Phân phối nhị thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa phân phối nhị thức

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức với tham số $n \in \mathbb{N}^*$ và $p \in [0;1]$ (ký hiệu $X \sim B(n, p)$) nếu $X$ là số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công $p$. Tập giá trị: $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Giá trị có khả năng nhất (mode) của $B(n, p)$

$X \sim B(n, p)$:

Mode = $\lfloor (n+1)p \rfloor$ (nếu không nguyên).
Nếu $(n+1)p$ là số nguyên: 2 mode = $(n+1)p$ và $(n+1)p - 1$.

§3. Công thức(2)

3.1

Kỳ vọng + phương sai phân phối nhị thức

$X \sim B(n, p)$:

Kỳ vọng: $E(X) = np$.
Phương sai: $V(X) = np(1-p)$.
Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

3.2

Công thức xác suất nhị thức

$X \sim B(n, p)$: $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n.$$ Với $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Tính xác suất các sự kiện trên $X \sim B(n, p)$

Bước 1. Xác định $n$ (số phép thử), $p$ (xác suất thành công). Bước 2. Áp dụng công thức nhị thức cho từng giá trị $k$: $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Bước 3. Tính các xác suất bao tổ hợp:

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$.
$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.
$P(a \leq X \leq b) = \sum_{i=a}^{b} P(X = i)$.

Bài tập

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệm`binomial_mean_variance`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(9; \dfrac{7}{10})$. Tính kì vọng $E(X)$.

A.$E(X) = \dfrac{63}{10}$

B.$E(X) = \dfrac{7}{10}$

C.$E(X) = 9$

D.$E(X) = \dfrac{189}{100}$

Câu 2.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(19; \dfrac{2}{5})$. Tính phương sai $V(X)$.

A.$V(X) = \dfrac{114}{25}$

B.$V(X) = 19$

C.$V(X) = \dfrac{2}{5}$

D.$V(X) = \dfrac{38}{5}$

Câu 3.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(13; \dfrac{3}{5})$. Tính phương sai $V(X)$.

A.$V(X) = \dfrac{3}{5}$

B.$V(X) = \dfrac{39}{5}$

C.$V(X) = 13$

D.$V(X) = \dfrac{78}{25}$

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệm`binomial_min_n_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{2}{5}$ (tức $40\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $90\%$?

A.$n = 3$

B.$n = 6$

C.$n = 4$

D.$n = 5$

Câu 5.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{1}{4}$ (tức $25\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $99\%$?

A.$n = 18$

B.$n = 15$

C.$n = 17$

D.$n = 16$

Câu 6.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{2}{5}$ (tức $40\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $90\%$?

A.$n = 4$

B.$n = 6$

C.$n = 3$

D.$n = 5$

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệm`binomial_probability`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(4; \dfrac{1}{10})$. Tính $P(X = 2)$.

A.$P = \dfrac{1}{100}$

B.$P = \dfrac{243}{5000}$

C.$P = \dfrac{1}{2}$

D.$P = 6$

Câu 8.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(8; \dfrac{4}{5})$. Tính $P(X = 6)$.

A.$P = \dfrac{3}{4}$

B.$P = \dfrac{4096}{15625}$

C.$P = \dfrac{114688}{390625}$

D.$P = 28$

Câu 9.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(8; \dfrac{7}{10})$. Tính $P(X = 1)$.

A.$P = \dfrac{1}{8}$

B.$P = 8$

C.$P = \dfrac{7}{10}$

D.$P = \dfrac{15309}{12500000}$

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Sai`binom_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Một người bắn $10$ lần độc lập, mỗi lần xác suất trúng đích là $0,4$. Gọi $X$ là số lần trúng đích. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số lần trúng đích $X \sim B(10, 0,4)$.

b)$X$ có thể nhận giá trị âm.

c)$E(X) = 4$ (số lần trúng đích kỳ vọng).

d)$V(X) = 2,4$.

Câu 11.Một người kiểm tra sản phẩm $20$ lần độc lập, mỗi lần xác suất phế phẩm là $0,1$. Gọi $X$ là số lần phế phẩm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$X$ có thể nhận giá trị âm.

b)Phân phối của $X$ là phân phối liên tục.

c)Giá trị lớn nhất của $X$ là $20$.

d)$V(X) = 1,8$.

Câu 12.Một người tung đồng xu $8$ lần độc lập, mỗi lần xác suất ngửa là $0,5$. Gọi $X$ là số lần ngửa. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phân phối của $X$ là phân phối liên tục.

b)$V(X) = 2$.

c)Giá trị lớn nhất của $X$ là $8$.

d)$X$ có thể nhận giá trị âm.

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(12, 0,5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(X = k) = C_{12}^k \cdot 0,5^k \cdot (1 - 0,5)^{12-k}$.

b)$V(X) = 3$.

c)$E(X) = 6$.

d)$E(X) = 12$.

Câu 14.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(20, 0,5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$V(X) = 5$.

b)$E(X) = 20$.

c)Có thể có $P(X = 21) > 0$.

d)$E(X) = 10$.

Câu 15.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(5, 0,4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$X$ chỉ nhận giá trị nguyên trong $\{0, 1, 2, \ldots, 5\}$.

b)Phân phối nhị thức $B(5, 0,4)$ là phân phối liên tục.

c)$E(X) = 5$.

d)$P(X = 5) + P(X = 0) + ... + P(X = 5) = 1$.

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Sai`tf_independent_at_least_one`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Ba xạ thủ $X$, $Y$, $Z$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,9$, $0,8$, $0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 0,36$.

b)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 1 - 0,36$.

c)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 2,2$ (cộng $0,9+0,8+0,5$).

d)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) \ge P(\text{cả 3 đều trúng})$.

Câu 17.Ba xạ thủ $A$, $B$, $C$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,8$, $0,4$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 0,096$.

b)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 1 - 0,096 = 0,904$.

c)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) \ge P(\text{cả 3 đều trúng})$.

d)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 1,4$ (cộng các xác suất).

Câu 18.Ba xạ thủ $X$, $Y$, $Z$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,7$, $0,5$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 0,12$.

b)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 1 - 0,07$.

c)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 0,07$.

d)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 1,4$ (cộng $0,7+0,5+0,2$).

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Sai`tf_independent_levels_probability`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Anh$, $Sinh$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,5$, $0,4$, $0,3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) = 0,288$ (coi 3 xác suất như nhau).

b)$P(\text{đạt đúng 2 trong 3 môn}) = 0,29$.

c)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

d)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) > P(\text{đạt cả 3 môn})$.

Câu 20.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Lí$, $Hoá$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,8$, $0,6$, $0,4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{trượt cả 3 môn}) = 1 - 0,192$.

b)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

c)$P(\text{đạt cả 3 môn}) = 0,192$.

d)$P(\text{đạt đúng 2 trong 3 môn}) = 0,464$.

Câu 21.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Lí$, $Hoá$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,9$, $0,8$, $0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

b)$P(\text{đạt đúng 1 trong 3 môn}) = 0,14$.

c)$P(\text{trượt cả 3 môn}) = 1 - 0,36$.

d)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) > P(\text{đạt cả 3 môn})$.

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Sai`tf_independent_three_events_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,9$, $0,8$, $0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{không câu nào đúng}) = 0,01$.

b)$P(\text{đúng đúng 2 trong 3 câu}) = 0,49$.

c)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 0,99$.

d)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 2,2$ (cộng $0,9+0,8+0,5$).

Câu 23.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,9$, $0,8$, $0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đúng đúng 2 trong 3 câu}) = 0,49$.

b)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 2,2$ (cộng $0,9+0,8+0,5$).

c)$P(\text{đúng đúng 2 trong 3 câu}) = 0,43$ (dùng $C_3^2\,\bar p^2(1-\bar p)$ với $\bar p$ là xác suất trung bình).

d)$P(\text{không câu nào đúng}) = 0,01$.

Câu 24.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,8$, $0,5$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đúng cả 3 câu}) = 0,08$.

b)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 0,92$.

c)$P(\text{đúng đúng 2 trong 3 câu}) = 0,375$ (dùng $C_3^2\,\bar p^2(1-\bar p)$ với $\bar p$ là xác suất trung bình).

d)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 1,5$ (cộng $0,8+0,5+0,2$).

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắn`binomial_cumulative_between`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Một nhà máy kiểm tra 9 linh kiện được lấy độc lập từ dây chuyền. Mỗi linh kiện là phế phẩm với xác suất $1/3$. Gọi $X$ là số linh kiện phế phẩm trong 9 linh kiện đó. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $2$ đến $4$ (tức $2 \le X \le 4$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 26.Một nhà máy kiểm tra 8 linh kiện được lấy độc lập từ dây chuyền. Mỗi linh kiện là phế phẩm với xác suất $1/2$. Gọi $X$ là số linh kiện phế phẩm trong 8 linh kiện đó. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $3$ đến $5$ (tức $3 \le X \le 5$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 27.Gieo một con xúc xắc cân đối 10 lần, các lần gieo độc lập với nhau. Mỗi lần gieo, xác suất xuất hiện mặt được tính là "thành công" bằng $3/10$. Gọi $X$ là số lần thành công. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $2$ đến $4$ (tức $2 \le X \le 4$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắn`binomial_guess_exam_score_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Một bài thi trắc nghiệm có $20$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $2$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $1$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $5$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 29.Một bài thi trắc nghiệm có $12$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $4$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $1$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $10$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 30.Một bài thi trắc nghiệm có $15$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $3$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $1$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $10$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_mean_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Cho $X \sim B(12, \dfrac{3}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 32.Cho $X \sim B(5, \dfrac{5}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 33.Cho $X \sim B(8, \dfrac{7}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_prob`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho $X \sim B(6, \dfrac{2}{5})$. Tính $P(X = 4)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 35.Cho $X \sim B(4, \dfrac{2}{5})$. Tính $P(X = 2)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Cho $X \sim B(5, \dfrac{4}{5})$. Tính $P(X = 5)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

§4. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệmbinomial_mean_variance(3 câu)

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệmbinomial_min_n_threshold(3 câu)

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệmbinomial_probability(3 câu)

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Saibinom_facts2(3 câu)

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Saibinomial_facts(3 câu)

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Saitf_independent_at_least_one(3 câu)

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Saitf_independent_levels_probability(3 câu)

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Saitf_independent_three_events_count(3 câu)

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắnbinomial_cumulative_between(3 câu)

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắnbinomial_guess_exam_score_threshold(3 câu)

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắnbinomial_mean_sa(3 câu)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắnbinomial_prob(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệm`binomial_mean_variance`(3 câu)

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệm`binomial_min_n_threshold`(3 câu)

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệm`binomial_probability`(3 câu)

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Sai`binom_facts2`(3 câu)

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Sai`tf_independent_at_least_one`(3 câu)

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Sai`tf_independent_levels_probability`(3 câu)

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Sai`tf_independent_three_events_count`(3 câu)

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắn`binomial_cumulative_between`(3 câu)

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắn`binomial_guess_exam_score_threshold`(3 câu)

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_mean_sa`(3 câu)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_prob`(3 câu)