Biến ngẫu nhiên rời rạc

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Biến ngẫu nhiên (BNN) $X$ là một quy tắc gán cho mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên một số thực. $X$ là BNN rời rạc nếu tập giá trị của $X$ là tập hữu hạn hoặc đếm được (vd $\{0, 1, 2, \dots\}$).

1.2

Bảng phân phối xác suất

Cho BNN rời rạc $X$ nhận giá trị $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ với xác suất $P(X = x_i) = p_i$. Bảng phân phối:

$X$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Thoả: $p_i \geq 0$ và $\sum p_i = 1$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Điều kiện hợp lệ của bảng phân phối

Một bảng được gọi là bảng phân phối xác suất khi: 1. Các giá trị $p_i \in [0; 1]$. 2. Tổng $\sum p_i = 1$. 3. Các giá trị $x_i$ đôi một khác nhau.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Lập bảng phân phối xác suất từ bài toán

Bước 1. Xác định tập hợp các giá trị $X$ có thể nhận. Bước 2. Với mỗi giá trị $x_i$, dùng các quy tắc đếm + xác suất (quy tắc cộng, nhân, công thức tổ hợp) để tính $P(X = x_i)$. Bước 3. Lập bảng và kiểm tra $\sum p_i = 1$. Nếu tổng $\neq 1$ → tính sai 1 trong các $p_i$, cần kiểm tra lại.

§4. Lưu ý(1)

4.1!

Lưu ý: các sự kiện $X = x_i$ phải xung khắc + đầy đủ

Khi lập bảng phân phối:

Các sự kiện $\{X = x_i\}$ phải đôi một xung khắc (không trùng nhau).
Hợp các sự kiện $\{X = x_1\} \cup \{X = x_2\} \cup \dots$ phải là biến cố chắc chắn (bao trùm toàn bộ phép thử).

→ Đó là lý do $\sum p_i = 1$.

Bài tập

1. Vận dụng cao. Hai (hoặc ba) phân xưởng / nguồn cung cấp một mặt hàng với tỉ lệ phần trăm cho trướcTrắc nghiệm`bayes_inverse_conditional`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Một nhà máy có 2 phân xưởng cùng sản xuất một mặt hàng: phân xưởng I chiếm $40\%$ với tỉ lệ phế phẩm $10\%$; phân xưởng II chiếm $60\%$ với tỉ lệ phế phẩm $1\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

A.$P = \dfrac{1}{100}$

B.$P = \dfrac{23}{500}$

C.$P = \dfrac{3}{5}$

D.$\dfrac{P(B_2) P(A | B_2)}{P(A)} = \dfrac{3}{23}$

Câu 2.Một nhà máy có 2 phân xưởng cùng sản xuất một mặt hàng: phân xưởng I chiếm $25\%$ với tỉ lệ phế phẩm $2\%$; phân xưởng II chiếm $75\%$ với tỉ lệ phế phẩm $6\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

A.$P = \dfrac{3}{4}$

B.$\dfrac{P(B_2) P(A | B_2)}{P(A)} = \dfrac{9}{10}$

C.$P = \dfrac{1}{20}$

D.$P = \dfrac{3}{50}$

Câu 3.Một nhà máy có 2 phân xưởng cùng sản xuất một mặt hàng: phân xưởng I chiếm $30\%$ với tỉ lệ phế phẩm $2\%$; phân xưởng II chiếm $70\%$ với tỉ lệ phế phẩm $6\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

A.$\dfrac{P(B_2) P(A | B_2)}{P(A)} = \dfrac{7}{8}$

B.$P = \dfrac{7}{10}$

C.$P = \dfrac{3}{50}$

D.$P = \dfrac{6}{125}$

2. Bayes trừu tượng. Cho $P(A)$, $P(B)$, $P(B \mid A)$, tính $P(A \mid B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$Trắc nghiệm`bayes_invert_abstract`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,2$; $P(B) = 0,6$; $P(B \mid A) = 0,1$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{10}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{25}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{50}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{30}$

Câu 5.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,5$; $P(B) = 0,4$; $P(B \mid A) = 0,5$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{4}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{5}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{5}{8}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

Câu 6.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,7$; $P(B) = 0,6$; $P(B \mid A) = 0,5$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{12}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{21}{50}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{20}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,3$; $P(B) = 0,7$; $P(B \mid A) = 0,3$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{10}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{9}{70}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{21}{100}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{9}{100}$

Câu 8.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,7$; $P(B) = 0,4$; $P(B \mid A) = 0,2$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{50}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{5}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{20}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{25}$

Câu 9.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(A) = 0,3$; $P(B) = 0,6$; $P(B \mid A) = 0,1$. Tính $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{20}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{10}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{100}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{9}{50}$

3. Bayes 3 nhóm bệnh nhân — tính $P(A | B_i)$ với $B_i$ là 1 trong 3 nhómTrắc nghiệm`bayes_three_classes_disease_test`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Một bệnh viện có 3 nhóm bệnh nhân I, II, III chiếm tỉ lệ tương ứng 30\%, 40\%, 30\%. Tỉ lệ phản ứng dương tính với một xét nghiệm trong từng nhóm lần lượt là 30\%, 40\%, 50\%. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân và xét nghiệm thấy dương tính. Tính xác suất bệnh nhân đó thuộc nhóm I.

A.$P = \dfrac{9}{40}$

B.$P = \dfrac{3}{10}$

C.$P = \dfrac{1}{3}$

D.$P = \dfrac{9}{100}$

Câu 11.Một bệnh viện có 3 nhóm bệnh nhân I, II, III chiếm tỉ lệ tương ứng 30\%, 40\%, 30\%. Tỉ lệ phản ứng dương tính với một xét nghiệm trong từng nhóm lần lượt là 30\%, 30\%, 20\%. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân và xét nghiệm thấy dương tính. Tính xác suất bệnh nhân đó thuộc nhóm I.

A.$P = \dfrac{13}{30}$

B.$P = \dfrac{3}{10}$

C.$P = \dfrac{1}{3}$

D.$P = \dfrac{9}{100}$

Câu 12.Một bệnh viện có 3 nhóm bệnh nhân I, II, III chiếm tỉ lệ tương ứng 30\%, 40\%, 30\%. Tỉ lệ phản ứng dương tính với một xét nghiệm trong từng nhóm lần lượt là 50\%, 20\%, 50\%. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân và xét nghiệm thấy dương tính. Tính xác suất bệnh nhân đó thuộc nhóm I.

A.$P = \dfrac{15}{38}$

B.$P = \dfrac{3}{10}$

C.$P = \dfrac{1}{2}$

D.$P = \dfrac{3}{20}$

4. Điều kiện ngược. Cho $P(AB)$ và $P(B)$, tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$Trắc nghiệm`conditional_from_joint_abstract`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,14$ và $P(B) = 0,7$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{5}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{50}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{49}{500}$

D.$P(A \mid B) = 5$

Câu 14.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,15$ và $P(B) = 0,5$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{10}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{20}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{40}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{10}{3}$

Câu 15.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,08$ và $P(B) = 0,4$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{4}{125}$

B.$P(A \mid B) = 5$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{5}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{25}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,35$ và $P(B) = 0,5$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{10}{7}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{10}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{20}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{7}{40}$

Câu 17.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,48$ và $P(B) = 0,6$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{4}{5}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{5}{4}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{12}{25}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{36}{125}$

Câu 18.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(AB) = 0,48$ và $P(B) = 0,8$. Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{12}{25}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{48}{125}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{3}{5}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{5}{3}$

5. $P(A \mid B)$ — rút 1 lá trong bộ 52. A = "quân Át" / "quân Cơ", B = "quân đỏ" / "quân hình (J, Q, K)"Trắc nghiệm`conditional_prob_card_draw`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây $52$ lá. Gọi $A$ là biến cố "rút được quân Át", $B$ là biến cố "rút được quân màu đỏ". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{13}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{26}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{13}$

Câu 20.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây $52$ lá. Gọi $A$ là biến cố "rút được quân K", $B$ là biến cố "rút được quân màu đỏ". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{13}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{13}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{26}$

Câu 21.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây $52$ lá. Gọi $A$ là biến cố "rút được quân Át", $B$ là biến cố "rút được quân màu đỏ". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{13}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{26}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{13}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

6. Đảo điều kiện. Trên cùng không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc / số / lá bài), đề hỏi $P(B \mid A) = \dfrac{|A \cap B|}{|A|}$ (đảo lại so với dạng thuận)Trắc nghiệm`conditional_prob_reverse_identify`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Chọn ngẫu nhiên một số trong các số nguyên từ $1$ đến $20$. Gọi $A$ là biến cố "số được chọn là số nguyên tố", $B$ là biến cố "số được chọn là số chẵn". Tính xác suất có điều kiện $P(B \mid A)$.

A.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{10}$

B.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{8}$

D.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{20}$

Câu 23.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây $52$ lá. Gọi $A$ là biến cố "rút được quân Cơ", $B$ là biến cố "rút được quân hình (J, Q, K)". Tính xác suất có điều kiện $P(B \mid A)$.

A.$P(B \mid A) = \dfrac{3}{13}$

B.$P(B \mid A) = \dfrac{3}{52}$

C.$P(B \mid A) = \dfrac{12}{13}$

D.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{4}$

Câu 24.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây $52$ lá. Gọi $A$ là biến cố "rút được quân Cơ", $B$ là biến cố "rút được quân hình (J, Q, K)". Tính xác suất có điều kiện $P(B \mid A)$.

A.$P(B \mid A) = \dfrac{3}{52}$

B.$P(B \mid A) = \dfrac{12}{13}$

C.$P(B \mid A) = \dfrac{1}{4}$

D.$P(B \mid A) = \dfrac{3}{13}$

7. $P(A \mid B)$ trên không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc hoặc số $1..n$)Trắc nghiệm`conditional_prob_sample_space`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Chọn ngẫu nhiên một số trong các số nguyên từ $1$ đến $15$. Gọi $A$ là biến cố "số được chọn là số nguyên tố", $B$ là biến cố "số được chọn là số chẵn". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{7}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{6}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{5}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{15}$

Câu 26.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố", $B$ là biến cố "xuất hiện mặt chẵn". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{3}$

B.$P(A \mid B) = 1$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{6}$

Câu 27.Chọn ngẫu nhiên một số trong các số nguyên từ $1$ đến $10$. Gọi $A$ là biến cố "số được chọn là số nguyên tố", $B$ là biến cố "số được chọn là số chẵn". Tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$.

A.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{4}$

B.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{10}$

C.$P(A \mid B) = \dfrac{1}{5}$

D.$P(A \mid B) = \dfrac{2}{5}$

8. Tìm xác suất còn thiếu trong bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạcTrắc nghiệm`discrete_distribution_missing_p`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất sau: $P(X = 3) = p$; $P(X = 4) = \dfrac{1}{10}$; $P(X = 5) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 5) = \dfrac{1}{10}$. Tìm $p$.

A.$p = \dfrac{1}{2}$

B.$p = \dfrac{1}{10}$

C.$p = \dfrac{3}{5}$

D.$p = 1$

Câu 29.Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất sau: $P(X = 1) = \dfrac{6}{10}$; $P(X = 2) = \dfrac{1}{10}$; $P(X = 7) = p$; $P(X = 7) = \dfrac{1}{10}$. Tìm $p$.

A.$p = \dfrac{3}{10}$

B.$p = 1$

C.$p = \dfrac{1}{5}$

D.$p = \dfrac{1}{10}$

Câu 30.Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất sau: $P(X = 1) = \dfrac{5}{10}$; $P(X = 2) = p$; $P(X = 3) = \dfrac{1}{10}$; $P(X = 8) = \dfrac{2}{10}$. Tìm $p$.

A.$p = \dfrac{1}{5}$

B.$p = 1$

C.$p = \dfrac{3}{10}$

D.$p = \dfrac{1}{10}$

9. Công thức nhân (thuận). Cho $P(B)$ và $P(A \mid B)$, tính xác suất của biến cố giao $P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B)$Trắc nghiệm`joint_prob_multiplication_abstract`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,6$ và $P(A \mid B) = 0,4$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = \dfrac{3}{5}$

B.$P(AB) = 1$

C.$P(AB) = \dfrac{6}{25}$

D.$P(AB) = \dfrac{2}{5}$

Câu 32.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,6$ và $P(A \mid B) = 0,2$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = \dfrac{4}{5}$

B.$P(AB) = \dfrac{3}{25}$

C.$P(AB) = \dfrac{3}{5}$

D.$P(AB) = \dfrac{1}{5}$

Câu 33.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,6$ và $P(A \mid B) = 0,8$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = 1$

B.$P(AB) = \dfrac{3}{5}$

C.$P(AB) = \dfrac{4}{5}$

D.$P(AB) = \dfrac{12}{25}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,6$ và $P(A \mid B) = 0,5$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = 1$

B.$P(AB) = \dfrac{3}{5}$

C.$P(AB) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(AB) = \dfrac{3}{10}$

Câu 35.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,6$ và $P(A \mid B) = 0,7$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = 1$

B.$P(AB) = \dfrac{7}{10}$

C.$P(AB) = \dfrac{3}{5}$

D.$P(AB) = \dfrac{21}{50}$

Câu 36.Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B) = 0,8$ và $P(A \mid B) = 0,5$. Tính xác suất $P(AB)$.

A.$P(AB) = \dfrac{1}{2}$

B.$P(AB) = \dfrac{2}{5}$

C.$P(AB) = 1$

D.$P(AB) = \dfrac{4}{5}$

10. Tính $P(X \geq k)$ từ bảng phân phốiTrắc nghiệm`probability_x_at_least`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X = 1) = \dfrac{2}{10}$; $P(X = 2) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 3) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 4) = \dfrac{2}{10}$. Tính $P(X \geq 3)$.

A.$P(X \geq 3) = 0$

B.$P(X \geq 3) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(X \geq 3) = 1$

D.$P(X \geq 3) = \dfrac{3}{5}$

Câu 38.Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X = 1) = \dfrac{2}{10}$; $P(X = 2) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 3) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 4) = \dfrac{2}{10}$. Tính $P(X \geq 3)$.

A.$P(X \geq 3) = \dfrac{3}{5}$

B.$P(X \geq 3) = 0$

C.$P(X \geq 3) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(X \geq 3) = 1$

Câu 39.Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X = 1) = \dfrac{2}{10}$; $P(X = 2) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 3) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 4) = \dfrac{2}{10}$. Tính $P(X \geq 2)$.

A.$P(X \geq 2) = \dfrac{1}{5}$

B.$P(X \geq 2) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(X \geq 2) = \dfrac{9}{10}$

D.$P(X \geq 2) = \dfrac{4}{5}$

11. Cho bảng phân phối $X$ — tính $P(a \leq X \leq b)$Trắc nghiệm`probability_x_in_interval_from_table`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Cho bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline P & \dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{20} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\\hline\end{array}$$ Tính $P(2 \leq X \leq 4)$.

A.$P(2 \leq X \leq 4) = \dfrac{13}{20}$

B.$P = \dfrac{1}{2}$

C.$P = \dfrac{3}{20}$

D.$P = \dfrac{1}{4}$

Câu 41.Cho bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline P & \dfrac{5}{13} & \dfrac{3}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{2}{13} & \dfrac{2}{13} \\\hline\end{array}$$ Tính $P(2 \leq X \leq 4)$.

A.$P = \dfrac{1}{13}$

B.$P = \dfrac{9}{13}$

C.$P(2 \leq X \leq 4) = \dfrac{6}{13}$

D.$P = \dfrac{3}{13}$

Câu 42.Cho bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline P & \dfrac{2}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{15} \\\hline\end{array}$$ Tính $P(2 \leq X \leq 4)$.

A.$P = \dfrac{8}{15}$

B.$P(2 \leq X \leq 4) = \dfrac{11}{15}$

C.$P = \dfrac{2}{15}$

D.$P = \dfrac{4}{15}$

12. Nhận diện biến ngẫu nhiên rời rạc qua tập giá trịTrắc nghiệm`recognize_discrete_random_var`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Đại lượng "Số viên bi đỏ rút ra từ hộp 5 đỏ 5 xanh khi rút 3 viên" có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không?

A.Có (rời rạc)

B.Không (liên tục)

C.Không phải biến ngẫu nhiên

D.Hỗn hợp rời rạc và liên tục

Câu 44.Đại lượng "Số viên bi đỏ rút ra từ hộp 5 đỏ 5 xanh khi rút 3 viên" có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không?

A.Không (liên tục)

B.Hỗn hợp rời rạc và liên tục

C.Không phải biến ngẫu nhiên

D.Có (rời rạc)

Câu 45.Đại lượng "Chiều cao của một học sinh ngẫu nhiên" có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không?

A.Không phải biến ngẫu nhiên

B.Không (liên tục)

C.Hỗn hợp rời rạc và liên tục

D.Có (rời rạc)

13. Công thức xác suất toàn phần — chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 hộp rồi rút biTrắc nghiệm`total_probability_two_urns`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Có hai hộp bi. Hộp I gồm 2 bi trắng và 3 bi đỏ. Hộp II gồm 3 bi trắng và 3 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp với cùng xác suất, rồi từ hộp đó rút ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất rút được bi trắng.

A.$P = \dfrac{5}{11}$

B.$P = \dfrac{2}{5}$

C.$P = \dfrac{9}{20}$

D.$P = \dfrac{1}{2}$

Câu 47.Có hai hộp bi. Hộp I gồm 3 bi trắng và 6 bi đỏ. Hộp II gồm 5 bi trắng và 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp với cùng xác suất, rồi từ hộp đó rút ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất rút được bi trắng.

A.$P = \dfrac{5}{7}$

B.$P = \dfrac{11}{21}$

C.$P = \dfrac{1}{3}$

D.$P = \dfrac{1}{2}$

Câu 48.Có hai hộp bi. Hộp I gồm 6 bi trắng và 3 bi đỏ. Hộp II gồm 5 bi trắng và 6 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp với cùng xác suất, rồi từ hộp đó rút ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất rút được bi trắng.

A.$P = \dfrac{11}{20}$

B.$P = \dfrac{37}{66}$

C.$P = \dfrac{2}{3}$

D.$P = \dfrac{5}{11}$

14. Vận dụng cao. Lớp/nhóm khảo sát có $n$ học sinh; biết số học sinh tham gia mỗi câu lạc bộ $A$, $B$, $C$, số học sinh tham gia hai câu lạc bộ đôi một và số học sinh tham gia cả baTrắc nghiệm`union_three_events_inclusion_exclusion`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Một lớp có $30$ học sinh, trong đó có $11$ em tham gia câu lạc bộ Toán ($A$), $11$ em tham gia câu lạc bộ Lý ($B$), $13$ em tham gia câu lạc bộ Hoá ($C$). Có $3$ em tham gia cả $A$ và $B$, $5$ em tham gia cả $A$ và $C$, $3$ em tham gia cả $B$ và $C$, và có $2$ em tham gia cả ba câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tính xác suất em đó tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ trên.

A.$P = \dfrac{13}{15}$

B.$P = \dfrac{7}{6}$

C.$P = \dfrac{5}{6}$

D.$P = \dfrac{4}{5}$

Câu 50.Một lớp có $45$ học sinh, trong đó có $12$ em tham gia câu lạc bộ Toán ($A$), $15$ em tham gia câu lạc bộ Lý ($B$), $11$ em tham gia câu lạc bộ Hoá ($C$). Có $7$ em tham gia cả $A$ và $B$, $4$ em tham gia cả $A$ và $C$, $6$ em tham gia cả $B$ và $C$, và có $3$ em tham gia cả ba câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tính xác suất em đó tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ trên.

A.$P = \dfrac{7}{15}$

B.$P = \dfrac{23}{45}$

C.$P = \dfrac{8}{15}$

D.$P = \dfrac{38}{45}$

Câu 51.Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $14$ em tham gia câu lạc bộ Toán ($A$), $16$ em tham gia câu lạc bộ Lý ($B$), $12$ em tham gia câu lạc bộ Hoá ($C$). Có $8$ em tham gia cả $A$ và $B$, $6$ em tham gia cả $A$ và $C$, $7$ em tham gia cả $B$ và $C$, và có $5$ em tham gia cả ba câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tính xác suất em đó tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ trên.

A.$P = \dfrac{13}{20}$

B.$P = \dfrac{21}{20}$

C.$P = \dfrac{21}{40}$

D.$P = \dfrac{5}{8}$

15. Cho bảng phân phối có 1 ô ẩn $a$ — xét đúng/sai khi tìm $a$ để bảng hợp lệ và các tính chất kéo theoĐúng / Sai`discrete_random_var_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối (với $a$ là tham số để xác định): $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,4 & a & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng các xác suất trong bảng phân phối luôn bằng $1$.

b)Có thể chọn $a = -0,1$ để bảng hợp lệ.

c)$X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị.

d)Mỗi xác suất phải thỏa $0 \leq p_i \leq 1$.

Câu 53.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối (với $a$ là tham số để xác định): $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,4 & a & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để bảng phân phối hợp lệ thì $a = 0,5$.

b)$X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị.

c)Có thể chọn $a = -0,1$ để bảng hợp lệ.

d)Khi đó $P(X = 2) = 0,4$.

Câu 54.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối (với $a$ là tham số để xác định): $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,4 & a & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(X \neq 2) = 0,6$.

b)Có thể chọn $a = -0,1$ để bảng hợp lệ.

c)Mỗi xác suất phải thỏa $0 \leq p_i \leq 1$.

d)Để bảng phân phối hợp lệ thì $a = 0,4$.

16. Cho bảng phân phối $X$ cụ thể — xét đúng/sai về tổng xác suất, miền giá trị, $P(X \geq k)$, tính chất rời rạcĐúng / Sai`discrete_random_var_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,25 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(X = 0) = 0,25$.

b)Có thể có $P(X = -1) > 1$.

c)$P(X \geq 0) + P(X < 0) = 1$.

d)Tổng các xác suất bằng $1,1$.

Câu 56.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng các xác suất $\sum p_i = 1$.

b)Có thể có $P(X = 0) > 1$.

c)$X$ chỉ nhận các giá trị trong tập $\{0, 1, 2, 3\}$.

d)$P(X \geq 1) = 0,9$.

Câu 57.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể có $P(X = 0) > 1$.

b)$P(X \geq 1) = 0,5$.

c)$P(X = 1) = 0,3$.

d)$P(X \leq 1) = 0,8$.

17. 4 ý: P(mắc), dương tính giả, P(dương) toàn phần, P(mắc|dương) vs 0,5Đúng / Sai`tf_diagnostic_test_posterior_half`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Để phát hiện một loại ung thư giai đoạn sớm, người ta dùng một xét nghiệm tầm soát có độ nhạy $99\%$ và độ đặc hiệu $99\%$; tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là $2\%$. Gọi $A$ là biến cố "người được chọn mắc bệnh", $B$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B \mid \bar A) = 0,01$.

b)$P(A) = 0,02$ (tỉ lệ mắc trong dân số).

c)$P(B \mid \bar A) = 0,01$ (xác suất dương tính giả).

d)$P(B) = 0,0198$.

Câu 59.Để phát hiện một bệnh truyền nhiễm, người ta dùng một xét nghiệm sàng lọc có độ nhạy $98\%$ và độ đặc hiệu $99\%$; tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là $2\%$. Gọi $A$ là biến cố "người được chọn mắc bệnh", $B$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B \mid \bar A) = 0,01$ (xác suất dương tính giả).

b)$P(B) = 0,0196$.

c)$P(A \mid B) > 0{,}5$ (đã dương tính thì khả năng mắc bệnh trên $50\%$).

d)$P(A \mid B) = 0,98$ (bằng độ nhạy).

Câu 60.Để phát hiện một bệnh truyền nhiễm, người ta dùng một xét nghiệm sàng lọc có độ nhạy $99\%$ và độ đặc hiệu $99\%$; tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là $2\%$. Gọi $A$ là biến cố "người được chọn mắc bệnh", $B$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \mid B) = 0,99$ (bằng độ nhạy).

b)$P(A \mid B) > 0{,}5$ (đã dương tính thì khả năng mắc bệnh trên $50\%$).

c)$P(B \mid \bar A) = 0,01$.

d)$P(B) = 0,0198$.

18. Bối cảnh vé số / thẻ cào; nhấn "thứ tự rút KHÔNG ảnh hưởng cơ hội"Đúng / Sai`tf_draw_order_independence`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Một đợt phát hành có $28$ vé số, trong đó $7$ vé số trúng thưởng. Lần lượt từng người mua 1 vé số (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{người thứ 12 trúng thưởng}) = P(\text{người thứ 13 trúng thưởng})$.

b)Nếu các vật trúng thưởng đã bị người trước mua hết thì người sau chắc chắn trượt; nhưng TRƯỚC KHI mua, mọi vị trí vẫn có xác suất trúng thưởng bằng $\dfrac{1}{4}$.

c)Người mua vé số sớm hơn thì cơ hội trúng thưởng lớn hơn.

d)Tổng xác suất trúng của tất cả $28$ vị trí bằng $7$.

Câu 62.Một đợt phát hành có $21$ vé số, trong đó $3$ vé số trúng thưởng. Lần lượt từng người mua 1 vé số (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Người mua vé số muộn hơn thì cơ hội trúng thưởng lớn hơn.

b)$P(\text{người thứ 21 trúng thưởng}) = P(\text{người thứ 7 trúng thưởng})$.

c)Xác suất người mua đầu tiên trúng thưởng là $\dfrac{1}{21}$.

d)Người mua vé số sớm hơn thì cơ hội trúng thưởng lớn hơn.

Câu 63.Một đợt phát hành có $28$ vé số, trong đó $4$ vé số trúng thưởng. Lần lượt từng người mua 1 vé số (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{người thứ 16 trúng thưởng}) = \dfrac{1}{7}$.

b)Người mua vé số sớm hơn thì cơ hội trúng thưởng lớn hơn.

c)Tổng xác suất trúng của tất cả $28$ vị trí bằng $4$.

d)Nếu các vật trúng thưởng đã bị người trước mua hết thì người sau chắc chắn trượt; nhưng TRƯỚC KHI mua, mọi vị trí vẫn có xác suất trúng thưởng bằng $\dfrac{1}{7}$.

19. Thêm ý $P(\text{người thứ }k\text{ trúng})=w/N$ và ý điều kiện $P(\text{người 2}\mid \text{người 1 trượt})$Đúng / Sai`tf_lucky_draw_equal_chance`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Có $35$ phong bì lì xì, trong đó $7$ có tiền. Lần lượt từng học sinh chọn 1 phong bì lì xì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi học sinh đều có xác suất rút được phong bì lì xì có tiền bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{5}$.

b)$P(\text{học sinh thứ 2 trúng} \mid \text{học sinh thứ 1 trượt}) = \dfrac{7}{34}$.

c)Vì người đầu có thể "hớt" mất vật có tiền nên người rút sau thiệt thòi hơn.

d)$P(\text{học sinh thứ 2 trúng} \mid \text{học sinh thứ 1 trúng}) = \dfrac{3}{17}$.

Câu 65.Có $30$ thẻ cào, trong đó $5$ trúng quà. Lần lượt từng khách hàng cào 1 thẻ cào (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả khách hàng 1 và khách hàng 2 đều trúng}) = \dfrac{2}{87}$.

b)Khách hàng đầu tiên có xác suất trúng CAO NHẤT.

c)Mọi khách hàng đều có xác suất rút được thẻ cào trúng quà bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{6}$.

d)Khách hàng cuối cùng có xác suất trúng CAO NHẤT.

Câu 66.Có $35$ phong bì lì xì, trong đó $7$ có tiền. Lần lượt từng học sinh chọn 1 phong bì lì xì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{học sinh thứ 2 trúng} \mid \text{học sinh thứ 1 trúng}) = \dfrac{3}{17}$.

b)Vì người đầu có thể "hớt" mất vật có tiền nên người rút sau thiệt thòi hơn.

c)$P(\text{học sinh thứ 2 trúng} \mid \text{học sinh thứ 1 trúng}) = \dfrac{1}{5}$.

d)$P(\text{học sinh đầu tiên rút được phong bì lì xì có tiền}) = \dfrac{1}{5}$.

20. Nhấn ý $P(\text{lượt 2})=P(\text{lượt 1})$ — vị trí rút không đổi xác suấtĐúng / Sai`tf_no_replace_position_fairness`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Trong một hộp có $10$ bi xanh và $15$ bi đỏ. Hùng lấy 1 viên bi, sau đó Lan lấy 1 viên bi (KHÔNG hoàn lại, không ai nhìn thấy vật của người kia). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Lan được bi xanh}) = P(\text{Hùng được bi xanh})$.

b)$P(\text{Hùng lấy được bi xanh}) = \dfrac{2}{5}$.

c)Hùng rút trước nên xác suất được bi xanh CAO HƠN Lan.

d)$P(\text{Lan được bi đỏ}) = \dfrac{3}{5}$.

Câu 68.Trong một hộp có $17$ bi xanh và $19$ bi đỏ. Hùng lấy 1 viên bi, sau đó Lan lấy 1 viên bi (KHÔNG hoàn lại, không ai nhìn thấy vật của người kia). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hùng rút trước nên xác suất được bi xanh CAO HƠN Lan.

b)$P(\text{Lan được bi xanh}) = \dfrac{17}{36}$.

c)$P(\text{Lan được bi đỏ}) = \dfrac{19}{36}$.

d)$P(\text{Lan được bi xanh}) = P(\text{Hùng được bi xanh})$.

Câu 69.Trong một hộp có $18$ phong bì có quà và $14$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì, sau đó Tú chọn 1 phong bì (KHÔNG hoàn lại, không ai nhìn thấy vật của người kia). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mai rút trước nên xác suất được phong bì có quà CAO HƠN Tú.

b)$P(\text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{7}{16}$.

c)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{14}{31}$.

d)$P(\text{Tú được phong bì có quà}) = \dfrac{9}{16}$.

21. Tỉ lệ nền CỰC NHỎ ⇒ hậu nghiệm $P(A|B)<0,5$ — nghịch lý xác suất nềnĐúng / Sai`tf_screening_base_rate_fallacy`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Trong dân số, tỉ lệ mắc một bệnh hiếm gặp chỉ là $0,1\%$. Một kit chẩn đoán có độ nhạy $96\%$ và độ đặc hiệu $95\%$. Chọn ngẫu nhiên một người làm xét nghiệm. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Một người có kết quả dương tính thì gần như CHẮC CHẮN đã mắc bệnh.

b)$P(A \mid B) = 0,96$ (bằng độ nhạy).

c)$P(B) = 0,05091$.

d)$P(A) = 0,001$.

Câu 71.Trong dân số, tỉ lệ mắc một loại ung thư giai đoạn sớm chỉ là $0,2\%$. Một xét nghiệm tầm soát có độ nhạy $99\%$ và độ đặc hiệu $98\%$. Chọn ngẫu nhiên một người làm xét nghiệm. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \mid B) < 0{,}5$ — phần lớn ca dương tính thực ra KHÔNG mắc bệnh.

b)$P(B) = 0,02194$.

c)Một người có kết quả dương tính thì gần như CHẮC CHẮN đã mắc bệnh.

d)$P(B \mid \bar A) = 0,02$ (dương tính giả).

Câu 72.Trong dân số, tỉ lệ mắc một bệnh hiếm gặp chỉ là $0,2\%$. Một kit chẩn đoán có độ nhạy $98\%$ và độ đặc hiệu $96\%$. Chọn ngẫu nhiên một người làm xét nghiệm. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B) = 0,04188$.

b)$P(B \mid \bar A) = 0,04$ (dương tính giả).

c)$P(A \mid B) < 0{,}5$ — phần lớn ca dương tính thực ra KHÔNG mắc bệnh.

d)$P(A \mid B) = 0,98$ (bằng độ nhạy).

22. Nhấn độ nhạy / độ đặc hiệu, $P(\bar B|\bar A)$, so $P(A|B)$ với tỉ lệ nềnĐúng / Sai`tf_sensitivity_specificity_total`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Một xét nghiệm nhanh phát hiện một loại virus có độ nhạy $P(B\mid A)=92\%$ và độ đặc hiệu $P(\bar B\mid\bar A)=99\%$. Biết tỉ lệ mắc bệnh là $0,5\%$. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B) = 0,0046$.

b)$P(\bar B \mid A) = 0,08$ (âm tính giả).

c)$P(B \mid \bar A) = 0,08$.

d)$P(A \mid B) > P(A)$ (xét nghiệm dương làm TĂNG khả năng mắc).

Câu 74.Một kit chẩn đoán phát hiện một bệnh hiếm gặp có độ nhạy $P(B\mid A)=99\%$ và độ đặc hiệu $P(\bar B\mid\bar A)=99\%$. Biết tỉ lệ mắc bệnh là $0,5\%$. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B) = 0,00495$.

b)$P(B \mid \bar A) = 0,01$.

c)$P(B) = 0,0149$.

d)$P(B \mid \bar A) = 0,01$ (xác suất dương tính giả).

Câu 75.Một kit chẩn đoán phát hiện một bệnh hiếm gặp có độ nhạy $P(B\mid A)=96\%$ và độ đặc hiệu $P(\bar B\mid\bar A)=96\%$. Biết tỉ lệ mắc bệnh là $1\%$. Gọi $A$ là "mắc bệnh", $B$ là "xét nghiệm dương tính". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A) = 0,01$ (tỉ lệ mắc trong dân số).

b)$P(B \mid \bar A) = 0,04$ (xác suất dương tính giả).

c)$P(B) = 0,0096$.

d)$P(\bar B \mid \bar A) = 0,96$ (độ đặc hiệu).

23. 4 ý: P người đầu, người đầu cao nhất (sai), người cuối cao nhất (sai), mọi người bằng nhau (đúng)Đúng / Sai`tf_sequential_draw_position_fair`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 76.Có $28$ lá thăm, trong đó $4$ lá thăm trúng, còn lại trượt. Lần lượt từng thành viên được gọi lên bốc 1 lá thăm (KHÔNG hoàn lại, không ai biết kết quả của người trước). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì người đầu có thể "hớt" mất vật trúng nên người rút sau thiệt thòi hơn.

b)$P(\text{thành viên đầu tiên rút được lá thăm trúng}) = \dfrac{1}{7}$.

c)Thành viên đầu tiên có xác suất trúng CAO NHẤT.

d)Mọi thành viên đều có xác suất rút được lá thăm trúng bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{7}$.

Câu 77.Có $28$ vé số, trong đó $7$ vé số trúng thưởng, còn lại không trúng. Lần lượt từng người được gọi lên mua 1 vé số (KHÔNG hoàn lại, không ai biết kết quả của người trước). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{người thứ 2 rút được vé số trúng thưởng}) = \dfrac{1}{4}$.

b)Mọi người đều có xác suất rút được vé số trúng thưởng bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{4}$.

c)$P(\text{người thứ 2 trúng} \mid \text{người thứ 1 trượt}) = \dfrac{7}{27}$.

d)Người cuối cùng có xác suất trúng CAO NHẤT.

Câu 78.Có $35$ vé số, trong đó $5$ vé số trúng thưởng, còn lại không trúng. Lần lượt từng người được gọi lên mua 1 vé số (KHÔNG hoàn lại, không ai biết kết quả của người trước). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{người thứ 2 trúng} \mid \text{người thứ 1 trượt}) = \dfrac{5}{34}$.

b)$P(\text{người đầu tiên rút được vé số trúng thưởng}) = \dfrac{1}{7}$.

c)Người đầu tiên có xác suất trúng CAO NHẤT.

d)$P(\text{người thứ 4 rút được vé số trúng thưởng}) = \dfrac{1}{7}$.

24. Người 2 rút 2-3 vật; có ý 'ít nhất 1 loại X' ở lượt 2 (qua biến cố bù)Đúng / Sai`tf_sequential_draw_two_people_bayes`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 79.Trong một chiếc giỏ có $8$ thẻ màu xanh và $8$ thẻ màu vàng. Minh rút 1 tấm thẻ trước, sau đó Nam rút $3$ tấm thẻ (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng}) = \dfrac{9}{10}$.

b)$P(\text{Minh rút được thẻ màu xanh}) = \dfrac{1}{2}$.

c)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam rút được ÍT NHẤT 1 thẻ màu vàng trong $3$ tấm thẻ là $\dfrac{12}{13}$.

d)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng là $\dfrac{1}{13}$.

Câu 80.Trong một chiếc giỏ có $6$ thẻ màu xanh và $6$ thẻ màu vàng. Minh rút 1 tấm thẻ trước, sau đó Nam rút $2$ tấm thẻ (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng}) = \dfrac{17}{22}$.

b)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam rút được ÍT NHẤT 1 thẻ màu vàng trong $2$ tấm thẻ là $\dfrac{9}{11}$.

c)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng là $\dfrac{2}{11}$.

d)$P(\text{Minh rút được thẻ màu xanh}) = \dfrac{6}{11}$.

Câu 81.Trong một chiếc giỏ có $14$ thẻ màu xanh và $14$ thẻ màu vàng. Minh rút 1 tấm thẻ trước, sau đó Nam rút $2$ tấm thẻ (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam rút $2$ tấm thẻ mà KHÔNG có thẻ màu vàng nào là $\dfrac{2}{9}$.

b)$P(\text{Minh rút được thẻ màu vàng}) = \dfrac{1}{2}$.

c)$P(\text{Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng}) = \dfrac{41}{54}$.

d)Sau khi Minh được thẻ màu xanh, xác suất Nam có ít nhất 1 thẻ màu vàng là $\dfrac{2}{9}$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 82.Trong một hộp có $10$ phong bì có quà và $10$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì trước, sau đó Tú chọn $2$ phong bì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Mai chọn được phong bì có quà}) = \dfrac{10}{19}$.

b)Sau khi Mai được phong bì có quà, xác suất Tú chọn được ÍT NHẤT 1 phong bì rỗng trong $2$ phong bì là $\dfrac{15}{19}$.

c)$P(\text{Tú có ít nhất 1 phong bì rỗng}) = \dfrac{15}{19}$.

d)$P(\text{Mai chọn được phong bì có quà}) = \dfrac{1}{2}$.

Câu 83.Trong một hộp có $12$ bi xanh và $6$ bi đỏ. Hùng lấy 1 viên bi trước, sau đó Lan lấy $3$ viên bi (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Lan có ít nhất 1 bi đỏ}) = \dfrac{149}{204}$.

b)$P(\text{Hùng lấy được bi xanh}) = \dfrac{12}{17}$.

c)$P(\text{Hùng lấy được bi đỏ}) = \dfrac{1}{3}$.

d)$P(\text{Hùng lấy được bi xanh}) = \dfrac{2}{3}$.

Câu 84.Trong một hộp có $10$ bi xanh và $6$ bi đỏ. Hùng lấy 1 viên bi trước, sau đó Lan lấy $2$ viên bi (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Lan có ít nhất 1 bi đỏ}) = \dfrac{23}{35}$.

b)$P(\text{Lan có ít nhất 1 bi đỏ}) = \dfrac{5}{8}$.

c)$P(\text{Hùng lấy được bi xanh}) = \dfrac{2}{3}$.

d)$P(\text{Hùng lấy được bi xanh}) = \dfrac{5}{8}$.

25. TF (phân hoạch 2 nhóm tuổi × chọn 1 trong 3 gói) — Bayes + lặp BernoulliĐúng / Sai`tf_three_package_age_partition_bayes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 85.Một phòng tập gym cung cấp $3$ loại thẻ thành viên bao gồm gói "Tiêu chuẩn", gói "Bạc", gói "Vàng". Mỗi hội viên chỉ được chọn một trong ba loại thẻ trên. Theo thống kê của hệ thống: có $65\%$ số hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống. Trong số những hội viên từ 40 tuổi trở xuống, có $20\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $30\%$ người chọn gói Bạc và $50\%$ người chọn gói Vàng. Trong số những hội viên trên 40 tuổi, có $30\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $50\%$ người chọn gói Bạc và $20\%$ người chọn gói Vàng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Cần chọn ngẫu nhiên ít nhất $10$ hội viên để xác suất có ít nhất một người trên 40 tuổi lớn hơn $99\%$.

b)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống và có đăng ký gói Vàng bằng $0,325$.

c)$P(\text{người trên 40 tuổi} \mid \text{gói Vàng}) = 0,2$ (bằng tỉ lệ chọn gói Vàng trong nhóm người trên 40 tuổi).

d)Xác suất để một hội viên chọn gói Vàng bằng $0,395$.

Câu 86.Một phòng tập gym cung cấp $3$ loại thẻ thành viên bao gồm gói "Tiêu chuẩn", gói "Bạc", gói "Vàng". Mỗi hội viên chỉ được chọn một trong ba loại thẻ trên. Theo thống kê của hệ thống: có $70\%$ số hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống. Trong số những hội viên từ 40 tuổi trở xuống, có $20\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $30\%$ người chọn gói Bạc và $50\%$ người chọn gói Vàng. Trong số những hội viên trên 40 tuổi, có $25\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $25\%$ người chọn gói Bạc và $50\%$ người chọn gói Vàng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nếu chọn ngẫu nhiên một hội viên và biết người đó đăng ký gói Vàng, xác suất để hội viên đó trên 40 tuổi lớn hơn $15\%$.

b)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người trên 40 tuổi bằng $0,3$.

c)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống và có đăng ký gói Vàng bằng $0,35$.

d)$P(\text{người trên 40 tuổi} \mid \text{gói Vàng}) = 0,5$ (bằng tỉ lệ chọn gói Vàng trong nhóm người trên 40 tuổi).

Câu 87.Một phòng tập gym cung cấp $3$ loại thẻ thành viên bao gồm gói "Tiêu chuẩn", gói "Bạc", gói "Vàng". Mỗi hội viên chỉ được chọn một trong ba loại thẻ trên. Theo thống kê của hệ thống: có $65\%$ số hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống. Trong số những hội viên từ 40 tuổi trở xuống, có $20\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $30\%$ người chọn gói Bạc và $50\%$ người chọn gói Vàng. Trong số những hội viên trên 40 tuổi, có $40\%$ người chọn gói Tiêu chuẩn, $40\%$ người chọn gói Bạc và $20\%$ người chọn gói Vàng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống và có đăng ký gói Vàng bằng $0,325$.

b)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người trên 40 tuổi bằng $0,35$.

c)Xác suất để chọn ngẫu nhiên một hội viên là người từ 40 tuổi trở xuống bằng $0,65$.

d)$P(\text{người trên 40 tuổi} \mid \text{gói Vàng}) = 0,2$ (bằng tỉ lệ chọn gói Vàng trong nhóm người trên 40 tuổi).

26. TF (chuyển 1 vật hộp I→hộp II rồi rút 1 từ hộp II) — điều kiện + BayesĐúng / Sai`tf_transfer_ball_two_boxes_bayes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 88.Có $2$ hộp đựng các viên bi. Hộp I đựng $4$ viên bi xanh và $2$ viên bi đỏ; hộp II đựng $3$ viên bi xanh và $1$ viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp II. Gọi $A$ là biến cố "lấy được viên bi xanh từ hộp I" và $B$ là biến cố "lấy được viên bi xanh từ hộp II". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(\overline{B} \mid A) = \dfrac{1}{2}$

b)$P(B) = \dfrac{11}{15}$ (xác suất lấy được viên bi xanh từ hộp II).

c)$P(B \mid A) = \dfrac{4}{5}$

d)$P(B \mid \overline{A}) = \dfrac{2}{5}$

Câu 89.Có $2$ hộp đựng các tấm thẻ. Hộp I đựng $5$ tấm thẻ đỏ và $3$ tấm thẻ vàng; hộp II đựng $6$ tấm thẻ đỏ và $1$ tấm thẻ vàng. Lấy ngẫu nhiên $1$ tấm thẻ từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên $1$ tấm thẻ từ hộp II. Gọi $A$ là biến cố "lấy được tấm thẻ đỏ từ hộp I" và $B$ là biến cố "lấy được tấm thẻ đỏ từ hộp II". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(\overline{A}) = \dfrac{3}{8}$

b)$P(B \mid A) = P(B \mid \overline{A})$ (việc chuyển tấm thẻ màu nào sang hộp II không ảnh hưởng).

c)$P(A) = \dfrac{5}{8}$

d)$P(B \mid A) = \dfrac{7}{8}$

Câu 90.Có $2$ hộp đựng các viên bi. Hộp I đựng $3$ viên bi xanh và $3$ viên bi đỏ; hộp II đựng $6$ viên bi xanh và $1$ viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp II. Gọi $A$ là biến cố "lấy được viên bi xanh từ hộp I" và $B$ là biến cố "lấy được viên bi xanh từ hộp II". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(B \mid \overline{A}) = \dfrac{1}{4}$

b)$P(A \mid \overline{B}) = \dfrac{1}{3}$

c)$P(B \mid A) = P(B \mid \overline{A})$ (việc chuyển viên bi màu nào sang hộp II không ảnh hưởng).

d)$P(B) = \dfrac{13}{16}$ (xác suất lấy được viên bi xanh từ hộp II).

27. 4 ý: P lượt 1, P(lượt 2|lượt 1), P(lượt 2) toàn phần, Bayes lượt1|lượt2Đúng / Sai`tf_two_draw_no_replace_conditional`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 91.Trong một chiếc giỏ có $9$ thẻ màu xanh và $17$ thẻ màu vàng. Minh rút 1 tấm thẻ, sau đó Nam rút 1 tấm thẻ (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Nam được thẻ màu vàng} \mid \text{Minh được thẻ màu xanh}) = \dfrac{17}{26}$.

b)$P(\text{Nam được thẻ màu vàng}) = \dfrac{17}{25}$.

c)$P(\text{Minh rút được thẻ màu xanh}) = \dfrac{9}{26}$.

d)$P(\text{Nam được thẻ màu vàng}) = \dfrac{17}{26}$.

Câu 92.Trong một hộp có $19$ phong bì có quà và $19$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì, sau đó Tú chọn 1 phong bì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Mai chọn được phong bì rỗng}) = \dfrac{1}{2}$.

b)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{19}{37}$.

c)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{1}{2}$.

d)$P(\text{Mai chọn được phong bì có quà}) = \dfrac{1}{2}$.

Câu 93.Trong một hộp có $18$ phong bì có quà và $18$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì, sau đó Tú chọn 1 phong bì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Mai chọn được phong bì có quà}) = \dfrac{1}{2}$.

b)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{1}{2}$.

c)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{18}{35}$.

d)$P(\text{Mai chọn được phong bì rỗng}) = \dfrac{1}{2}$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 94.Trong một hộp có $20$ phong bì có quà và $10$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì, sau đó Tú chọn 1 phong bì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Mai được phong bì có quà} \mid \text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{10}{29}$.

b)$P(\text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{10}{29}$.

c)$P(\text{Mai được phong bì có quà} \mid \text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{20}{29}$.

d)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{10}{29}$.

Câu 95.Trong một chiếc giỏ có $20$ thẻ màu xanh và $14$ thẻ màu vàng. Minh rút 1 tấm thẻ, sau đó Nam rút 1 tấm thẻ (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Nam được thẻ màu vàng}) = \dfrac{14}{33}$.

b)$P(\text{Nam được thẻ màu vàng}) = \dfrac{7}{17}$.

c)$P(\text{Minh rút được thẻ màu vàng}) = \dfrac{7}{17}$.

d)$P(\text{Minh được thẻ màu xanh} \mid \text{Nam được thẻ màu vàng}) = \dfrac{14}{33}$.

Câu 96.Trong một hộp có $16$ phong bì có quà và $8$ phong bì rỗng. Mai chọn 1 phong bì, sau đó Tú chọn 1 phong bì (KHÔNG hoàn lại). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{8}{23}$.

b)$P(\text{Mai được phong bì có quà} \mid \text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{16}{23}$.

c)$P(\text{Tú được phong bì rỗng} \mid \text{Mai được phong bì có quà}) = \dfrac{8}{23}$.

d)$P(\text{Tú được phong bì rỗng}) = \dfrac{1}{3}$.

28. Nhấn xác suất GIAO $P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A|B_i)$ và BÙ $P(\bar A|B_i)=1-r_i$Đúng / Sai`tf_two_group_intersection_complement`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 97.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $55\%$ với tỉ lệ lỗi $10\%$; phân xưởng II chiếm $45\%$ với tỉ lệ lỗi $2\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,064$.

b)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,055$.

c)Xác suất một sản phẩm thuộc phân xưởng I mà KHÔNG lỗi là $P(\bar A\mid B_1)=0,9$.

d)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,1$.

Câu 98.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $70\%$ với tỉ lệ lỗi $10\%$; phân xưởng II chiếm $30\%$ với tỉ lệ lỗi $6\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,07$.

b)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,1$.

c)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng II}) = 0,018$.

d)Xác suất một sản phẩm thuộc phân xưởng I mà KHÔNG lỗi là $P(\bar A\mid B_1)=0,9$.

Câu 99.Một tổng thể gồm hai nhóm: phác đồ A chiếm $60\%$ với tỉ lệ gặp tác dụng phụ $8\%$; phác đồ B chiếm $40\%$ với tỉ lệ gặp tác dụng phụ $10\%$. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong nhóm điều trị. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "thuộc phác đồ A", "thuộc phác đồ B" và $A$ là "bệnh nhân gặp tác dụng phụ". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{bệnh nhân gặp tác dụng phụ và là bệnh nhân dùng phác đồ A}) = 0,048$.

b)$P(\text{bệnh nhân gặp tác dụng phụ và là bệnh nhân dùng phác đồ B}) = 0,04$.

c)$P(\text{bệnh nhân gặp tác dụng phụ}) = 0,048$.

d)$P(\bar A\mid B_1) = 0,08$.

29. Hai nhóm phân hoạch — 4 ý kinh điển: tiên nghiệm, giao, toàn phần, BayesĐúng / Sai`tf_two_group_total_bayes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 100.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $60\%$ với tỉ lệ lỗi là $2\%$; phân xưởng II chiếm $40\%$ với tỉ lệ lỗi là $5\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ lần lượt là biến cố "sản phẩm thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là biến cố "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,0192$.

b)$P(\text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,032$.

c)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}\mid \text{sản phẩm bị lỗi}) = \dfrac{3}{8}$.

d)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,6$.

Câu 101.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $45\%$ với tỉ lệ lỗi là $2\%$; phân xưởng II chiếm $55\%$ với tỉ lệ lỗi là $12\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ lần lượt là biến cố "sản phẩm thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là biến cố "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,075$.

b)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,009$.

c)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}\mid \text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,02$.

d)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,03375$.

Câu 102.Một tổng thể gồm hai nhóm: kho hàng X chiếm $30\%$ với tỉ lệ hỏng là $6\%$; kho hàng Y chiếm $70\%$ với tỉ lệ hỏng là $10\%$. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng. Gọi $B_1, B_2$ lần lượt là biến cố "kiện hàng thuộc kho hàng X", "thuộc kho hàng Y" và $A$ là biến cố "kiện hàng bị hỏng". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{kiện hàng bị hỏng và là kiện hàng ở kho X}) = 0,0264$.

b)$P(\text{kiện hàng ở kho X}) = 0,7$.

c)$P(\text{kiện hàng ở kho X}\mid \text{kiện hàng bị hỏng}) = 0,06$.

d)$P(\text{kiện hàng bị hỏng}) = 0,088$.

30. TF (hai phác đồ điều trị — phân hoạch theo tỉ lệ chỉ định + tác dụng phụ)Đúng / Sai`tf_two_protocol_side_effect_total_bayes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 103.Tại một trang trại dùng hai loại vắc-xin $A$ và $B$. Có $60\%$ số con vật được tiêm loại vắc-xin $A$ và phần còn lại được tiêm loại vắc-xin $B$. Tỉ lệ con vật có phản ứng phụ khi được tiêm loại vắc-xin $A$ và loại vắc-xin $B$ lần lượt là $0,05$ và $0,02$ (tức $5\%$ và $2\%$). Chọn ngẫu nhiên một con vật. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu một con vật có phản ứng phụ thì xác suất con vật đó được tiêm loại vắc-xin $A$ là $\dfrac{4}{19}$.

b)Nếu một con vật có phản ứng phụ thì xác suất con vật đó được tiêm loại vắc-xin $A$ là $\dfrac{15}{19}$.

c)Xác suất để một con vật bất kì KHÔNG có phản ứng phụ là $0,05$.

d)Nếu một con vật được tiêm loại vắc-xin $A$ thì xác suất con vật đó KHÔNG có phản ứng phụ là $0,95$.

Câu 104.Tại một nhà máy dùng hai dây chuyền $A$ và $B$. Có $55\%$ số sản phẩm được sản xuất trên dây chuyền $A$ và phần còn lại được sản xuất trên dây chuyền $B$. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi khi được sản xuất trên dây chuyền $A$ và dây chuyền $B$ lần lượt là $0,08$ và $0,04$ (tức $8\%$ và $4\%$). Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất để một sản phẩm bất kì KHÔNG bị lỗi là $0,08$.

b)Nếu một sản phẩm được sản xuất trên dây chuyền $A$ thì xác suất sản phẩm đó KHÔNG bị lỗi là $0,92$.

c)Nếu một sản phẩm bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó được sản xuất trên dây chuyền $A$ là $\dfrac{9}{31}$.

d)Xác suất để một sản phẩm bị lỗi và được sản xuất trên dây chuyền $B$ là $0,018$.

Câu 105.Tại một trang trại dùng hai loại vắc-xin $A$ và $B$. Có $55\%$ số con vật được tiêm loại vắc-xin $A$ và phần còn lại được tiêm loại vắc-xin $B$. Tỉ lệ con vật có phản ứng phụ khi được tiêm loại vắc-xin $A$ và loại vắc-xin $B$ lần lượt là $0,08$ và $0,03$ (tức $8\%$ và $3\%$). Chọn ngẫu nhiên một con vật. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất để một con vật bất kì có phản ứng phụ là $0,0575$.

b)Xác suất để một con vật bất kì KHÔNG có phản ứng phụ là $0,08$.

c)Nếu một con vật được tiêm loại vắc-xin $A$ thì xác suất con vật đó KHÔNG có phản ứng phụ là $0,92$.

d)Xác suất để một con vật có phản ứng phụ và được tiêm loại vắc-xin $B$ là $0,0135$.

31. Ý (d) đổi thành SO SÁNH hai hậu nghiệm $P(B_1|A)$ vs $P(B_2|A)$ (và với 0,5)Đúng / Sai`tf_two_source_posterior_compare`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 106.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $40\%$ với tỉ lệ lỗi $2\%$; phân xưởng II chiếm $60\%$ với tỉ lệ lỗi $8\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "sản phẩm thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,0224$.

b)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}\mid \text{sản phẩm bị lỗi}) > P(\text{sản phẩm của phân xưởng II}\mid \text{sản phẩm bị lỗi})$.

c)Khi đã biết đối tượng lỗi, khả năng thuộc phân xưởng I và khả năng thuộc phân xưởng II là như nhau.

d)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng II}) = 0,6$.

Câu 107.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $40\%$ với tỉ lệ lỗi $3\%$; phân xưởng II chiếm $60\%$ với tỉ lệ lỗi $8\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "sản phẩm thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng II}) = 0,6$.

b)$P(\text{sản phẩm bị lỗi}) = 0,055$.

c)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,4$.

d)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}\mid \text{sản phẩm bị lỗi}) > 0{,}5$.

Câu 108.Một tổng thể gồm hai nhóm: phân xưởng I chiếm $40\%$ với tỉ lệ lỗi $3\%$; phân xưởng II chiếm $60\%$ với tỉ lệ lỗi $6\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho. Gọi $B_1, B_2$ là biến cố "sản phẩm thuộc phân xưởng I", "thuộc phân xưởng II" và $A$ là "sản phẩm bị lỗi". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,4$.

b)$P(\text{sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,6$.

c)$P(\text{sản phẩm bị lỗi và là sản phẩm của phân xưởng I}) = 0,0192$.

d)Khi đã biết đối tượng lỗi, khả năng thuộc phân xưởng I và khả năng thuộc phân xưởng II là như nhau.

32. TF (rút bi hai giai đoạn, SỐ LƯỢNG lượt 2 phụ thuộc màu lượt 1)Đúng / Sai`tf_two_stage_variable_draw_size_bayes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 109.Một hộp chứa $13$ quả bóng màu trắng và $16$ quả bóng màu đen (các quả bóng cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn An lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp và không trả lại. Nếu bạn An lấy được quả bóng màu trắng thì bạn Bình lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp; nếu bạn An lấy được quả bóng màu đen thì bạn Bình lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả bóng từ số bóng còn lại. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu bạn An lấy được bóng màu trắng thì xác suất bạn Bình lấy được ít nhất một quả bóng màu đen là $\dfrac{764}{819}$.

b)Xác suất bạn An lấy được quả bóng màu trắng là $\dfrac{13}{29}$.

c)Biết rằng trong số các quả bóng bạn An và Bình đã lấy ra có đủ cả màu trắng và màu đen, xác suất để bạn An lấy được bóng màu trắng là $\dfrac{191}{408}$.

d)Xác suất bạn An lấy được quả bóng màu trắng là $\dfrac{3001}{4095}$.

Câu 110.Một hộp chứa $11$ quả bóng màu xanh và $16$ quả bóng màu đỏ (các quả bóng cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn Bắc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp và không trả lại. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp; nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu đỏ thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ quả bóng từ số bóng còn lại. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{43}{65}$.

b)Xác suất bạn Bắc lấy được bóng màu đỏ là $\dfrac{16}{27}$.

c)Biết rằng trong số các quả bóng bạn Bắc và Ninh đã lấy ra có đủ cả màu xanh và màu đỏ, xác suất để bạn Bắc lấy được bóng màu xanh là $\dfrac{7}{15}$.

d)Xác suất bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{11}{27}$.

Câu 111.Một hộp chứa $12$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ (các quả bóng cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn Bắc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp và không trả lại. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp; nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu đỏ thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả bóng từ số bóng còn lại. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu bạn Bắc lấy được bóng màu xanh thì xác suất bạn Ninh lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ là $\dfrac{487}{520}$.

b)Xác suất bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{4}{9}$.

c)Nếu bạn Bắc lấy được bóng màu đỏ thì xác suất bạn Ninh lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh là $\dfrac{487}{520}$.

d)Xác suất bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{383}{520}$.

33. MODE B: cho P(Ā|B̄), P(B̄|Ā), P(A∩B), tính P(ít nhất một biến cố)Trả lời ngắn`at_least_one_from_cross_conditional_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 112.Tại một vùng, xét hai xã trong một ngày. Gọi $A$ là biến cố "xã thứ nhất có mưa", $B$ là biến cố "xã thứ hai có mưa". Biết $P(\overline{A} \mid \overline{B}) = 0,10$, $P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 0,15$ và $P(A \cap B) = 0,50$. Tính xác suất ít nhất một trong hai xã có mưa (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 113.Một hệ thống có hai linh kiện hoạt động trong một ca. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện thứ nhất gặp sự cố", $B$ là biến cố "linh kiện thứ hai gặp sự cố". Biết $P(\overline{A} \mid \overline{B}) = 0,30$, $P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 0,35$ và $P(A \cap B) = 0,30$. Tính xác suất ít nhất một linh kiện gặp sự cố (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 114.Tại một vùng, xét hai xã trong một ngày. Gọi $A$ là biến cố "xã thứ nhất có mưa", $B$ là biến cố "xã thứ hai có mưa". Biết $P(\overline{A} \mid \overline{B}) = 0,30$, $P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 0,30$ và $P(A \cap B) = 0,30$. Tính xác suất ít nhất một trong hai xã có mưa (làm tròn đến hàng phần trăm).

34. 2 xưởng in (share %, tỉ lệ ĐẠT %); thấy sách KHÔNG đạt → P(do xưởng k | không đạt)Trả lời ngắn`bayes_defect_source_percent_tenths_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 115.Sách "Ôn tập thi THPT 2026" được in tại hai phân xưởng $A$ và $B$ rồi vận chuyển về kho. Xưởng $A$ in $70\%$ tổng số lượng, xưởng $B$ in số lượng còn lại. Số lượng cuốn sách của xưởng $A$ và $B$ đạt yêu cầu chất lượng lần lượt là $96\%$ và $90\%$. Nhân viên kiểm kho chọn ngẫu nhiên một cuốn sách để kiểm tra thì thấy cuốn sách này không đạt yêu cầu chất lượng. Xác suất để cuốn sách đó được in ở xưởng $B$ là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Câu 116.Một lô linh kiện được sản xuất tại hai dây chuyền $I$ và $II$ rồi vận chuyển về kho. Xưởng $I$ sản xuất $55\%$ tổng số lượng, xưởng $II$ sản xuất số lượng còn lại. Số lượng linh kiện của xưởng $I$ và $II$ đạt chuẩn kĩ thuật lần lượt là $96\%$ và $88\%$. Nhân viên kiểm kho chọn ngẫu nhiên một linh kiện để kiểm tra thì thấy linh kiện này không đạt chuẩn kĩ thuật. Xác suất để linh kiện đó được sản xuất ở xưởng $I$ là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Câu 117.Sách "Ôn tập thi THPT 2026" được in tại hai phân xưởng $A$ và $B$ rồi vận chuyển về kho. Xưởng $A$ in $65\%$ tổng số lượng, xưởng $B$ in số lượng còn lại. Số lượng cuốn sách của xưởng $A$ và $B$ đạt yêu cầu chất lượng lần lượt là $96\%$ và $88\%$. Nhân viên kiểm kho chọn ngẫu nhiên một cuốn sách để kiểm tra thì thấy cuốn sách này không đạt yêu cầu chất lượng. Xác suất để cuốn sách đó được in ở xưởng $B$ là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

35. Hai nhóm sĩ số n1/n2; chọn 1 cá thể, thấy thành công → P(thuộc nhóm k | thành công)Trả lời ngắn`bayes_posterior_headcount_priors_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 118.Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có $6$ vận động viên, đội II có $9$ vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II lần lượt là $0,79$ và $0,50$. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 119.Hai tổ kĩ thuật cùng tham gia một kì sát hạch. Tổ 1 có $5$ kĩ thuật viên, tổ 2 có $8$ kĩ thuật viên. Xác suất đạt chứng chỉ của mỗi kĩ thuật viên tổ 1 và tổ 2 lần lượt là $0,66$ và $0,57$. Chọn ngẫu nhiên một kĩ thuật viên. Giả sử kĩ thuật viên được chọn đạt chứng chỉ. Xác suất để kĩ thuật viên này thuộc tổ 1 là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 120.Một câu lạc bộ cờ vua có hai nhóm tuyển thủ. Nhóm A có $6$ tuyển thủ, nhóm B có $4$ tuyển thủ. Xác suất thắng ván đấu của mỗi tuyển thủ nhóm A và nhóm B lần lượt là $0,55$ và $0,64$. Chọn ngẫu nhiên một tuyển thủ. Giả sử tuyển thủ được chọn thắng ván đấu. Xác suất để tuyển thủ này thuộc nhóm A là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

36. 2-3 nguồn: thấy biến cố A, tính P(do nguồn k | A) theo %Trả lời ngắn`bayes_posterior_source_given_event_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 121.Một siêu thị nhập linh kiện từ ba nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 45\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 7\%; nhà cung cấp Y chiếm 15\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 7\%; nhà cung cấp Z chiếm 40\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 11\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp X (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 122.Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 65\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 8\%; phân xưởng II làm ra 35\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 7\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng I (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 123.Một siêu thị nhập linh kiện từ ba nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 15\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 6\%; nhà cung cấp Y chiếm 50\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 8\%; nhà cung cấp Z chiếm 35\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 7\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp X (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

37. Cùng cấu trúc nhưng hỏi P(nguồn k | Ā) — đảo biến cố sang 'đạt yêu cầu'Trả lời ngắn`bayes_posterior_swap_source_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 124.Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 35\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 9\%; phân xưởng II làm ra 35\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 8\%; phân xưởng III làm ra 30\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 4\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải phế phẩm). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng I (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 125.Một công ty nhập trứng từ ba trại chăn nuôi: trại I cung cấp 30\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 12\%; trại II cung cấp 35\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 12\%; trại III cung cấp 35\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 2\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải trứng hỏng). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại I (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 126.Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 40\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 5\%; phân xưởng II làm ra 35\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 9\%; phân xưởng III làm ra 25\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 2\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải phế phẩm). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng I (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

38. Tỉ lệ rủi ro gấp m lần: r2 = m·r1, tính P(nhóm phơi nhiễm | đã xảy ra biến cố)Trả lời ngắn`bayes_risk_ratio_posterior_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 127.Trong một nghiên cứu y tế, dân số được chia thành hai nhóm: nhóm không phơi nhiễm chiếm 75\% và nhóm phơi nhiễm chiếm 25\%. Tỉ lệ mắc bệnh ở nhóm không phơi nhiễm là 4\%, còn ở nhóm phơi nhiễm cao gấp 3 lần. Chọn ngẫu nhiên một người thì thấy người đó mắc bệnh. Tính xác suất người đó thuộc nhóm phơi nhiễm (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 128.Trong một nghiên cứu y tế, dân số được chia thành hai nhóm: nhóm không phơi nhiễm chiếm 70\% và nhóm phơi nhiễm chiếm 30\%. Tỉ lệ mắc bệnh ở nhóm không phơi nhiễm là 4\%, còn ở nhóm phơi nhiễm cao gấp 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một người thì thấy người đó mắc bệnh. Tính xác suất người đó thuộc nhóm phơi nhiễm (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 129.Trong một nghiên cứu y tế, dân số được chia thành hai nhóm: nhóm không phơi nhiễm chiếm 55\% và nhóm phơi nhiễm chiếm 45\%. Tỉ lệ mắc bệnh ở nhóm không phơi nhiễm là 2\%, còn ở nhóm phơi nhiễm cao gấp 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một người thì thấy người đó mắc bệnh. Tính xác suất người đó thuộc nhóm phơi nhiễm (kết quả theo phần trăm, làm tròn đến hàng đơn vị).

39. Đảo biến cố: thấy sản phẩm ĐẠT yêu cầu (không lỗi), tính P(do nguồn k | đạt)Trả lời ngắn`bayes_source_given_complement_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 130.Một siêu thị nhập linh kiện từ hai nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 30\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 6\%; nhà cung cấp Y chiếm 70\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 12\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải linh kiện lỗi). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp Y (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 131.Một xưởng in dùng hai máy in: máy A in 30\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 2\%; máy B in 70\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 9\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải bản in hỏng). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc máy A (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 132.Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 45\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 11\%; phân xưởng II làm ra 55\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 5\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải phế phẩm). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng I (làm tròn đến hàng phần trăm).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 133.Một xưởng in dùng hai máy in: máy A in 30\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 7\%; máy B in 70\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 3\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải bản in hỏng). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc máy A (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 134.Một công ty nhập trứng từ hai trại chăn nuôi: trại I cung cấp 70\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 11\%; trại II cung cấp 30\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 3\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải trứng hỏng). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại I (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 135.Một xưởng in dùng hai máy in: máy A in 30\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 5\%; máy B in 70\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 9\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó đạt yêu cầu (không phải bản in hỏng). Tính xác suất sản phẩm đó thuộc máy A (làm tròn đến hàng phần trăm).

40. 2 nguồn: thấy biến cố lỗi/hỏng, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_source_given_result_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 136.Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 60\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 12\%; phân xưởng II làm ra 40\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 11\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng II (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 137.Một siêu thị nhập linh kiện từ hai nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 45\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 8\%; nhà cung cấp Y chiếm 55\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 6\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp Y (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 138.Một siêu thị nhập linh kiện từ hai nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 70\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 2\%; nhà cung cấp Y chiếm 30\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 5\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp X (làm tròn đến hàng phần trăm).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 139.Một công ty nhập trứng từ hai trại chăn nuôi: trại I cung cấp 45\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 11\%; trại II cung cấp 55\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 8\%. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại II (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 140.Một công ty nhập trứng từ hai trại chăn nuôi: trại I cung cấp 45\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 8\%; trại II cung cấp 55\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 11\%. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại I (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 141.Một xưởng in dùng hai máy in: máy A in 35\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 12\%; máy B in 65\% số sách với tỉ lệ bản in hỏng là 4\%. Chọn ngẫu nhiên một cuốn sách thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc máy B (làm tròn đến hàng phần trăm).

41. 3 nguồn A/B/C: thấy biến cố lỗi, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_three_source_posterior_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 142.Một siêu thị nhập linh kiện từ ba nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 60\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 6\%; nhà cung cấp Y chiếm 25\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 3\%; nhà cung cấp Z chiếm 15\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 5\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp Y (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 143.Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 30\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 10\%; phân xưởng II làm ra 50\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 3\%; phân xưởng III làm ra 20\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 11\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng II (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 144.Một công ty nhập trứng từ ba trại chăn nuôi: trại I cung cấp 35\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 10\%; trại II cung cấp 35\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 2\%; trại III cung cấp 30\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 2\%. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại II (làm tròn đến hàng phần trăm).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 145.Một công ty nhập trứng từ ba trại chăn nuôi: trại I cung cấp 40\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 5\%; trại II cung cấp 15\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 8\%; trại III cung cấp 45\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 9\%. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc trại I (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 146.Một siêu thị nhập linh kiện từ ba nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 45\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 1\%; nhà cung cấp Y chiếm 40\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 6\%; nhà cung cấp Z chiếm 15\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 5\%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc nhà cung cấp Z (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 147.Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 20\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 5\%; phân xưởng II làm ra 55\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 5\%; phân xưởng III làm ra 25\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 4\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc phân xưởng I (làm tròn đến hàng phần trăm).

42. Hỏi P(A) bằng công thức xác suất toàn phần — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_total_probability_value_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 148.Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm: phân xưởng I làm ra 40\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 12\%; phân xưởng II làm ra 60\% tổng sản phẩm trong đó tỉ lệ phế phẩm là 8\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là phế phẩm (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 149.Một công ty nhập trứng từ hai trại chăn nuôi: trại I cung cấp 55\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 7\%; trại II cung cấp 45\% số trứng trong đó tỉ lệ trứng hỏng là 1\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là trứng hỏng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 150.Một siêu thị nhập linh kiện từ hai nhà cung cấp: nhà cung cấp X chiếm 40\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 2\%; nhà cung cấp Y chiếm 60\% lượng hàng với tỉ lệ linh kiện lỗi là 2\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là linh kiện lỗi (làm tròn đến hàng phần trăm).

43. MODE A: chuyển 1 bi I->II, lấy m bi ở II thấy >=1 đỏ, tính P(bi chuyển là đỏ | quan sát)Trả lời ngắn`bayes_transfer_ball_posterior_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 151.Hộp I có 6 bi đỏ và 5 bi vàng, hộp II có 6 bi đỏ và 7 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên hai bi từ hộp II thì thấy trong hai bi đó có ít nhất một bi đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 152.Hộp I có 3 bi đỏ và 3 bi vàng, hộp II có 5 bi đỏ và 7 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp II thì thấy bi đó màu đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 153.Hộp I có 5 bi đỏ và 2 bi vàng, hộp II có 2 bi đỏ và 5 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp II thì thấy bi đó màu đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

44. Chuyển 1 bi I→II, lấy 2 bi ở II thấy ≥1 đỏ, tìm P(bi đã chuyển là đỏ)Trả lời ngắn`bayes_transfer_ball_two_boxes_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 154.Túi I có 5 bi đỏ và 3 bi xanh, túi II có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ túi I sang túi II, sau đó lấy ngẫu nhiên hai bi từ túi II thì thấy trong hai bi đó có ít nhất một bi đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 155.Hộp I có 7 bi đỏ và 2 bi vàng, hộp II có 4 bi đỏ và 7 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên hai bi từ hộp II thì thấy trong hai bi đó có ít nhất một bi đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 156.Túi I có 6 bi đỏ và 5 bi xanh, túi II có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ túi I sang túi II, sau đó lấy ngẫu nhiên hai bi từ túi II thì thấy trong hai bi đó có ít nhất một bi đỏ. Tính xác suất bi đã chuyển là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

45. Bi lượt 1 quyết định SỐ bi rút lượt 2; tìm P(lượt 1 màu đỏ | đủ 2 màu lượt 2)Trả lời ngắn`bayes_two_stage_dependent_draw_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 157.Hộp I có 7 bi đỏ và 4 bi vàng; hộp II có 3 bi đỏ và 6 bi vàng. Rút ngẫu nhiên một bi từ hộp I: nếu được bi đỏ thì rút tiếp hai bi từ hộp II, nếu được bi vàng thì rút tiếp ba bi từ hộp II. Kết quả lần rút ở hộp II có đủ cả hai màu. Tính xác suất bi rút ở hộp I là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 158.Túi I có 5 bi đỏ và 3 bi xanh; túi II có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Rút ngẫu nhiên một bi từ túi I: nếu được bi đỏ thì rút tiếp hai bi từ túi II, nếu được bi xanh thì rút tiếp ba bi từ túi II. Kết quả lần rút ở túi II có đủ cả hai màu. Tính xác suất bi rút ở túi I là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 159.Hộp I có 3 bi đỏ và 7 bi vàng; hộp II có 3 bi đỏ và 3 bi vàng. Rút ngẫu nhiên một bi từ hộp I: nếu được bi đỏ thì rút tiếp hai bi từ hộp II, nếu được bi vàng thì rút tiếp ba bi từ hộp II. Kết quả lần rút ở hộp II có đủ cả hai màu. Tính xác suất bi rút ở hộp I là bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

46. Cho P(thực sự xem) tổng + tỉ lệ nhóm mặc áo; GIẢI tìm tỉ lệ a% nhóm không mặc áoTrả lời ngắn`inverse_total_probability_unknown_rate_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 160.Trước thềm trận bóng đá giữa đội tuyển A và đội tuyển B, một đài truyền hình thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ, với $25\%$ số người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu của một trong hai đội. Kết quả khảo sát cho thấy $65\%$ số người được phỏng vấn trả lời sẽ xem, số người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $85\%$; trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự không xem là $88\%$. Biết rằng trong số những người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu, tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là $90\%$, gọi tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong số những người không mặc áo thi đấu là $a\%$. Tìm $a$ (kết quả $a$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 161.Trước thềm trận bóng đá giữa đội tuyển A và đội tuyển B, một đài truyền hình thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ, với $20\%$ số người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu của một trong hai đội. Kết quả khảo sát cho thấy $70\%$ số người được phỏng vấn trả lời sẽ xem, số người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $85\%$; trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự không xem là $88\%$. Biết rằng trong số những người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu, tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là $85\%$, gọi tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong số những người không mặc áo thi đấu là $a\%$. Tìm $a$ (kết quả $a$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 162.Trước thềm trận bóng đá giữa đội tuyển A và đội tuyển B, một đài truyền hình thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ, với $25\%$ số người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu của một trong hai đội. Kết quả khảo sát cho thấy $65\%$ số người được phỏng vấn trả lời sẽ xem, số người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $88\%$; trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự không xem là $85\%$. Biết rằng trong số những người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu, tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là $88\%$, gọi tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong số những người không mặc áo thi đấu là $a\%$. Tìm $a$ (kết quả $a$ làm tròn đến hàng đơn vị).

47. SA (Bayes tổ hợp — Minesweeper): Bảng $n\times n$ có $M$ mìn ẩn đều khả năng ở các ô CHƯA MỞTrả lời ngắn`minesweeper_center_mine_posterior_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 163.An chơi trò chơi Minesweeper (gỡ mìn) trên một bảng $9\times9$ ô vuông, trong đó có $30$ quả mìn được giấu ngẫu nhiên (đồng khả năng) ở các ô chưa mở. Nếu mở trúng ô chứa mìn thì An thua; nếu mở ô không có mìn thì ô đó hiện một số tự nhiên cho biết số mìn nằm trong $8$ ô kề nó (hai ô kề nhau nếu chung cạnh hoặc chung đỉnh). An đã mở an toàn hai ô: ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trung tâm, hai số hiện ra lần lượt là $5$ và $1$. Nếu ô tiếp theo An mở là ô trung tâm thì xác suất An thua là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 164.An chơi trò chơi Minesweeper (gỡ mìn) trên một bảng $9\times9$ ô vuông, trong đó có $28$ quả mìn được giấu ngẫu nhiên (đồng khả năng) ở các ô chưa mở. Nếu mở trúng ô chứa mìn thì An thua; nếu mở ô không có mìn thì ô đó hiện một số tự nhiên cho biết số mìn nằm trong $8$ ô kề nó (hai ô kề nhau nếu chung cạnh hoặc chung đỉnh). An đã mở an toàn hai ô: ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trung tâm, hai số hiện ra lần lượt là $5$ và $1$. Nếu ô tiếp theo An mở là ô trung tâm thì xác suất An thua là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 165.An chơi trò chơi Minesweeper (gỡ mìn) trên một bảng $9\times9$ ô vuông, trong đó có $28$ quả mìn được giấu ngẫu nhiên (đồng khả năng) ở các ô chưa mở. Nếu mở trúng ô chứa mìn thì An thua; nếu mở ô không có mìn thì ô đó hiện một số tự nhiên cho biết số mìn nằm trong $8$ ô kề nó (hai ô kề nhau nếu chung cạnh hoặc chung đỉnh). An đã mở an toàn hai ô: ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trung tâm, hai số hiện ra lần lượt là $3$ và $2$. Nếu ô tiếp theo An mở là ô trung tâm thì xác suất An thua là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

48. Tìm xác suất còn thiếu (số thập phân)Trả lời ngắn`missing_probability_value`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 166.Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X = 1) = \dfrac{2}{10}$; $P(X = 2) = \dfrac{3}{10}$; $P(X = 3) = \dfrac{2}{10}$, $P(X = 4) = p$. Tìm $p$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

49. Cây 3 vòng; biết ĐÃ BỊ LOẠI, tính P(bị loại ở vòng ≥ start | đã bị loại)Trả lời ngắn`multistage_elim_late_round_given_eliminated_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 167.Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau: - Xác suất vượt qua vòng 1 là $0,75$. - Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là $0,55$. - Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là $0,55$. Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 168.Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau: - Xác suất vượt qua vòng 1 là $0,85$. - Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là $0,55$. - Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là $0,65$. Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 169.Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau: - Xác suất vượt qua vòng 1 là $0,60$. - Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là $0,55$. - Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là $0,50$. Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

50. MODE C: P(bị loại ở vòng i | đã qua ít nhất vòng 1) trên cây vòng loại liên tiếpTrả lời ngắn`multistage_elimination_conditional_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 170.Một cuộc tuyển chọn gồm ba vòng liên tiếp. Xác suất một thí sinh qua vòng 1 là $0,70$; nếu đã qua vòng 1 thì xác suất qua vòng 2 là $0,50$; nếu đã qua cả hai vòng đầu thì xác suất qua vòng 3 là $0,65$. Biết một thí sinh đã qua vòng 1, tính xác suất thí sinh đó bị loại ở vòng 3 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 171.Một cuộc tuyển chọn gồm ba vòng liên tiếp. Xác suất một thí sinh qua vòng 1 là $0,60$; nếu đã qua vòng 1 thì xác suất qua vòng 2 là $0,60$; nếu đã qua cả hai vòng đầu thì xác suất qua vòng 3 là $0,75$. Biết một thí sinh đã qua vòng 1, tính xác suất thí sinh đó bị loại ở vòng 2 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 172.Một cuộc tuyển chọn gồm ba vòng liên tiếp. Xác suất một thí sinh qua vòng 1 là $0,65$; nếu đã qua vòng 1 thì xác suất qua vòng 2 là $0,50$; nếu đã qua cả hai vòng đầu thì xác suất qua vòng 3 là $0,70$. Biết một thí sinh đã qua vòng 1, tính xác suất thí sinh đó bị loại ở vòng 2 (làm tròn đến hàng phần trăm).

51. Số giá trị có thểTrả lời ngắn`number_of_possible_values_dice`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 173.Khi gieo 2 con xúc xắc, $X$ là tổng số chấm. $X$ nhận bao nhiêu giá trị?

52. SA (ba biến cố độc lập — giải hệ): Ba sự kiện độc lậpTrả lời ngắn`three_independent_events_solve_system_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 174.Xét ba xạ thủ độc lập cùng bắn vào bia I, II, III. Xác suất để hai xạ thủ I, II bắn trúng tương ứng là $a$ và $b$ (với $a > b$). Biết rằng xác suất để xạ thủ III bắn trúng là $0,75$, xác suất để ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng là $0,942$ và xác suất để cả ba xạ thủ cùng bắn trúng là $0,168$. Giả sử việc bắn trúng của ba xạ thủ là độc lập với nhau. Tính $3a + 2b$.

Câu 175.Xét một nhà máy lắp ba bộ phận độc lập A, B, C. Xác suất để hai bộ phận A, B hoạt động tốt tương ứng là $a$ và $b$ (với $a > b$). Biết rằng xác suất để bộ phận C hoạt động tốt là $0,6$, xác suất để ít nhất một trong ba bộ phận hoạt động tốt là $0,948$ và xác suất để cả ba bộ phận cùng hoạt động tốt là $0,216$. Giả sử việc hoạt động tốt của ba bộ phận là độc lập với nhau. Tính $3a + 2b$.

Câu 176.Xét một công ty xây dựng đấu thầu ba dự án X, Y, Z. Xác suất để hai dự án X, Y trúng thầu tương ứng là $a$ và $b$ (với $a > b$). Biết rằng xác suất để dự án Z trúng thầu là $0,8$, xác suất để ít nhất một trong ba dự án trúng thầu là $0,967$ và xác suất để cả ba dự án cùng trúng thầu là $0,252$. Giả sử việc trúng thầu của ba dự án là độc lập với nhau. Tính $a + 3b$.

53. Biến thể TOÀN PHẦN: chuyển 1 bi I→II rồi lấy 2 bi ở II, tính P(≥1 đỏ)Trả lời ngắn`total_prob_two_stage_event_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 177.Hộp I có 7 viên bi đỏ và 2 viên bi trắng, hộp II có 3 viên bi đỏ và 6 viên bi trắng. Chuyển ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II rồi lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp II. Tính xác suất trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 178.Hộp I có 7 bi đỏ và 6 bi vàng, hộp II có 2 bi đỏ và 5 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II rồi lấy ngẫu nhiên hai bi từ hộp II. Tính xác suất trong hai bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 179.Hộp I có 4 bi đỏ và 3 bi vàng, hộp II có 4 bi đỏ và 6 bi vàng. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ hộp I sang hộp II rồi lấy ngẫu nhiên hai bi từ hộp II. Tính xác suất trong hai bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

54. SA (Bayes — hai bộ lọc độc lập, biến cố "ít nhất một cảnh báo")Trả lời ngắn`two_filter_malware_atleast_one_warn_posterior_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 180.Một dây chuyền kiểm tra chất lượng sử dụng hai cảm biến độc lập $C_1$ và $C_2$ để quét các linh kiện lạ. Qua thống kê, tỉ lệ linh kiện lỗi trong hệ thống là $3\%$. • Đối với một linh kiện lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,92$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,80$ và xác suất bị cả hai cùng cảnh báo là $0,78$. • Đối với một linh kiện không lỗi: xác suất nó bị $C_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $C_2$ cảnh báo là $0,02$ và xác suất không bị cảm biến nào cảnh báo là $0,93$. Một linh kiện được quét và bị ít nhất một cảm biến cảnh báo. Xác suất để linh kiện đó thực sự lỗi là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Câu 181.Một hệ thống kiểm duyệt giao dịch sử dụng hai máy dò độc lập $M_1$ và $M_2$ để quét các giao dịch lạ. Qua thống kê, tỉ lệ giao dịch gian lận trong hệ thống là $4\%$. • Đối với một giao dịch gian lận: xác suất nó bị $M_1$ báo động là $0,85$; bị $M_2$ báo động là $0,82$ và xác suất bị cả hai cùng báo động là $0,75$. • Đối với một giao dịch không gian lận: xác suất nó bị $M_1$ báo động là $0,06$; bị $M_2$ báo động là $0,03$ và xác suất không bị máy dò nào báo động là $0,93$. Một giao dịch được quét và bị ít nhất một máy dò báo động. Xác suất để giao dịch đó thực sự gian lận là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Câu 182.Một trung tâm an ninh mạng sử dụng hai bộ lọc độc lập $S_1$ và $S_2$ để quét các tập tin lạ. Qua thống kê, tỉ lệ tập tin có mã độc trong hệ thống là $4\%$. • Đối với một tập tin có mã độc: xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,92$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,80$ và xác suất bị cả hai cùng cảnh báo là $0,78$. • Đối với một tập tin không có mã độc: xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất không bị bộ lọc nào cảnh báo là $0,94$. Một tập tin được quét và bị ít nhất một bộ lọc cảnh báo. Xác suất để tập tin đó thực sự có mã độc là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao. Hai (hoặc ba) phân xưởng / nguồn cung cấp một mặt hàng với tỉ lệ phần trăm cho trướcTrắc nghiệmbayes_inverse_conditional(3 câu)

2. Bayes trừu tượng. Cho $P(A)$, $P(B)$, $P(B \mid A)$, tính $P(A \mid B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$Trắc nghiệmbayes_invert_abstract(6 câu)

3. Bayes 3 nhóm bệnh nhân — tính $P(A | B_i)$ với $B_i$ là 1 trong 3 nhómTrắc nghiệmbayes_three_classes_disease_test(3 câu)

4. Điều kiện ngược. Cho $P(AB)$ và $P(B)$, tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$Trắc nghiệmconditional_from_joint_abstract(6 câu)

5. $P(A \mid B)$ — rút 1 lá trong bộ 52. A = "quân Át" / "quân Cơ", B = "quân đỏ" / "quân hình (J, Q, K)"Trắc nghiệmconditional_prob_card_draw(3 câu)

6. Đảo điều kiện. Trên cùng không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc / số / lá bài), đề hỏi $P(B \mid A) = \dfrac{|A \cap B|}{|A|}$ (đảo lại so với dạng thuận)Trắc nghiệmconditional_prob_reverse_identify(3 câu)

7. $P(A \mid B)$ trên không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc hoặc số $1..n$)Trắc nghiệmconditional_prob_sample_space(3 câu)

8. Tìm xác suất còn thiếu trong bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạcTrắc nghiệmdiscrete_distribution_missing_p(3 câu)

9. Công thức nhân (thuận). Cho $P(B)$ và $P(A \mid B)$, tính xác suất của biến cố giao $P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B)$Trắc nghiệmjoint_prob_multiplication_abstract(6 câu)

10. Tính $P(X \geq k)$ từ bảng phân phốiTrắc nghiệmprobability_x_at_least(3 câu)

11. Cho bảng phân phối $X$ — tính $P(a \leq X \leq b)$Trắc nghiệmprobability_x_in_interval_from_table(3 câu)

12. Nhận diện biến ngẫu nhiên rời rạc qua tập giá trịTrắc nghiệmrecognize_discrete_random_var(3 câu)

13. Công thức xác suất toàn phần — chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 hộp rồi rút biTrắc nghiệmtotal_probability_two_urns(3 câu)

14. Vận dụng cao. Lớp/nhóm khảo sát có $n$ học sinh; biết số học sinh tham gia mỗi câu lạc bộ $A$, $B$, $C$, số học sinh tham gia hai câu lạc bộ đôi một và số học sinh tham gia cả baTrắc nghiệmunion_three_events_inclusion_exclusion(3 câu)

15. Cho bảng phân phối có 1 ô ẩn $a$ — xét đúng/sai khi tìm $a$ để bảng hợp lệ và các tính chất kéo theoĐúng / Saidiscrete_random_var_examples(3 câu)

16. Cho bảng phân phối $X$ cụ thể — xét đúng/sai về tổng xác suất, miền giá trị, $P(X \geq k)$, tính chất rời rạcĐúng / Saidiscrete_random_var_facts(3 câu)

17. 4 ý: P(mắc), dương tính giả, P(dương) toàn phần, P(mắc|dương) vs 0,5Đúng / Saitf_diagnostic_test_posterior_half(3 câu)

18. Bối cảnh vé số / thẻ cào; nhấn "thứ tự rút KHÔNG ảnh hưởng cơ hội"Đúng / Saitf_draw_order_independence(3 câu)

19. Thêm ý $P(\text{người thứ }k\text{ trúng})=w/N$ và ý điều kiện $P(\text{người 2}\mid \text{người 1 trượt})$Đúng / Saitf_lucky_draw_equal_chance(3 câu)

20. Nhấn ý $P(\text{lượt 2})=P(\text{lượt 1})$ — vị trí rút không đổi xác suấtĐúng / Saitf_no_replace_position_fairness(3 câu)

21. Tỉ lệ nền CỰC NHỎ ⇒ hậu nghiệm $P(A|B)<0,5$ — nghịch lý xác suất nềnĐúng / Saitf_screening_base_rate_fallacy(3 câu)

22. Nhấn độ nhạy / độ đặc hiệu, $P(\bar B|\bar A)$, so $P(A|B)$ với tỉ lệ nềnĐúng / Saitf_sensitivity_specificity_total(3 câu)

23. 4 ý: P người đầu, người đầu cao nhất (sai), người cuối cao nhất (sai), mọi người bằng nhau (đúng)Đúng / Saitf_sequential_draw_position_fair(3 câu)

24. Người 2 rút 2-3 vật; có ý 'ít nhất 1 loại X' ở lượt 2 (qua biến cố bù)Đúng / Saitf_sequential_draw_two_people_bayes(6 câu)

25. TF (phân hoạch 2 nhóm tuổi × chọn 1 trong 3 gói) — Bayes + lặp BernoulliĐúng / Saitf_three_package_age_partition_bayes(3 câu)

26. TF (chuyển 1 vật hộp I→hộp II rồi rút 1 từ hộp II) — điều kiện + BayesĐúng / Saitf_transfer_ball_two_boxes_bayes(3 câu)

27. 4 ý: P lượt 1, P(lượt 2|lượt 1), P(lượt 2) toàn phần, Bayes lượt1|lượt2Đúng / Saitf_two_draw_no_replace_conditional(6 câu)

28. Nhấn xác suất GIAO $P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A|B_i)$ và BÙ $P(\bar A|B_i)=1-r_i$Đúng / Saitf_two_group_intersection_complement(3 câu)

29. Hai nhóm phân hoạch — 4 ý kinh điển: tiên nghiệm, giao, toàn phần, BayesĐúng / Saitf_two_group_total_bayes(3 câu)

30. TF (hai phác đồ điều trị — phân hoạch theo tỉ lệ chỉ định + tác dụng phụ)Đúng / Saitf_two_protocol_side_effect_total_bayes(3 câu)

31. Ý (d) đổi thành SO SÁNH hai hậu nghiệm $P(B_1|A)$ vs $P(B_2|A)$ (và với 0,5)Đúng / Saitf_two_source_posterior_compare(3 câu)

32. TF (rút bi hai giai đoạn, SỐ LƯỢNG lượt 2 phụ thuộc màu lượt 1)Đúng / Saitf_two_stage_variable_draw_size_bayes(3 câu)

33. MODE B: cho P(Ā|B̄), P(B̄|Ā), P(A∩B), tính P(ít nhất một biến cố)Trả lời ngắnat_least_one_from_cross_conditional_sa(3 câu)

34. 2 xưởng in (share %, tỉ lệ ĐẠT %); thấy sách KHÔNG đạt → P(do xưởng k | không đạt)Trả lời ngắnbayes_defect_source_percent_tenths_sa(3 câu)

35. Hai nhóm sĩ số n1/n2; chọn 1 cá thể, thấy thành công → P(thuộc nhóm k | thành công)Trả lời ngắnbayes_posterior_headcount_priors_sa(3 câu)

36. 2-3 nguồn: thấy biến cố A, tính P(do nguồn k | A) theo %Trả lời ngắnbayes_posterior_source_given_event_sa(3 câu)

37. Cùng cấu trúc nhưng hỏi P(nguồn k | Ā) — đảo biến cố sang 'đạt yêu cầu'Trả lời ngắnbayes_posterior_swap_source_sa(3 câu)

38. Tỉ lệ rủi ro gấp m lần: r2 = m·r1, tính P(nhóm phơi nhiễm | đã xảy ra biến cố)Trả lời ngắnbayes_risk_ratio_posterior_sa(3 câu)

39. Đảo biến cố: thấy sản phẩm ĐẠT yêu cầu (không lỗi), tính P(do nguồn k | đạt)Trả lời ngắnbayes_source_given_complement_sa(6 câu)

40. 2 nguồn: thấy biến cố lỗi/hỏng, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắnbayes_source_given_result_sa(6 câu)

41. 3 nguồn A/B/C: thấy biến cố lỗi, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắnbayes_three_source_posterior_sa(6 câu)

42. Hỏi P(A) bằng công thức xác suất toàn phần — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắnbayes_total_probability_value_sa(3 câu)

43. MODE A: chuyển 1 bi I->II, lấy m bi ở II thấy >=1 đỏ, tính P(bi chuyển là đỏ | quan sát)Trả lời ngắnbayes_transfer_ball_posterior_sa(3 câu)

44. Chuyển 1 bi I→II, lấy 2 bi ở II thấy ≥1 đỏ, tìm P(bi đã chuyển là đỏ)Trả lời ngắnbayes_transfer_ball_two_boxes_sa(3 câu)

45. Bi lượt 1 quyết định SỐ bi rút lượt 2; tìm P(lượt 1 màu đỏ | đủ 2 màu lượt 2)Trả lời ngắnbayes_two_stage_dependent_draw_sa(3 câu)

46. Cho P(thực sự xem) tổng + tỉ lệ nhóm mặc áo; GIẢI tìm tỉ lệ a% nhóm không mặc áoTrả lời ngắninverse_total_probability_unknown_rate_sa(3 câu)

47. SA (Bayes tổ hợp — Minesweeper): Bảng $n\times n$ có $M$ mìn ẩn đều khả năng ở các ô CHƯA MỞTrả lời ngắnminesweeper_center_mine_posterior_sa(3 câu)

48. Tìm xác suất còn thiếu (số thập phân)Trả lời ngắnmissing_probability_value(1 câu)

49. Cây 3 vòng; biết ĐÃ BỊ LOẠI, tính P(bị loại ở vòng ≥ start | đã bị loại)Trả lời ngắnmultistage_elim_late_round_given_eliminated_sa(3 câu)

50. MODE C: P(bị loại ở vòng i | đã qua ít nhất vòng 1) trên cây vòng loại liên tiếpTrả lời ngắnmultistage_elimination_conditional_sa(3 câu)

51. Số giá trị có thểTrả lời ngắnnumber_of_possible_values_dice(1 câu)

52. SA (ba biến cố độc lập — giải hệ): Ba sự kiện độc lậpTrả lời ngắnthree_independent_events_solve_system_sa(3 câu)

53. Biến thể TOÀN PHẦN: chuyển 1 bi I→II rồi lấy 2 bi ở II, tính P(≥1 đỏ)Trả lời ngắntotal_prob_two_stage_event_sa(3 câu)

54. SA (Bayes — hai bộ lọc độc lập, biến cố "ít nhất một cảnh báo")Trả lời ngắntwo_filter_malware_atleast_one_warn_posterior_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao. Hai (hoặc ba) phân xưởng / nguồn cung cấp một mặt hàng với tỉ lệ phần trăm cho trướcTrắc nghiệm`bayes_inverse_conditional`(3 câu)

2. Bayes trừu tượng. Cho $P(A)$, $P(B)$, $P(B \mid A)$, tính $P(A \mid B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$Trắc nghiệm`bayes_invert_abstract`(6 câu)

3. Bayes 3 nhóm bệnh nhân — tính $P(A | B_i)$ với $B_i$ là 1 trong 3 nhómTrắc nghiệm`bayes_three_classes_disease_test`(3 câu)

4. Điều kiện ngược. Cho $P(AB)$ và $P(B)$, tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$Trắc nghiệm`conditional_from_joint_abstract`(6 câu)

5. $P(A \mid B)$ — rút 1 lá trong bộ 52. A = "quân Át" / "quân Cơ", B = "quân đỏ" / "quân hình (J, Q, K)"Trắc nghiệm`conditional_prob_card_draw`(3 câu)

6. Đảo điều kiện. Trên cùng không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc / số / lá bài), đề hỏi $P(B \mid A) = \dfrac{|A \cap B|}{|A|}$ (đảo lại so với dạng thuận)Trắc nghiệm`conditional_prob_reverse_identify`(3 câu)

7. $P(A \mid B)$ trên không gian mẫu hữu hạn (xúc xắc hoặc số $1..n$)Trắc nghiệm`conditional_prob_sample_space`(3 câu)

8. Tìm xác suất còn thiếu trong bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạcTrắc nghiệm`discrete_distribution_missing_p`(3 câu)

9. Công thức nhân (thuận). Cho $P(B)$ và $P(A \mid B)$, tính xác suất của biến cố giao $P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B)$Trắc nghiệm`joint_prob_multiplication_abstract`(6 câu)

10. Tính $P(X \geq k)$ từ bảng phân phốiTrắc nghiệm`probability_x_at_least`(3 câu)

11. Cho bảng phân phối $X$ — tính $P(a \leq X \leq b)$Trắc nghiệm`probability_x_in_interval_from_table`(3 câu)

12. Nhận diện biến ngẫu nhiên rời rạc qua tập giá trịTrắc nghiệm`recognize_discrete_random_var`(3 câu)

13. Công thức xác suất toàn phần — chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 hộp rồi rút biTrắc nghiệm`total_probability_two_urns`(3 câu)

14. Vận dụng cao. Lớp/nhóm khảo sát có $n$ học sinh; biết số học sinh tham gia mỗi câu lạc bộ $A$, $B$, $C$, số học sinh tham gia hai câu lạc bộ đôi một và số học sinh tham gia cả baTrắc nghiệm`union_three_events_inclusion_exclusion`(3 câu)

15. Cho bảng phân phối có 1 ô ẩn $a$ — xét đúng/sai khi tìm $a$ để bảng hợp lệ và các tính chất kéo theoĐúng / Sai`discrete_random_var_examples`(3 câu)

16. Cho bảng phân phối $X$ cụ thể — xét đúng/sai về tổng xác suất, miền giá trị, $P(X \geq k)$, tính chất rời rạcĐúng / Sai`discrete_random_var_facts`(3 câu)

17. 4 ý: P(mắc), dương tính giả, P(dương) toàn phần, P(mắc|dương) vs 0,5Đúng / Sai`tf_diagnostic_test_posterior_half`(3 câu)

18. Bối cảnh vé số / thẻ cào; nhấn "thứ tự rút KHÔNG ảnh hưởng cơ hội"Đúng / Sai`tf_draw_order_independence`(3 câu)

19. Thêm ý $P(\text{người thứ }k\text{ trúng})=w/N$ và ý điều kiện $P(\text{người 2}\mid \text{người 1 trượt})$Đúng / Sai`tf_lucky_draw_equal_chance`(3 câu)

20. Nhấn ý $P(\text{lượt 2})=P(\text{lượt 1})$ — vị trí rút không đổi xác suấtĐúng / Sai`tf_no_replace_position_fairness`(3 câu)

21. Tỉ lệ nền CỰC NHỎ ⇒ hậu nghiệm $P(A|B)<0,5$ — nghịch lý xác suất nềnĐúng / Sai`tf_screening_base_rate_fallacy`(3 câu)

22. Nhấn độ nhạy / độ đặc hiệu, $P(\bar B|\bar A)$, so $P(A|B)$ với tỉ lệ nềnĐúng / Sai`tf_sensitivity_specificity_total`(3 câu)

23. 4 ý: P người đầu, người đầu cao nhất (sai), người cuối cao nhất (sai), mọi người bằng nhau (đúng)Đúng / Sai`tf_sequential_draw_position_fair`(3 câu)

24. Người 2 rút 2-3 vật; có ý 'ít nhất 1 loại X' ở lượt 2 (qua biến cố bù)Đúng / Sai`tf_sequential_draw_two_people_bayes`(6 câu)

25. TF (phân hoạch 2 nhóm tuổi × chọn 1 trong 3 gói) — Bayes + lặp BernoulliĐúng / Sai`tf_three_package_age_partition_bayes`(3 câu)

26. TF (chuyển 1 vật hộp I→hộp II rồi rút 1 từ hộp II) — điều kiện + BayesĐúng / Sai`tf_transfer_ball_two_boxes_bayes`(3 câu)

27. 4 ý: P lượt 1, P(lượt 2|lượt 1), P(lượt 2) toàn phần, Bayes lượt1|lượt2Đúng / Sai`tf_two_draw_no_replace_conditional`(6 câu)

28. Nhấn xác suất GIAO $P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A|B_i)$ và BÙ $P(\bar A|B_i)=1-r_i$Đúng / Sai`tf_two_group_intersection_complement`(3 câu)

29. Hai nhóm phân hoạch — 4 ý kinh điển: tiên nghiệm, giao, toàn phần, BayesĐúng / Sai`tf_two_group_total_bayes`(3 câu)

30. TF (hai phác đồ điều trị — phân hoạch theo tỉ lệ chỉ định + tác dụng phụ)Đúng / Sai`tf_two_protocol_side_effect_total_bayes`(3 câu)

31. Ý (d) đổi thành SO SÁNH hai hậu nghiệm $P(B_1|A)$ vs $P(B_2|A)$ (và với 0,5)Đúng / Sai`tf_two_source_posterior_compare`(3 câu)

32. TF (rút bi hai giai đoạn, SỐ LƯỢNG lượt 2 phụ thuộc màu lượt 1)Đúng / Sai`tf_two_stage_variable_draw_size_bayes`(3 câu)

33. MODE B: cho P(Ā|B̄), P(B̄|Ā), P(A∩B), tính P(ít nhất một biến cố)Trả lời ngắn`at_least_one_from_cross_conditional_sa`(3 câu)

34. 2 xưởng in (share %, tỉ lệ ĐẠT %); thấy sách KHÔNG đạt → P(do xưởng k | không đạt)Trả lời ngắn`bayes_defect_source_percent_tenths_sa`(3 câu)

35. Hai nhóm sĩ số n1/n2; chọn 1 cá thể, thấy thành công → P(thuộc nhóm k | thành công)Trả lời ngắn`bayes_posterior_headcount_priors_sa`(3 câu)

36. 2-3 nguồn: thấy biến cố A, tính P(do nguồn k | A) theo %Trả lời ngắn`bayes_posterior_source_given_event_sa`(3 câu)

37. Cùng cấu trúc nhưng hỏi P(nguồn k | Ā) — đảo biến cố sang 'đạt yêu cầu'Trả lời ngắn`bayes_posterior_swap_source_sa`(3 câu)

38. Tỉ lệ rủi ro gấp m lần: r2 = m·r1, tính P(nhóm phơi nhiễm | đã xảy ra biến cố)Trả lời ngắn`bayes_risk_ratio_posterior_sa`(3 câu)

39. Đảo biến cố: thấy sản phẩm ĐẠT yêu cầu (không lỗi), tính P(do nguồn k | đạt)Trả lời ngắn`bayes_source_given_complement_sa`(6 câu)

40. 2 nguồn: thấy biến cố lỗi/hỏng, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_source_given_result_sa`(6 câu)

41. 3 nguồn A/B/C: thấy biến cố lỗi, tính P(do nguồn k | lỗi) — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_three_source_posterior_sa`(6 câu)

42. Hỏi P(A) bằng công thức xác suất toàn phần — số thập phân 2 chữ sốTrả lời ngắn`bayes_total_probability_value_sa`(3 câu)

43. MODE A: chuyển 1 bi I->II, lấy m bi ở II thấy >=1 đỏ, tính P(bi chuyển là đỏ | quan sát)Trả lời ngắn`bayes_transfer_ball_posterior_sa`(3 câu)

44. Chuyển 1 bi I→II, lấy 2 bi ở II thấy ≥1 đỏ, tìm P(bi đã chuyển là đỏ)Trả lời ngắn`bayes_transfer_ball_two_boxes_sa`(3 câu)

45. Bi lượt 1 quyết định SỐ bi rút lượt 2; tìm P(lượt 1 màu đỏ | đủ 2 màu lượt 2)Trả lời ngắn`bayes_two_stage_dependent_draw_sa`(3 câu)

46. Cho P(thực sự xem) tổng + tỉ lệ nhóm mặc áo; GIẢI tìm tỉ lệ a% nhóm không mặc áoTrả lời ngắn`inverse_total_probability_unknown_rate_sa`(3 câu)

47. SA (Bayes tổ hợp — Minesweeper): Bảng $n\times n$ có $M$ mìn ẩn đều khả năng ở các ô CHƯA MỞTrả lời ngắn`minesweeper_center_mine_posterior_sa`(3 câu)

48. Tìm xác suất còn thiếu (số thập phân)Trả lời ngắn`missing_probability_value`(1 câu)

49. Cây 3 vòng; biết ĐÃ BỊ LOẠI, tính P(bị loại ở vòng ≥ start | đã bị loại)Trả lời ngắn`multistage_elim_late_round_given_eliminated_sa`(3 câu)

50. MODE C: P(bị loại ở vòng i | đã qua ít nhất vòng 1) trên cây vòng loại liên tiếpTrả lời ngắn`multistage_elimination_conditional_sa`(3 câu)

51. Số giá trị có thểTrả lời ngắn`number_of_possible_values_dice`(1 câu)

52. SA (ba biến cố độc lập — giải hệ): Ba sự kiện độc lậpTrả lời ngắn`three_independent_events_solve_system_sa`(3 câu)

53. Biến thể TOÀN PHẦN: chuyển 1 bi I→II rồi lấy 2 bi ở II, tính P(≥1 đỏ)Trả lời ngắn`total_prob_two_stage_event_sa`(3 câu)

54. SA (Bayes — hai bộ lọc độc lập, biến cố "ít nhất một cảnh báo")Trả lời ngắn`two_filter_malware_atleast_one_warn_posterior_sa`(3 câu)