗn hợp / pha trộn.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: nhớ điều kiện thực tế

Điều kiện phổ biến cho ẩn trong bài toán thực tế:

Số lượng người / vật: nguyên dương.
Thời gian / vận tốc / quãng đường: $> 0$.
Phần trăm: $0 \leq x \leq 100$.
Nồng độ phần trăm: $0 < x < 100$.

Quên điều kiện → có thể dùng nghiệm âm, sai bản chất.

Bài tập

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệm`boat_stream_speeds_from_times`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $2$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $3$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 60$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 5,\ v_d = 25$

B.$v_x = 30,\ v_d = 20$

C.$v_x = 25,\ v_d = 5$

D.$v_x = 20,\ v_d = 30$

Câu 2.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $4$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $5$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 80$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 16,\ v_d = 20$

B.$v_x = 2,\ v_d = 18$

C.$v_x = 18,\ v_d = 2$

D.$v_x = 20,\ v_d = 16$

Câu 3.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $2$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $5$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 100$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 20,\ v_d = 50$

B.$v_x = 35,\ v_d = 15$

C.$v_x = 50,\ v_d = 20$

D.$v_x = 15,\ v_d = 35$

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệm`word_two_motion_meet`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $300$ km. Sau $3$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $40$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 55\text{ km/h}$

B.$v_1 = 40\text{ km/h}$

C.$v_1 = 65\text{ km/h}$

D.$v_1 = 60\text{ km/h}$

Câu 5.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $210$ km. Sau $3$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $40$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 40\text{ km/h}$

B.$v_1 = 35\text{ km/h}$

C.$v_1 = 30\text{ km/h}$

D.$v_1 = 25\text{ km/h}$

Câu 6.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $240$ km. Sau $3$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $30$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 45\text{ km/h}$

B.$v_1 = 55\text{ km/h}$

C.$v_1 = 30\text{ km/h}$

D.$v_1 = 50\text{ km/h}$

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệm`word_two_object_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $16$ đầu, $52$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }8, \text{Chó: }8$

B.$\text{Gà: }6, \text{Chó: }10$

C.$\text{Gà: }10, \text{Chó: }6$

D.$\text{Gà: }7, \text{Chó: }9$

Câu 8.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $25$ đầu, $82$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }10, \text{Chó: }15$

B.$\text{Gà: }12, \text{Chó: }12$

C.$\text{Gà: }9, \text{Chó: }16$

D.$\text{Gà: }16, \text{Chó: }9$

Câu 9.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $38$ đầu, $116$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }20, \text{Chó: }18$

B.$\text{Gà: }37, \text{Chó: }1$

C.$\text{Gà: }19, \text{Chó: }19$

D.$\text{Gà: }18, \text{Chó: }20$

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $29$ và hiệu bằng $11$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số lớn là $9$ và số bé là $20$.

b)Số lớn là $20$ và số bé là $9$.

c)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 29 \\ x - y = 11 \end{cases}$.

d)Có thể chọn ẩn theo cách khác (ví dụ đặt $u = x - y$) và vẫn giải được.

Câu 11.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $49$ và hiệu bằng $21$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 49 \\ x - y = 21 \end{cases}$.

b)Sau khi tìm $(x, y)$, không cần đối chiếu điều kiện.

c)Có thể chọn ẩn theo cách khác (ví dụ đặt $u = x - y$) và vẫn giải được.

d)Số lớn là $35$ và số bé là $14$.

Câu 12.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $69$ và hiệu bằng $7$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số lớn là $31$ và số bé là $38$.

b)Phải đặt điều kiện $x, y > 0$ vì là số tự nhiên dương.

c)Sau khi tìm $(x, y)$, không cần đối chiếu điều kiện.

d)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 69 \\ x - y = 7 \end{cases}$.

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Sai`word_sys_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Bạn An mua $12$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $20$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $18$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $228$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

b)Phải đặt điều kiện $x, y \in \mathbb{N}$.

c)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 12 \\ 20x + 18y = 228 \end{cases}$.

d)Tổng số cuốn vở mua được là $12$.

Câu 14.Bạn An mua $9$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $20$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $18$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $174$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

b)Phải đặt điều kiện $x, y \in \mathbb{N}$.

c)Bạn An mua $6$ cuốn loại I và $3$ cuốn loại II.

d)Tổng số cuốn vở mua được là $9$.

Câu 15.Bạn An mua $9$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $10$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $35$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $165$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 9 \\ 10x + 35y = 165 \end{cases}$.

b)Hệ phương trình trên là hệ tuyến tính.

c)Tổng số cuốn vở mua được là $9$.

d)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắn`age_problem`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Hiện tại cha hơn con $2$ tuổi. Sau $8$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $58$. Tính tuổi cha hiện tại.

Câu 17.Hiện tại cha hơn con $27$ tuổi. Sau $4$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $77$. Tính tuổi con hiện tại.

Câu 18.Hiện tại cha hơn con $37$ tuổi. Sau $5$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $61$. Tính tuổi cha hiện tại.

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắn`two_numbers_sum_2sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Tổng hai số bằng $27$. $3$ lần số nhỏ cộng với $3$ lần số lớn bằng $81$. Tìm số nhỏ.

Câu 20.Tổng hai số bằng $41$. $3$ lần số nhỏ cộng với $3$ lần số lớn bằng $123$. Tìm số nhỏ.

Câu 21.Tổng hai số bằng $31$. $3$ lần số nhỏ cộng với $4$ lần số lớn bằng $118$. Tìm số lớn.

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệmboat_stream_speeds_from_times(3 câu)

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệmword_two_motion_meet(3 câu)

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệmword_two_object_count(3 câu)

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Saiword_problem_method_facts(3 câu)

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Saiword_sys_facts2(3 câu)

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắnage_problem(3 câu)

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắntwo_numbers_sum_2sum(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệm`boat_stream_speeds_from_times`(3 câu)

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệm`word_two_motion_meet`(3 câu)

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệm`word_two_object_count`(3 câu)

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Sai`word_sys_facts2`(3 câu)

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắn`age_problem`(3 câu)

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắn`two_numbers_sum_2sum`(3 câu)