Các phép toán số phức

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Tính chất phép toán + liên hợp

$\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2}$.
$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.
$\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.
$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$.

§2. Công thức(3)

2.1

Phép cộng / trừ số phức

Cho $z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$: $$z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2) i.$$

2.2

Phép chia số phức

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \dfrac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}.$ Quy ước: $z_2 \neq 0$. Quy trình: nhân tử số và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu thành số thực.

2.3

Phép nhân số phức

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$ Nhớ: dùng $i^2 = -1$ khi khai triển.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Đưa số phức về dạng $a + bi$

Bước 1. Nếu biểu thức chứa phép chia: nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu. Bước 2. Khai triển + áp dụng $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \dots$ Bước 3. Gom phần thực và phần ảo: $a = $ tổng các số không có $i$, $b = $ tổng các hệ số đi kèm $i$. Bước 4. Kết quả: $z = a + bi$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ (số thực)

Khi cần khử $i$ ở mẫu hoặc tính bình phương modulus: $$z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2.$$ → Đặc biệt hữu ích khi tính chia $z_1/z_2$ và khi giải phương trình.

Bài tập

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệm`complex_add_subtract`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tính $(5 - 3i) + (2 - 3i)$.

A.$7 + 6i$

B.$7 - 6i$

C.$10 + 9i$

D.$3$

Câu 2.Tính $(3 - 3i) + (2 + 4i)$.

A.$5 - i$

B.$1 - 7i$

C.$5 + i$

D.$6 - 12i$

Câu 3.Tính $(-3 - 3i) + (5 - 5i)$.

A.$-15 + 15i$

B.$2 - 8i$

C.$2 + 8i$

D.$-8 + 2i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính $(-9 + 5i) + 2(-9 - 2i)$.

A.$-27 + 3i$

B.$-18 + 3i$

C.$9 + 9i$

D.$-27 + i$

Câu 5.Tính $(1 - 4i) - 2(3 + i)$.

A.$7 - 2i$

B.$-5 - 5i$

C.$-5 - 6i$

D.$-2 - 5i$

Câu 6.Tính $(3 - 2i) - 3(-7 + 8i)$.

A.$-18 + 22i$

B.$24 - 26i$

C.$10 - 10i$

D.$24 - 10i$

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`complex_argand_read_point`(9 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(4; 2) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$4 - 2i$

B.$2 + 4i$

C.$4 + 2i$

D.$-4 + 2i$

Câu 8.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(-4; -1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$-4 + i$

B.$-4 - i$

C.$4 - i$

D.$-1 - 4i$

Câu 9.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(4; 3) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$3 + 4i$

B.$-4 + 3i$

C.$4 + 3i$

D.$4 - 3i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(3; 2) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$3 + 2i$

B.$2 + 3i$

C.$3 - 2i$

D.$-3 + 2i$

Câu 11.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(-4; 3) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$3 - 4i$

B.$-4 + 3i$

C.$4 + 3i$

D.$-4 - 3i$

Câu 12.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(4; 3) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$-4 + 3i$

B.$3 + 4i$

C.$4 + 3i$

D.$4 - 3i$

Mẫu 3Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(-5; -2) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(-2;\, -5)$

B.$M'(2;\, -5)$

C.$M'(2;\, 5)$

D.$M'(-5;\, -2)$

Câu 14.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(5; -3) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(3;\, -5)$

B.$M'(5;\, -3)$

C.$M'(-3;\, 5)$

D.$M'(3;\, 5)$

Câu 15.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(5; -1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(5;\, -1)$

B.$M'(-1;\, 5)$

C.$M'(1;\, -5)$

D.$M'(1;\, 5)$

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệm`complex_conjugate_product`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho $z = -1 - 2i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 4$

B.$z \cdot \bar{z} = 2$

C.$z \cdot \bar{z} = 5$

D.$z \cdot \bar{z} = -3$

Câu 17.Cho $z = 5 + 6i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 60$

B.$z \cdot \bar{z} = -11$

C.$z \cdot \bar{z} = 61$

D.$z \cdot \bar{z} = 11$

Câu 18.Cho $z = -6 - 7i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 84$

B.$z \cdot \bar{z} = 85$

C.$z \cdot \bar{z} = 42$

D.$z \cdot \bar{z} = -13$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $z = (1 + 3i) - (2 + 7i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -5$

B.$z \cdot \bar{z} = -15$

C.$z \cdot \bar{z} = 17$

D.$z \cdot \bar{z} = 8$

Câu 20.Cho $z = (-5 + 2i) - (6 - 4i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -132$

B.$z \cdot \bar{z} = -5$

C.$z \cdot \bar{z} = 157$

D.$z \cdot \bar{z} = 85$

Câu 21.Cho $z = (6 + 2i) - (-5 - 7i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 20$

B.$z \cdot \bar{z} = 198$

C.$z \cdot \bar{z} = 202$

D.$z \cdot \bar{z} = 40$

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệm`complex_division`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính $\dfrac{10}{2 - i}$.

A.$2 + 4i$

B.$4 + 2i$

C.$4 - 2i$

D.$-4 - 2i$

Câu 23.Tính $\dfrac{3 - 15i}{3 + 3i}$.

A.$2 + 3i$

B.$-3 - 2i$

C.$-2 - 3i$

D.$-2 + 3i$

Câu 24.Tính $\dfrac{-7 - i}{3 - i}$.

A.$-2 + i$

B.$-1 - 2i$

C.$2 + i$

D.$-2 - i$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Tính $\dfrac{-7 - 6i}{-3 + 2i}$.

A.$\dfrac{32}{13} + \dfrac{9}{13}i$

B.$- \dfrac{9}{13} - \dfrac{32}{13}i$

C.$\dfrac{9}{13} + \dfrac{32}{13}i$

D.$\dfrac{9}{13} - \dfrac{32}{13}i$

Câu 26.Tính $\dfrac{1 - 5i}{-4 - 4i}$.

A.$- \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i$

B.$\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i$

C.$\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}i$

D.$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}i$

Câu 27.Tính $\dfrac{3 - 2i}{-5 + 4i}$.

A.$\dfrac{23}{41} + \dfrac{2}{41}i$

B.$- \dfrac{2}{41} - \dfrac{23}{41}i$

C.$- \dfrac{23}{41} + \dfrac{2}{41}i$

D.$- \dfrac{23}{41} - \dfrac{2}{41}i$

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệm`complex_multiply`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Tính $(-1 - 3i) \cdot (4 - 2i)$.

A.$-10 - 10i$

B.$-10 + 14i$

C.$-4 + 6i$

D.$2 - 10i$

Câu 29.Tính $(-5 - 2i) \cdot (3 - 3i)$.

A.$-9 + 9i$

B.$-21 + 21i$

C.$-15 + 6i$

D.$-21 + 9i$

Câu 30.Tính $(-1 - 2i) \cdot (-1 - 3i)$.

A.$-5 + 5i$

B.$7 + 5i$

C.$-5 + i$

D.$1 + 6i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tính $(-3 - 5i) \cdot (3 - 7i)$.

A.$-44 + 36i$

B.$-44 + 6i$

C.$-9 + 35i$

D.$26 + 6i$

Câu 32.Tính $(7 - i) \cdot (-4 + 9i)$.

A.$-19 + 67i$

B.$-37 + 67i$

C.$-28 - 9i$

D.$-19 + 59i$

Câu 33.Tính $(8 + 3i) \cdot (-3 + i)$.

A.$-27 + 17i$

B.$-27 - i$

C.$-24 + 3i$

D.$-21 - i$

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệm`complex_quotient_power_moivre`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 34.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{3925}$.

A.$1$

B.$-i$

C.$i$

D.$-1$

Câu 35.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 - i}{1 + i}\right)^{3873}$.

A.$1$

B.$i$

C.$-i$

D.$-1$

Câu 36.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{2728}$.

A.$-i$

B.$-1$

C.$i$

D.$1$

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệm`complex_recover_from_sum_product`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = -4$ và $z \cdot \bar{z} = 40$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$-2 + 36i$

B.$-2 - 6i$

C.$-2 + 6i$

D.$-4 + 6i$

Câu 38.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = -2$ và $z \cdot \bar{z} = 10$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$-1 + 3i$

B.$-1 - 3i$

C.$-1 + 9i$

D.$-2 + 3i$

Câu 39.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = -6$ và $z \cdot \bar{z} = 18$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$-3 + 9i$

B.$-3 - 3i$

C.$-3 + 3i$

D.$-6 + 3i$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = 2 - i$ và $z - w = 6 - 3i$. Tìm $z$.

A.$8 - 4i$

B.$4 - 2i$

C.$2 - i$

D.$-2 + i$

Câu 41.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = -3 - 6i$ và $z - w = 5 - 4i$. Tìm $z$.

A.$1 - 5i$

B.$4 + i$

C.$2 - 10i$

D.$-4 - i$

Câu 42.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = 8 - 3i$ và $z - w = -4 - 5i$. Tìm $z$.

A.$2 - 4i$

B.$4 - 8i$

C.$-6 - i$

D.$6 + i$

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệm`complex_square`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Tính $(3 + i)^2$.

A.$9 + i$

B.$8 + 6i$

C.$8 + 3i$

D.$10 + 6i$

Câu 44.Tính $(-1 + 3i)^2$.

A.$1 + 9i$

B.$10 - 6i$

C.$-8 - 6i$

D.$-8 - 3i$

Câu 45.Tính $(-2 + i)^2$.

A.$3 - 4i$

B.$3 - 2i$

C.$5 - 4i$

D.$4 + i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho $z = -3 - 2i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$13 - 12i$

B.$5 - 6i$

C.$9 + 4i$

D.$5 - 12i$

Câu 47.Cho $z = -5 - 3i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$16 - 15i$

B.$25 + 9i$

C.$16 - 30i$

D.$34 - 30i$

Câu 48.Cho $z = 3 + 2i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$9 + 4i$

B.$13 - 12i$

C.$5 - 6i$

D.$5 - 12i$

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệm`power_of_i`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 49.Tính $i^{26}$.

A.$i^{26} = 1$

B.$i^{26} = -i$

C.$i^{26} = i$

D.$i^{26} = -1$

Câu 50.Tính $i^{26}$.

A.$i^{26} = -1$

B.$i^{26} = 1$

C.$i^{26} = i$

D.$i^{26} = -i$

Câu 51.Tính $i^{18}$.

A.$i^{18} = -i$

B.$i^{18} = 1$

C.$i^{18} = i$

D.$i^{18} = -1$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Tính $i^{111}$.

A.$i^{111} = i$

B.$i^{111} = -i$

C.$i^{111} = -1$

D.$i^{111} = 1$

Câu 53.Tính $i^{70}$.

A.$i^{70} = -i$

B.$i^{70} = -1$

C.$i^{70} = i$

D.$i^{70} = 1$

Câu 54.Tính $i^{171}$.

A.$i^{171} = -1$

B.$i^{171} = -i$

C.$i^{171} = 1$

D.$i^{171} = i$

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Sai`complex_arith_facts`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 55.Cho hai số phức $z = 4 + i$ và $w = 7 + 7i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z + w = 11 + 8i$.

b)$\bar{z} = 4 - i$.

c)$z + w = 11 - 6i$.

d)$\bar{z} = -4 + i$.

Câu 56.Cho hai số phức $z = 6 + 6i$ và $w = 2 - i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\bar{z} = 6 - 6i$.

b)$\bar{z} = -6 + 6i$.

c)$z + w = 8 + 7i$.

d)$z - w = 8 + 7i$.

Câu 57.Cho hai số phức $z = -5 + 4i$ và $w = -7 - 6i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\bar{z} = -5 - 4i$.

b)$z - w = 2 + 10i$.

c)$z - w = -12 + 10i$.

d)$z + w = -12 - 2i$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hai số phức $z = 7 + i$ và $w = 4 + i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z \cdot w = 29 + 11i$.

b)$z - \bar{z} = 2i$.

c)$z \cdot w = 28 + i$.

d)$z \cdot \bar{z} = 48$.

Câu 59.Cho hai số phức $z = 4 - 4i$ và $w = 1 + 6i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z \cdot w = 28 + 20i$.

b)$z \cdot w = -20 + 20i$.

c)$z - \bar{z} = -8i$.

d)$z \cdot w = 4 - 24i$.

Câu 60.Cho hai số phức $z = -5 + 3i$ và $w = -5 - i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z + \bar{z} = -10$.

b)$z \cdot w = 25 - 3i$.

c)$z \cdot w = 28 - 10i$.

d)$z - \bar{z} = 6i$.

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Sai`complex_facts2`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 61.Cho số phức $z = 1 + 5i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^2 = -1$.

b)$i^3 = -i$.

c)$z + \bar{z} = 2$ (số thực).

d)$i^4 = -1$.

Câu 62.Cho số phức $z = 1 + 2i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^2 = -1$.

b)$i^3 = -i$.

c)$i^4 = 1$.

d)$i^3 = i$.

Câu 63.Cho số phức $z = 3 + 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)Phép cộng số phức có tính giao hoán: $z + w = w + z$.

b)$i^4 = -1$.

c)$i^3 = i$.

d)$i^3 = -i$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Cho số phức $z = -4 + 5i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^{33} = -i$.

b)$i^{24} = 1$.

c)$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 41$.

d)$i^{39} = -i$.

Câu 65.Cho số phức $z = -6 + 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$(1-i)^2 = 2i$.

b)$i^{17} = -i$.

c)$(1+i)^2 = 2i$.

d)Với mọi số tự nhiên chẵn $n$, $i^n = 1$.

Câu 66.Cho số phức $z = -6 + 6i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^{40} = 1$.

b)$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 72$.

c)$(1+i)(1-i) = 2$.

d)$i^{25} = -i$.

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Sai`complex_solve_real_imaginary_param`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 67.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m + 1)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 4$ hoặc $m = -4$.

b)$z$ là số thuần ảo khi $m = -1$.

c)$z$ là số thực với mọi $m$.

d)Tại $m = 0$, $z = -16 + i$.

Câu 68.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m - 2)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực với mọi $m$.

b)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 4$ hoặc $m = -4$.

c)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 2$.

d)$z$ là số thuần ảo khi $m = 2$.

Câu 69.Cho số phức $z = (m^2 - 9) + (m + 4)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tại $m = 0$, $z = -9 + 4i$.

b)$z$ là số thuần ảo khi $m = -4$.

c)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = -4$.

d)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 3$ hoặc $m = -3$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Cho số phức $z = (m^2 - 1) + (m + 4)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Không có giá trị $m$ nào để $z = 0$.

b)Có đúng một giá trị $m$ để $z = 0$.

c)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 1$ hoặc $m = -1$.

d)$z$ là số thực với mọi $m$.

Câu 71.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m + 2)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực với mọi $m$.

b)$z$ là số thuần ảo khi $m = -2$.

c)Tại $m = 0$, $z = -16 + 2i$.

d)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = -2$.

Câu 72.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m - 3)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thuần ảo khi $m = 3$.

b)Không có giá trị $m$ nào để $z = 0$.

c)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 3$.

d)$z$ là số thực với mọi $m$.

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắn`complex_arithmetic_real_part`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 73.Cho $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 4 - 4i$. Tính phần thực của $z_1 + z_2$.

Câu 74.Cho $z_1 = -1 - 5i$, $z_2 = 2 + 3i$. Tính phần thực của $z_1 - z_2$.

Câu 75.Cho $z_1 = 3 - i$, $z_2 = 3 + 5i$. Tính phần thực của $z_1 + z_2$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Cho $z_1 = -3 + 5i$, $z_2 = 6 - i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

Câu 77.Cho $z_1 = 6 - 2i$, $z_2 = -5 - 5i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

Câu 78.Cho $z_1 = -2 - 3i$, $z_2 = -5 - 6i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắn`complex_conjugate_imag_part`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 79.Cho $z = 1 + 2i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

Câu 80.Cho $z = -3 + 2i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

Câu 81.Cho $z = 3 + 6i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`complex_impedance_ac_circuit`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 82.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 9 Ω, cảm kháng Z_L = 17 Ω, dung kháng Z_C = 5 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 83.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 6 Ω, cảm kháng Z_L = 2 Ω, dung kháng Z_C = 10 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 84.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 20 Ω, cảm kháng Z_L = 25 Ω, dung kháng Z_C = 4 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 85.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 7 Ω. Cảm kháng gấp 5 lần dung kháng (Z_L = 5·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 6 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 86.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 9 Ω. Cảm kháng gấp 5 lần dung kháng (Z_L = 5·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 3 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 87.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 5 Ω. Cảm kháng gấp 3 lần dung kháng (Z_L = 3·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 6 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắn`complex_solve_linear_equation`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 88.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-1 - 2i)z = 7 - 6i$. Nhập phần ảo của $z$.

Câu 89.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-3 + i)z = 2 - 4i$. Nhập phần thực của $z$.

Câu 90.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(2 - 2i)z = -4 - 8i$. Nhập phần ảo của $z$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 91.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-1 + i)z + (-1 - 2i) = -9$. Nhập phần thực của $z$.

Câu 92.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-1 + i)z + (2 - 5i) = 9 - 8i$. Nhập phần ảo của $z$.

Câu 93.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-2 - 3i)z + (5 - 2i) = 18 - 15i$. Nhập phần thực của $z$.

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Công thức(3)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệmcomplex_add_subtract(6 câu)

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệmcomplex_argand_read_point(9 câu)

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệmcomplex_conjugate_product(6 câu)

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệmcomplex_division(6 câu)

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệmcomplex_multiply(6 câu)

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệmcomplex_quotient_power_moivre(3 câu)

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệmcomplex_recover_from_sum_product(6 câu)

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệmcomplex_square(6 câu)

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệmpower_of_i(6 câu)

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Saicomplex_arith_facts(6 câu)

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Saicomplex_facts2(6 câu)

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Saicomplex_solve_real_imaginary_param(6 câu)

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắncomplex_arithmetic_real_part(6 câu)

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắncomplex_conjugate_imag_part(3 câu)

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắncomplex_impedance_ac_circuit(6 câu)

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắncomplex_solve_linear_equation(6 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệm`complex_add_subtract`(6 câu)

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`complex_argand_read_point`(9 câu)

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệm`complex_conjugate_product`(6 câu)

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệm`complex_division`(6 câu)

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệm`complex_multiply`(6 câu)

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệm`complex_quotient_power_moivre`(3 câu)

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệm`complex_recover_from_sum_product`(6 câu)

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệm`complex_square`(6 câu)

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệm`power_of_i`(6 câu)

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Sai`complex_arith_facts`(6 câu)

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Sai`complex_facts2`(6 câu)

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Sai`complex_solve_real_imaginary_param`(6 câu)

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắn`complex_arithmetic_real_part`(6 câu)

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắn`complex_conjugate_imag_part`(3 câu)

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`complex_impedance_ac_circuit`(6 câu)

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắn`complex_solve_linear_equation`(6 câu)