Mô-đun và biểu diễn hình học

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Tính chất modulus

$|z| \geq 0$. $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.
$|z| = |\overline{z}| = |-z|$.
$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ với $z_2 \neq 0$.
$|z|^2 = z \cdot \overline{z}$.
Bất đẳng thức tam giác: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

§2. Công thức(3)

2.1

Tập hợp điểm $M$: $|z - z_0| = R$

Cho $z_0 = a + bi$ cố định, $R > 0$. Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - z_0| = R$ là đường tròn tâm $I(a; b)$, bán kính $R$.

2.2

Tập hợp $M$: $|z - z_1| = |z - z_2|$

Cho $z_1, z_2$ phân biệt (biểu diễn bởi $A, B$). Tập hợp $M$ thoả $|z - z_1| = |z - z_2|$ là đường trung trực của đoạn $AB$.

2.3

Modulus (môđun) số phức

Số phức $z = a + bi$ có modulus: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Ý nghĩa hình học: $|z|$ là khoảng cách từ điểm $M(a;b)$ biểu diễn $z$ đến gốc tọa độ $O$.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1. Đặt $z = x + yi$ với $x, y \in \mathbb{R}$. Bước 2. Thay vào điều kiện cho trước, tính các modulus / phép toán cần thiết. Bước 3. Biến đổi về phương trình quan hệ giữa $x, y$. Bước 4. Nhận dạng: phương trình bậc 1 → đường thẳng; bậc 2 đầy đủ $x^2 + y^2 + \dots$ → đường tròn. Bước 5. Kết luận tập hợp $M(x; y)$ thoả điều kiện.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: bình phương 2 vế tránh căn

Khi giải phương trình modulus có $\sqrt{\dots}$ ở 2 vế (modulus là căn bậc 2 của bình phương), bình phương 2 vế để khử căn — nhanh và sạch: $|z - z_0|^2 = (z - z_0) \cdot \overline{(z - z_0)}.$ Hoặc nếu $z = x + yi$: $|z - z_0|^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$.

Bài tập

1. Xác định số phức liên hợp $\bar{z}$ của $z = a + bi$Trắc nghiệm`complex_conjugate`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Cho $z = 3 + 2i$. Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$.

A.$\bar{z} = -3 + 2i$

B.$\bar{z} = 3 - 2i$

C.$\bar{z} = 3 + 2i$

D.$\bar{z} = -3 - 2i$

Câu 2.Cho $z = 3 - 3i$. Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$.

A.$\bar{z} = 3 - 3i$

B.$\bar{z} = -3 + 3i$

C.$\bar{z} = 3 + 3i$

D.$\bar{z} = -3 - 3i$

Câu 3.Cho $z = 6 - 6i$. Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$.

A.$\bar{z} = 6 - 6i$

B.$\bar{z} = -6 - 6i$

C.$\bar{z} = -6 + 6i$

D.$\bar{z} = 6 + 6i$

2. Vận dụng THPT. Cho điều kiện $|z - z_0| = R$ (hoặc dạng tương đương $|z - (a+bi)| = R$)Trắc nghiệm`complex_locus_circle`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $|z - (5 - 4i)| = 3$ là:

A.Đường tròn tâm $I(-5; 4)$, bán kính $R = 3$.

B.Đường tròn tâm $I(5; -4)$, bán kính $R = 9$.

C.Đường tròn tâm $I(5; -4)$, bán kính $R = 3$.

D.Đường tròn tâm $I(-4; 5)$, bán kính $R = 3$.

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $|z - (4 - i)| = 5$ là:

A.Đường tròn tâm $I(-4; 1)$, bán kính $R = 5$.

B.Đường tròn tâm $I(-1; 4)$, bán kính $R = 5$.

C.Đường tròn tâm $I(4; -1)$, bán kính $R = 25$.

D.Đường tròn tâm $I(4; -1)$, bán kính $R = 5$.

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $|z - (-3 + 4i)| = 4$ là:

A.Đường tròn tâm $I(-3; 4)$, bán kính $R = 16$.

B.Đường tròn tâm $I(3; -4)$, bán kính $R = 4$.

C.Đường tròn tâm $I(4; -3)$, bán kính $R = 4$.

D.Đường tròn tâm $I(-3; 4)$, bán kính $R = 4$.

3. Tập hợp điểm biểu diễn $z$ thoả $|z - z_1| = |z - z_2|$ là đường trung trực $z_1z_2$Trắc nghiệm`complex_locus_line`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (-3+2i)| = |z - (1+2i)|$.

A.$x^2 + y^2 = 13$

B.$x + 1 = 0$

C.$x - 1 = 0$

D.$y + 1 = 0$

Câu 8.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (-3-3i)| = |z - (-1-3i)|$.

A.$x^2 + y^2 = 18$

B.$y + 2 = 0$

C.$x - 2 = 0$

D.$x + 2 = 0$

Câu 9.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (-1-3i)| = |z - (-1+2i)|$.

A.$2y - 1 = 0$

B.$2y + 1 = 0$

C.$2x + 1 = 0$

D.$-2y + 1 = 0$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (0-3i)| = |z - (3+i)|$.

A.$6x - 8y - 1 = 0$

B.$6x + 8y - 1 = 0$

C.$6x + 8y + 1 = 0$

D.$8x + 6y - 1 = 0$

Câu 11.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (2+i)| = |z - (3+2i)|$.

A.$x - y - 4 = 0$

B.$x^2 + y^2 = 5$

C.$x + y - 4 = 0$

D.$x + y + 4 = 0$

Câu 12.Tìm tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - (0-i)| = |z - (1-3i)|$.

A.$2x - 4y + 9 = 0$

B.$2x - 4y - 9 = 0$

C.$2x + 4y - 9 = 0$

D.$-4x + 2y - 9 = 0$

4. Vận dụng cao THPT. Cho số phức $z$ thoả $|z - z_0| = R$ với $z_0 = a + bi$Trắc nghiệm`complex_min_modulus_constraint`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (-3 + 4i)| = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 5$

B.$\min |z| = 2$

C.$\min |z| = 7$

D.$\min |z| = 3$

Câu 14.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (5 - 12i)| = 7$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 7$

B.$\min |z| = 13$

C.$\min |z| = 20$

D.$\min |z| = 6$

Câu 15.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (-3 - 4i)| = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 2$

B.$\min |z| = 5$

C.$\min |z| = 3$

D.$\min |z| = 8$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (-3 - 4i)| = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 5$

B.$\min |z| = 13$

C.$\min |z| = 3$

D.$\min |z| = 8$

Câu 17.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (-8 - 6i)| = 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 10$

B.$\min |z| = 12$

C.$\min |z| = 2$

D.$\min |z| = 22$

Câu 18.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - (-3 - 4i)| = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 5$

B.$\min |z| = 8$

C.$\min |z| = 13$

D.$\min |z| = 3$

5. Cho $|z - z_0| = R$, tìm $\min |z|$ — bằng $|z_0| - R$ (giả sử $R < |z_0|$)Trắc nghiệm`complex_min_modulus_two_constraints`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Cho số phức $z$ thoả $|z - ((8) - 15i)| = 14$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 14$

B.$\min |z| = 17$

C.$\min |z| = 3$

D.$\min |z| = 31$

Câu 20.Cho số phức $z$ thoả $|z - ((-3) + 4i)| = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 5$

B.$\min |z| = 3$

C.$\min |z| = 2$

D.$\min |z| = 7$

Câu 21.Cho số phức $z$ thoả $|z - ((8) + 15i)| = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

A.$\min |z| = 11$

B.$\min |z| = 23$

C.$\min |z| = 6$

D.$\min |z| = 17$

6. Tính mô-đun của $z = a + bi$ — dùng bộ Pytago cho đáp án nguyênTrắc nghiệm`complex_modulus`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tính mô-đun của số phức $z = -6 - 8i$.

A.$|z| = 10$

B.$|z| = 14$

C.$|z| = 100$

D.$|z| = 6$

Câu 23.Tính mô-đun của số phức $z = 6 - 8i$.

A.$|z| = 6$

B.$|z| = 14$

C.$|z| = 100$

D.$|z| = 10$

Câu 24.Tính mô-đun của số phức $z = -8 + 15i$.

A.$|z| = 8$

B.$|z| = 17$

C.$|z| = 289$

D.$|z| = 23$

7. Viết $z = a + bi$ về dạng lượng giác $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ — chọn các góc đặc biệtTrắc nghiệm`complex_polar_form`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Viết số phức $z = 1 - i$ về dạng lượng giác.

A.$z = \sqrt{2}\left(\cos -\dfrac{\pi}{4} - i\sin -\dfrac{\pi}{4}\right)$

B.$z = \sqrt{2}\left(\sin -\dfrac{\pi}{4} + i\cos -\dfrac{\pi}{4}\right)$

C.$z = \sqrt{2}\left(\cos -\dfrac{\pi}{4} + i\sin -\dfrac{\pi}{4}\right)$

D.$z = 2\sqrt{2}\left(\cos -\dfrac{\pi}{4} + i\sin -\dfrac{\pi}{4}\right)$

Câu 26.Viết số phức $z = 1 + \sqrt{3}\,i$ về dạng lượng giác.

A.$z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$

B.$z = 22\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$

C.$z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} - i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$

D.$z = 2\left(\sin \dfrac{\pi}{3} + i\cos \dfrac{\pi}{3}\right)$

Câu 27.Viết số phức $z = -1 + \sqrt{3}\,i$ về dạng lượng giác.

A.$z = 22\left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + i\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$

B.$z = 2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + i\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$

C.$z = 2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3} - i\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$

D.$z = 2\left(\sin \dfrac{2\pi}{3} + i\cos \dfrac{2\pi}{3}\right)$

8. Cho $z = a + bi$, xác định phần thực hoặc phần ảoTrắc nghiệm`complex_real_imag_parts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Phần thực của số phức $z = 5 + 6i$ là?

A.-5

B.5

C.6

D.-6

Câu 29.Phần ảo của số phức $z = -9 - 6i$ là?

A.9

B.-9

C.-6

D.6

Câu 30.Phần thực của số phức $z = -1 - 7i$ là?

A.-7

B.7

C.1

D.-1

9. Cho $A, B$ biểu diễn $z_1, z_2$Trắc nghiệm`complex_triangle_isosceles_right`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Trên mặt phẳng phức, gọi $A, B$ lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức $z_1 = -1+4i$ và $z_2 = 2+8i$. Tính $AB$.

A.$AB = 5$

B.$AB = 3$

C.$AB = 25$

D.$AB = 7$

Câu 32.Trên mặt phẳng phức, gọi $A, B$ lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức $z_1 = 4+3i$ và $z_2 = -1+15i$. Tính $AB$.

A.$AB = 169$

B.$AB = 17$

C.$AB = 13$

D.$AB = 5$

Câu 33.Trên mặt phẳng phức, gọi $A, B$ lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức $z_1 = 0+i$ và $z_2 = 3+5i$. Tính $AB$.

A.$AB = 25$

B.$AB = 7$

C.$AB = 3$

D.$AB = 5$

10. Đọc hình Argand: so sánh/sắp xếp môđun của nhiều điểmTrắc nghiệm`modulus_argand_compare_points`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Trên mặt phẳng phức (hình bên), bốn điểm $A(5;\,1)$; $B(3;\,0)$; $C(5;\,-3)$; $D(2;\,2)$ lần lượt biểu diễn các số phức $z_A, z_B, z_C, z_D$. Hỏi số phức nào có môđun nhỏ nhất?

Bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng Argand

A.$C$

B.$D$

C.$A$

D.$B$

Câu 35.Trên mặt phẳng phức (hình bên), bốn điểm $A(-1;\,0)$; $B(-2;\,-2)$; $C(0;\,5)$; $D(-2;\,4)$ lần lượt biểu diễn các số phức $z_A, z_B, z_C, z_D$. Hỏi số phức nào có môđun lớn nhất?

Bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng Argand

A.$A$

B.$D$

C.$B$

D.$C$

Câu 36.Trên mặt phẳng phức (hình bên), bốn điểm $A(-3;\,-4)$; $B(-2;\,2)$; $C(-2;\,4)$; $D(0;\,-3)$ lần lượt biểu diễn các số phức $z_A, z_B, z_C, z_D$. Hỏi số phức nào có môđun nhỏ nhất?

Bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng Argand

A.$C$

B.$A$

C.$B$

D.$D$

11. Quan sát điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng phức, tính $|z|$Trắc nghiệm`modulus_from_argand_figure`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 37.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Tính $|z|$.

Điểm biểu diễn z = -5 + -12i trên mặt phẳng phức

A.$|z| = 17$

B.$|z| = 169$

C.$|z| = 5$

D.$|z| = 13$

Câu 38.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Tính $|z|$.

Điểm biểu diễn z = 8 + -15i trên mặt phẳng phức

A.$|z| = 8$

B.$|z| = 17$

C.$|z| = 289$

D.$|z| = 23$

Câu 39.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Tính $|z|$.

Điểm biểu diễn z = -3 + -4i trên mặt phẳng phức

A.$|z| = 7$

B.$|z| = 5$

C.$|z| = 25$

D.$|z| = 3$

12. Môđun của thương $|z_1/z_2|$ và lũy thừa $|z^n|$ — tính chất nhân tính của môđunTrắc nghiệm`modulus_of_quotient_power`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Cho $z_1 = 15 + 20i$ và $z_2 = 3 + 4i$. Tính $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

A.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 20$

B.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 5$

C.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{5}{25}$

D.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 125$

Câu 41.Cho $z_1 = -6 + 8i$ và $z_2 = -3 - 4i$. Tính $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

A.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{5}{10}$

B.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 50$

C.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 5$

D.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 2$

Câu 42.Cho $z_1 = 9 - 12i$ và $z_2 = -3 + 4i$. Tính $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

A.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 75$

B.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 10$

C.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = 3$

D.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{5}{15}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Cho số phức $z = -1 + 3i$. Tính $\left|z^{3}\right|$.

A.$\left|z^{3}\right| = 10 \sqrt{10}$

B.$\left|z^{3}\right| = 3 \sqrt{10}$

C.$\left|z^{3}\right| = 10$

D.$\left|z^{3}\right| = 3 + \sqrt{10}$

Câu 44.Cho số phức $z = 3 - i$. Tính $\left|z^{4}\right|$.

A.$\left|z^{4}\right| = \sqrt{10} + 4$

B.$\left|z^{4}\right| = 10$

C.$\left|z^{4}\right| = 100$

D.$\left|z^{4}\right| = 4 \sqrt{10}$

Câu 45.Cho số phức $z = -1 + i$. Tính $\left|z^{4}\right|$.

A.$\left|z^{4}\right| = 4$

B.$\left|z^{4}\right| = \sqrt{2} + 4$

C.$\left|z^{4}\right| = 2$

D.$\left|z^{4}\right| = 4 \sqrt{2}$

13. VDC: cho hai số phức $z_1, z_2$ trên hai đường tròn rời nhau — tìm GTNN hoặc GTLN của $|z_1 - z_2|$Trắc nghiệm`two_circles_min_max_distance`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 46.Xét hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn đồng thời $|z_1| = 1$ và $|z_2 - 6 - 8i| = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_1 - z_2|$.

A.$\max|z_1 - z_2| = 4$

B.$\max|z_1 - z_2| = 14$

C.$\max|z_1 - z_2| = 12$

D.$\max|z_1 - z_2| = 10$

Câu 47.Xét hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn đồng thời $|z_1| = 1$ và $|z_2 - 3 - 4i| = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = |z_1 - z_2|$.

A.$\min|z_1 - z_2| = 6$

B.$\min|z_1 - z_2| = 5$

C.$\min|z_1 - z_2| = 3$

D.$\min|z_1 - z_2| = 2$

Câu 48.Xét hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn đồng thời $|z_1| = 1$ và $|z_2 - 6 - 8i| = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_1 - z_2|$.

A.$\max|z_1 - z_2| = 14$

B.$\max|z_1 - z_2| = 12$

C.$\max|z_1 - z_2| = 10$

D.$\max|z_1 - z_2| = 4$

14. Cho 1 số phức $z = a + bi$ — xét đúng/sai các khẳng định về $|z|$Đúng / Sai`complex_modulus_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 49.Cho số phức $z = 3 - 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z|^2 = z \cdot \bar{z} = 25$.

b)$|\bar{z}| = 5$.

c)$|z| = 5$.

d)$|z| = 25$.

Câu 50.Cho số phức $z = 8 + 15i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|2z| = 34$.

b)$|z| = 17$.

c)$|\bar{z}| = 17$.

d)$|z| < 0$ là điều có thể xảy ra với một số phức nào đó.

Câu 51.Cho số phức $z = -3 + 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z| = 25$.

b)$|z| = 7$.

c)$|3 - 4i| = 5$.

d)$|2z| = 10$.

15. Đọc tọa độ điểm $M$ trên mặt phẳng phức — TF kèm hình ArgandĐúng / Sai`complex_modulus_tf_from_argand`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 52.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Điểm M(-3;-4) trên mặt phẳng phức

a)$|z| = 7$.

b)$z$ là số thực.

c)Phần ảo của $z$ bằng $-4$.

d)$|z| = 5$.

Câu 53.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Điểm M(-8;15) trên mặt phẳng phức

a)Phần thực của $z$ bằng $-8$.

b)$z$ là số thực.

c)$z = -8 + 15i$.

d)$|z| = 23$.

Câu 54.Quan sát điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Điểm M(5;12) trên mặt phẳng phức

a)$z$ là số thực.

b)$|z| = 169$.

c)$|z| = 13$.

d)Phần ảo của $z$ bằng $12$.

16. Cho 2 số phức $z, w$ — kiểm tra hiểu biết về $|z|, |w|, |zw|, |z+w|$ (đặc biệt bất đẳng thức tam giác)Đúng / Sai`modulus_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hai số phức $z = 5 + 12i$ và $w = 1 + i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

b)$|z|, |w| \geq 0$.

c)$|w|^2 = 2$.

d)$|z + w| \leq |z| + |w|$.

Câu 56.Cho hai số phức $z = -3 + 4i$ và $w = -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z|, |w| \geq 0$.

b)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

c)$|z + w| \leq |z| + |w|$.

d)$|w|^2 = 1$.

Câu 57.Cho hai số phức $z = -5 + 12i$ và $w = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|w|^2 = 4$.

b)$|z|^2 = 169$.

c)$|\bar z| = |z|$ và $|\bar w| = |w|$.

d)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

17. Bẫy khái niệm đúng/sai về tính chất môđun qua thương, lũy thừa, nghịch đảo, hiệu, tổngĐúng / Sai`modulus_operation_traps_tf`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hai số phức $z = 5 + 12i$ và $w = 1$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ (với $z \ne 0$).

b)$|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$.

c)$|z^n| = |z|^n$ với mọi $n$ nguyên dương.

d)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|w|}{|z|}$ (với $w \ne 0$).

Câu 59.Cho hai số phức $z = 6 + 8i$ và $w = 2$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z^n| = n\,|z|$ với mọi $n$ nguyên dương.

b)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|w|}{|z|}$ (với $w \ne 0$).

c)$|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$.

d)$|z^n| = |z|^n$ với mọi $n$ nguyên dương.

Câu 60.Cho hai số phức $z = 6 + 8i$ và $w = 2i$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}$ (với $w \ne 0$).

b)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

c)$\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ (với $z \ne 0$).

d)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|w|}{|z|}$ (với $w \ne 0$).

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho hai số phức $z = 6 + 8i$ và $w = 1$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z^n| = |z|^n$ với mọi $n$ nguyên dương.

b)$|{-}z| = |z|$.

c)$|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2$ luôn đúng.

d)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}$ (với $w \ne 0$).

Câu 62.Cho hai số phức $z = 3 + 4i$ và $w = 2i$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}$ (với $w \ne 0$).

b)$|z - w| = |z| - |w|$ với mọi $z, w$.

c)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

d)$|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2$ luôn đúng.

Câu 63.Cho hai số phức $z = 3 + 4i$ và $w = 2$ (với $w \ne 0$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|z + w| = |z| + |w|$ với mọi $z, w$.

b)$\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}$ (với $w \ne 0$).

c)$|z^2| = |z|^2$.

d)$|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2$ luôn đúng.

18. Ứng dụng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`modulus_ac_impedance_application`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 60$ Ω và $Z_L - Z_C = -80$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

Câu 65.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 90$ Ω và $Z_L - Z_C = -120$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

Câu 66.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 30$ Ω và $Z_L - Z_C = -40$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 90$ Ω, cảm kháng $Z_L = 10$ Ω, dung kháng $Z_C = 130$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

Câu 68.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 60$ Ω, cảm kháng $Z_L = 90$ Ω, dung kháng $Z_C = 10$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

Câu 69.Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có điện trở $R = 80$ Ω, cảm kháng $Z_L = 110$ Ω, dung kháng $Z_C = 50$ Ω. Tổng trở phức của mạch là $Z = R + (Z_L - Z_C)i$. Tính tổng trở $|Z|$ của mạch (Ω).

19. Tính $|z|$ với $z = a + bi$Trả lời ngắn`modulus_compute`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 70.Tính mô-đun của số phức $z = 8 - 15i$.

Câu 71.Tính mô-đun của số phức $z = -5 + 12i$.

Câu 72.Tính mô-đun của số phức $z = -3 + 4i$.

20. Đảo ngược: cho $|z|$ (hoặc $|z|^2$) và MỘT trong hai phần (thực/ảo), tìm phần còn lại là số nguyên DƯƠNGTrả lời ngắn`modulus_inverse_find_param`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 73.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $8$ và $|z| = 17$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

Câu 74.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $5$ và $|z| = 13$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

Câu 75.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $15$ và $|z| = 17$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 76.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $9$ và $|z| = 15$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

Câu 77.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $3$ và $|z| = 5$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

Câu 78.Cho số phức $z = a + bi$ có phần ảo bằng $12$ và $|z| = 13$. Biết phần thực $a$ là số nguyên dương, tìm $a$.

21. Tính $|z|^2$ với $z = a + bi$, kết quả $a^2 + b^2$ là số nguyênTrả lời ngắn`modulus_squared_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 79.Cho $z = -6 + 6i$. Tính $|z|^2$.

Câu 80.Cho $z = -4 + 8i$. Tính $|z|^2$.

Câu 81.Cho $z = 4 - 7i$. Tính $|z|^2$.

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Công thức(3)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Xác định số phức liên hợp $\bar{z}$ của $z = a + bi$Trắc nghiệmcomplex_conjugate(3 câu)

2. Vận dụng THPT. Cho điều kiện $|z - z_0| = R$ (hoặc dạng tương đương $|z - (a+bi)| = R$)Trắc nghiệmcomplex_locus_circle(3 câu)

3. Tập hợp điểm biểu diễn $z$ thoả $|z - z_1| = |z - z_2|$ là đường trung trực $z_1z_2$Trắc nghiệmcomplex_locus_line(6 câu)

4. Vận dụng cao THPT. Cho số phức $z$ thoả $|z - z_0| = R$ với $z_0 = a + bi$Trắc nghiệmcomplex_min_modulus_constraint(6 câu)

5. Cho $|z - z_0| = R$, tìm $\min |z|$ — bằng $|z_0| - R$ (giả sử $R < |z_0|$)Trắc nghiệmcomplex_min_modulus_two_constraints(3 câu)

6. Tính mô-đun của $z = a + bi$ — dùng bộ Pytago cho đáp án nguyênTrắc nghiệmcomplex_modulus(3 câu)

7. Viết $z = a + bi$ về dạng lượng giác $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ — chọn các góc đặc biệtTrắc nghiệmcomplex_polar_form(3 câu)

8. Cho $z = a + bi$, xác định phần thực hoặc phần ảoTrắc nghiệmcomplex_real_imag_parts(3 câu)

9. Cho $A, B$ biểu diễn $z_1, z_2$Trắc nghiệmcomplex_triangle_isosceles_right(3 câu)

10. Đọc hình Argand: so sánh/sắp xếp môđun của nhiều điểmTrắc nghiệmmodulus_argand_compare_points(3 câu)

11. Quan sát điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng phức, tính $|z|$Trắc nghiệmmodulus_from_argand_figure(3 câu)

12. Môđun của thương $|z_1/z_2|$ và lũy thừa $|z^n|$ — tính chất nhân tính của môđunTrắc nghiệmmodulus_of_quotient_power(6 câu)

13. VDC: cho hai số phức $z_1, z_2$ trên hai đường tròn rời nhau — tìm GTNN hoặc GTLN của $|z_1 - z_2|$Trắc nghiệmtwo_circles_min_max_distance(3 câu)

14. Cho 1 số phức $z = a + bi$ — xét đúng/sai các khẳng định về $|z|$Đúng / Saicomplex_modulus_facts(3 câu)

15. Đọc tọa độ điểm $M$ trên mặt phẳng phức — TF kèm hình ArgandĐúng / Saicomplex_modulus_tf_from_argand(3 câu)

16. Cho 2 số phức $z, w$ — kiểm tra hiểu biết về $|z|, |w|, |zw|, |z+w|$ (đặc biệt bất đẳng thức tam giác)Đúng / Saimodulus_facts2(3 câu)

17. Bẫy khái niệm đúng/sai về tính chất môđun qua thương, lũy thừa, nghịch đảo, hiệu, tổngĐúng / Saimodulus_operation_traps_tf(6 câu)

18. Ứng dụng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắnmodulus_ac_impedance_application(6 câu)

19. Tính $|z|$ với $z = a + bi$Trả lời ngắnmodulus_compute(3 câu)

20. Đảo ngược: cho $|z|$ (hoặc $|z|^2$) và MỘT trong hai phần (thực/ảo), tìm phần còn lại là số nguyên DƯƠNGTrả lời ngắnmodulus_inverse_find_param(6 câu)

21. Tính $|z|^2$ với $z = a + bi$, kết quả $a^2 + b^2$ là số nguyênTrả lời ngắnmodulus_squared_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Xác định số phức liên hợp $\bar{z}$ của $z = a + bi$Trắc nghiệm`complex_conjugate`(3 câu)

2. Vận dụng THPT. Cho điều kiện $|z - z_0| = R$ (hoặc dạng tương đương $|z - (a+bi)| = R$)Trắc nghiệm`complex_locus_circle`(3 câu)

3. Tập hợp điểm biểu diễn $z$ thoả $|z - z_1| = |z - z_2|$ là đường trung trực $z_1z_2$Trắc nghiệm`complex_locus_line`(6 câu)

4. Vận dụng cao THPT. Cho số phức $z$ thoả $|z - z_0| = R$ với $z_0 = a + bi$Trắc nghiệm`complex_min_modulus_constraint`(6 câu)

5. Cho $|z - z_0| = R$, tìm $\min |z|$ — bằng $|z_0| - R$ (giả sử $R < |z_0|$)Trắc nghiệm`complex_min_modulus_two_constraints`(3 câu)

6. Tính mô-đun của $z = a + bi$ — dùng bộ Pytago cho đáp án nguyênTrắc nghiệm`complex_modulus`(3 câu)

7. Viết $z = a + bi$ về dạng lượng giác $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ — chọn các góc đặc biệtTrắc nghiệm`complex_polar_form`(3 câu)

8. Cho $z = a + bi$, xác định phần thực hoặc phần ảoTrắc nghiệm`complex_real_imag_parts`(3 câu)

9. Cho $A, B$ biểu diễn $z_1, z_2$Trắc nghiệm`complex_triangle_isosceles_right`(3 câu)

10. Đọc hình Argand: so sánh/sắp xếp môđun của nhiều điểmTrắc nghiệm`modulus_argand_compare_points`(3 câu)

11. Quan sát điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng phức, tính $|z|$Trắc nghiệm`modulus_from_argand_figure`(3 câu)

12. Môđun của thương $|z_1/z_2|$ và lũy thừa $|z^n|$ — tính chất nhân tính của môđunTrắc nghiệm`modulus_of_quotient_power`(6 câu)

13. VDC: cho hai số phức $z_1, z_2$ trên hai đường tròn rời nhau — tìm GTNN hoặc GTLN của $|z_1 - z_2|$Trắc nghiệm`two_circles_min_max_distance`(3 câu)

14. Cho 1 số phức $z = a + bi$ — xét đúng/sai các khẳng định về $|z|$Đúng / Sai`complex_modulus_facts`(3 câu)

15. Đọc tọa độ điểm $M$ trên mặt phẳng phức — TF kèm hình ArgandĐúng / Sai`complex_modulus_tf_from_argand`(3 câu)

16. Cho 2 số phức $z, w$ — kiểm tra hiểu biết về $|z|, |w|, |zw|, |z+w|$ (đặc biệt bất đẳng thức tam giác)Đúng / Sai`modulus_facts2`(3 câu)

17. Bẫy khái niệm đúng/sai về tính chất môđun qua thương, lũy thừa, nghịch đảo, hiệu, tổngĐúng / Sai`modulus_operation_traps_tf`(6 câu)

18. Ứng dụng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`modulus_ac_impedance_application`(6 câu)

19. Tính $|z|$ với $z = a + bi$Trả lời ngắn`modulus_compute`(3 câu)

20. Đảo ngược: cho $|z|$ (hoặc $|z|^2$) và MỘT trong hai phần (thực/ảo), tìm phần còn lại là số nguyên DƯƠNGTrả lời ngắn`modulus_inverse_find_param`(6 câu)

21. Tính $|z|^2$ với $z = a + bi$, kết quả $a^2 + b^2$ là số nguyênTrả lời ngắn`modulus_squared_sa`(3 câu)