Hệ số góc của đường thẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hệ số góc + góc tạo với trục $Ox$

$y = a x + b$ có hệ số góc $a$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương $Ox$:

$a > 0$: $\alpha$ nhọn ($0° < \alpha < 90°$), $\tan\alpha = a$.
$a < 0$: $\alpha$ tù ($90° < \alpha < 180°$), $\tan\alpha = a$ (âm).
$a = 0$: đường thẳng song song $Ox$, $\alpha = 0$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Song song + vuông góc qua hệ số góc

Cho 2 đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:

$d \parallel d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b \neq b'$.
$d \equiv d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.
$d \perp d' \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$.
$d, d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow a \neq a'$.

§3. Công thức(1)

3.1

Hệ số góc qua 2 điểm

Đường thẳng qua $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)$ với $x_A \neq x_B$: $$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$$ Phương trình: $y - y_A = a (x - x_A)$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: tìm $y = ax + b$ từ điều kiện

Biết 2 điểm: tính $a$ qua công thức 2 điểm, thay 1 điểm tìm $b$. Biết hệ số góc + 1 điểm: thay vào tìm $b$. Song song / vuông góc với đường khác + 1 điểm: dùng quan hệ hệ số góc → tìm $a$, rồi thay điểm tìm $b$. Đi qua giao 2 đường khác + 1 điểm: tìm giao điểm trước (giải hệ), rồi như trên.

Bài tập

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`parallel_lines_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = -x - 6$ và $d_2: y = -5x - 2$ là:

A.Cắt nhau

B.Song song

C.Trùng nhau

D.Vuông góc

Câu 2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = -3x - 4$ và $d_2: y = -3x + 1$ là:

A.Trùng nhau

B.Song song

C.Cắt nhau

D.Vuông góc

Câu 3.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = x + 1$ và $d_2: y = -x + 3$ là:

A.Trùng nhau

B.Cắt nhau

C.Vuông góc

D.Song song

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệm`param_line_inclination_angle_find_intercept`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (-4m - 3)x + (-4m - 8)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $45^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = 1$

B.$b = -1$

C.$b = -4$

D.$b = -3$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (-3m - 1)x + (m + 5)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $135^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = 6$

B.$b = -1$

C.$b = 5$

D.$b = 0$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (4m + 1)x + (-2m - 9)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $45^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = 0$

B.$b = -9$

C.$b = 1$

D.$b = -8$

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệm`perpendicular_lines_slope`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = 3$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = 3$

B.$k_2 = \dfrac{1}{3}$

C.$k_2 = - \dfrac{1}{3}$

D.$k_2 = -3$

Câu 8.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = 2$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = -2$

B.$k_2 = - \dfrac{1}{2}$

C.$k_2 = 2$

D.$k_2 = \dfrac{1}{2}$

Câu 9.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = -4$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = -4$

B.$k_2 = 4$

C.$k_2 = - \dfrac{1}{4}$

D.$k_2 = \dfrac{1}{4}$

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệm`service_plan_breakeven`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một nhà mạng viễn thông cung cấp hai gói cước gọi cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $200.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $400$ phút gọi; mỗi phút sử dụng vượt mức phải trả thêm $400$ đồng/phút. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $400.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $400$ phút gọi. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu phút gọi/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$500$ phút

B.$900$ phút

C.$1400$ phút

D.$1900$ phút

Câu 11.Một cửa hàng cho thuê xe máy điện cung cấp hai gói thuê pin cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $150.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $500$ ki-lô-mét; mỗi km sử dụng vượt mức phải trả thêm $300$ đồng/km. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $300.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $500$ ki-lô-mét. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu ki-lô-mét/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$2000$ km

B.$500$ km

C.$1500$ km

D.$1000$ km

Câu 12.Một đơn vị cung cấp dịch vụ truyền hình cung cấp hai gói thuê bao cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $120.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $250$ giờ xem; mỗi giờ sử dụng vượt mức phải trả thêm $200$ đồng/giờ. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $240.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $250$ giờ xem. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu giờ xem/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$600$ giờ

B.$850$ giờ

C.$1450$ giờ

D.$2050$ giờ

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệm`slope_from_equation`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = -4x - 5$ bằng?

A.$k = 4$

B.$k = -5$

C.$k = -4$

D.$k = -3$

Câu 14.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = -3x - 9$ bằng?

A.$k = -2$

B.$k = 3$

C.$k = -9$

D.$k = -3$

Câu 15.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = -4x + 2$ bằng?

A.$k = -4$

B.$k = -3$

C.$k = 4$

D.$k = 2$

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệm`slope_from_two_points`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(-1; -9)$ và $B(-3; -15)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

Đường thẳng qua A(-1;-9), B(-3;-15)

A.$a = \dfrac{1}{3}$

B.$a = -3$

C.$a = 3$

D.$a = 4$

Câu 17.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(4; 6)$ và $B(5; 7)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

Đường thẳng qua A(4;6), B(5;7)

A.$a = 1$

B.$a = -1$

C.$a = 2$

D.$a = 0$

Câu 18.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; -10)$ và $B(-2; -1)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

A.$a = -2$

B.$a = -3$

C.$a = - \dfrac{1}{3}$

D.$a = 3$

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Sai`si_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai điểm $A(4; -4)$ và $B(-1; 2)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

b)Hệ số góc tính bằng $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

c)Đường thẳng có hệ số góc bằng 0.

d)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(4; -4)$ và $B(-1; 2)$ là $\dfrac{-6}{5}$.

Câu 20.Cho hai điểm $A(-1; 2)$ và $B(-2; 3)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

b)Đường thẳng có hệ số góc dương.

c)Hai điểm $A, B$ phân biệt luôn xác định một đường thẳng duy nhất.

d)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(-1; 2)$ và $B(-2; 3)$ là $-1$.

Câu 21.Cho hai điểm $A(4; 5)$ và $B(-4; 3)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

b)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(4; 5)$ và $B(-4; 3)$ là $\dfrac{1}{4}$.

c)Hệ số góc tính bằng $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

d)Đường thẳng có hệ số góc bằng 0.

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắn`find_b_through_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Đường thẳng $y = 4x + b$ đi qua $A(-3; -6)$. Tìm $b$.

Câu 23.Đường thẳng $y = -x + b$ đi qua $A(-4; 9)$. Tìm $b$.

Câu 24.Đường thẳng $y = -2x + b$ đi qua $A(4; -9)$. Tìm $b$.

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắn`find_slope`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Đường thẳng qua $A(5; 4)$ và $B(-1; 3)$ có hệ số góc bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 26.Đường thẳng qua $A(-1; 9)$ và $B(3; 7)$ có hệ số góc bằng? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 27.Đường thẳng qua $A(-5; 4)$ và $B(-6; -6)$ có hệ số góc bằng?

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệmparallel_lines_check(3 câu)

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệmparam_line_inclination_angle_find_intercept(3 câu)

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệmperpendicular_lines_slope(3 câu)

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệmservice_plan_breakeven(3 câu)

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệmslope_from_equation(3 câu)

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệmslope_from_two_points(3 câu)

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Saisi_facts2(3 câu)

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắnfind_b_through_point(3 câu)

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắnfind_slope(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`parallel_lines_check`(3 câu)

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệm`param_line_inclination_angle_find_intercept`(3 câu)

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệm`perpendicular_lines_slope`(3 câu)

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệm`service_plan_breakeven`(3 câu)

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệm`slope_from_equation`(3 câu)

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệm`slope_from_two_points`(3 câu)

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Sai`si_facts2`(3 câu)

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắn`find_b_through_point`(3 câu)

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắn`find_slope`(3 câu)