Hàm số

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Cho $D \subset \mathbb{R}, D \neq \emptyset$. Hàm số $f: D \to \mathbb{R}$ là quy tắc gán mỗi $x \in D$ với duy nhất một số $y = f(x) \in \mathbb{R}$.

$D$: tập xác định (TXĐ).
$T = \{f(x) \mid x \in D\}$: tập giá trị.

1.2

Hàm chẵn / lẻ

Cho $f$ có TXĐ $D$ đối xứng qua 0 (tức $\forall x \in D, -x \in D$):

$f$ chẵn: $f(-x) = f(x)$. Đồ thị đối xứng qua $Oy$.
$f$ lẻ: $f(-x) = -f(x)$. Đồ thị đối xứng qua $O$.

1.3

Hàm đồng biến / nghịch biến

Cho $f$ xác định trên $K$:

Đồng biến trên $K$: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
Nghịch biến: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

§2. Phương pháp(2)

2.1

Tìm tập xác định

TXĐ = các giá trị $x$ làm biểu thức $f(x)$ có nghĩa. Điều kiện cho các dạng phổ biến:

$\sqrt{u(x)}$ (căn bậc chẵn): $u(x) \geq 0$.
$\dfrac{1}{u(x)}$: $u(x) \neq 0$.
$\dfrac{1}{\sqrt{u(x)}}$: $u(x) > 0$.
$\log u(x)$: $u(x) > 0$.
$\tan u(x)$: $u(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Bước: lập + giải hệ các điều kiện → TXĐ.

2.2

Xét tính đơn điệu

Cách 1 — Định nghĩa: Lấy $x_1, x_2 \in K$ với $x_1 < x_2$. Xét dấu của $f(x_2) - f(x_1)$:

Dương → đồng biến. Âm → nghịch biến.

Cách 2 — Tỉ số biến thiên: $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. $T > 0 \forall$ → đồng biến. Cách 3 — Đạo hàm (lớp 11, 12): $f'(x) > 0$ trên $K$ → đồng biến.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: kiểm tra chẵn/lẻ

Bước 1: TXĐ có đối xứng qua 0 không? Nếu KHÔNG → không chẵn, không lẻ. Bước 2: Tính $f(-x)$ và so:

$f(-x) = f(x)$: chẵn.
$f(-x) = -f(x)$: lẻ.
Cả 2 đều sai: không chẵn cũng không lẻ.

Bài tập

1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{p(x)}{x - a}$Trắc nghiệm`domain_rational_function`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - (12)}$.

A.$D = \mathbb{R} \setminus \{12\}$

B.$D = \{12\}$

C.$D = \mathbb{R}$

D.$D = \mathbb{R} \setminus \{-12\}$

Câu 2.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - (11)}$.

A.$D = \mathbb{R}$

B.$D = \mathbb{R} \setminus \{-11\}$

C.$D = \{11\}$

D.$D = \mathbb{R} \setminus \{11\}$

Câu 3.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - (10)}$.

A.$D = \mathbb{R}$

B.$D = \mathbb{R} \setminus \{10\}$

C.$D = \mathbb{R} \setminus \{-10\}$

D.$D = \{10\}$

2. Tập xác định của $y = \sqrt{ax + b}$ là $\{x \geq -b/a\}$ (với $a > 0$)Trắc nghiệm`domain_sqrt_linear`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{4x + 4}$.

A.$D = [-1; +\infty)$

B.$D = \mathbb{R}$

C.$D = (-\infty; -1]$

D.$D = (-1; +\infty)$

Câu 5.Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x - 8}$.

A.$D = (-\infty; 8]$

B.$D = \mathbb{R}$

C.$D = [8; +\infty)$

D.$D = (8; +\infty)$

Câu 6.Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{5x - 9}$.

A.$D = (-\infty; \dfrac{9}{5}]$

B.$D = [\dfrac{9}{5}; +\infty)$

C.$D = \mathbb{R}$

D.$D = (\dfrac{9}{5}; +\infty)$

3. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x - p}}{x - q}$ (vừa căn vừa phân thức)Trắc nghiệm`domain_sqrt_over_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x + 5}}{x + 1}$.

A.$D = [-5; +\infty)$

B.$D = [-5; -1) \cup (-1; +\infty)$

C.$D = (-5; -1) \cup (-1; +\infty)$

D.$D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

Câu 8.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - (6)}$.

A.$D = \mathbb{R} \setminus \{6\}$

B.$D = [-2; 6) \cup (6; +\infty)$

C.$D = (-2; 6) \cup (6; +\infty)$

D.$D = [-2; +\infty)$

Câu 9.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x - (4)}}{x - (5)}$.

A.$D = [4; 5) \cup (5; +\infty)$

B.$D = [4; +\infty)$

C.$D = \mathbb{R} \setminus \{5\}$

D.$D = (4; 5) \cup (5; +\infty)$

4. Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{px + q}{\sqrt{x^2 - 2mx + (sm + t)}}$ xác định với mọi $x$Trắc nghiệm`domain_sqrt_param_all_real`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2mx + 9}}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A.$m \in \{-3; 3\}$

B.$-3 < m < 3$

C.$m < -3 \text{ hoặc } m > 3$

D.$-3 \leq m \leq 3$

Câu 11.Cho hàm số $y = \dfrac{-x - 3}{\sqrt{x^2 - 2mx + (-3m)}}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A.$-3 < m < 0$

B.$m \in \{-3; 0\}$

C.$m < -3 \text{ hoặc } m > 0$

D.$-3 \leq m \leq 0$

Câu 12.Cho hàm số $y = \dfrac{-2x - 1}{\sqrt{x^2 - 2mx + 4}}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A.$m < -2 \text{ hoặc } m > 2$

B.$-2 \leq m \leq 2$

C.$-2 < m < 2$

D.$m \in \{-2; 2\}$

5. Cho hàm số bậc hai đơn giản $y = ax^2$ — xét đặc điểmĐúng / Sai`qf_intro_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hàm số $y = 2x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đồ thị $y = 2x^2$ đi qua gốc toạ độ.

b)Bề lõm của parabol hướng lên trên.

c)Hàm số $y = 2x^2$ là hàm số chẵn.

d)Hàm số bậc hai có vô số cực trị.

Câu 14.Cho hàm số $y = -x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số bậc hai có vô số cực trị.

b)Bề lõm của parabol hướng lên trên.

c)Hàm số $y = -x^2$ là hàm số chẵn.

d)Đồ thị $y = -x^2$ đi qua gốc toạ độ.

Câu 15.Cho hàm số $y = -x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số bậc hai có vô số cực trị.

b)$y = -x^2$ là hàm số bậc hai.

c)Đồ thị $y = -x^2$ có đỉnh là gốc toạ độ $O(0; 0)$.

d)Hàm số $y = -x^2$ là hàm số chẵn.

6. Cho hàm $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — kiểm tra nhận dạng và đặc điểm chungĐúng / Sai`quad_func_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $y = -2x^2 - 3x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol.

b)$f(0) = 1$.

c)Hàm số bậc hai luôn đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.

d)Khi $a = -2$, parabol có bề lõm hướng xuống.

Câu 17.Cho hàm số $y = 3x^2 + 2x - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$.

b)Khi $a = 3$, parabol có bề lõm hướng lên.

c)Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol.

d)Hàm số bậc hai luôn đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.

Câu 18.Cho hàm số $y = x^2 - 3x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số bậc hai luôn đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.

b)$f(0) = -2$.

c)Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol.

d)$f(1) = -4$.

7. Tìm ngưỡng dưới $a$ để $\sqrt{x - a}$ xác định ($x \geq a$, ghi $a$)Trả lời ngắn`domain_sqrt_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Hàm số $f(x) = \sqrt{x - (3)}$ xác định khi $x \geq c$. Ghi giá trị $c$.

Câu 20.Hàm số $f(x) = \sqrt{x - (8)}$ xác định khi $x \geq c$. Ghi giá trị $c$.

Câu 21.Hàm số $f(x) = \sqrt{x - (7)}$ xác định khi $x \geq c$. Ghi giá trị $c$.

8. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f(k)$Trả lời ngắn`evaluate_quad`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = -2x^2 - x + 2$. Tính $f(-3)$.

Câu 23.Cho hàm số $f(x) = -2x^2 - 3x - 3$. Tính $f(-2)$.

Câu 24.Cho hàm số $f(x) = x^2 - 5x + 3$. Tính $f(3)$.

Hàm số — tập xác định

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{p(x)}{x - a}$Trắc nghiệmdomain_rational_function(3 câu)

2. Tập xác định của $y = \sqrt{ax + b}$ là $\{x \geq -b/a\}$ (với $a > 0$)Trắc nghiệmdomain_sqrt_linear(3 câu)

3. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x - p}}{x - q}$ (vừa căn vừa phân thức)Trắc nghiệmdomain_sqrt_over_linear(3 câu)

4. Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{px + q}{\sqrt{x^2 - 2mx + (sm + t)}}$ xác định với mọi $x$Trắc nghiệmdomain_sqrt_param_all_real(3 câu)

5. Cho hàm số bậc hai đơn giản $y = ax^2$ — xét đặc điểmĐúng / Saiqf_intro_facts2(3 câu)

6. Cho hàm $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — kiểm tra nhận dạng và đặc điểm chungĐúng / Saiquad_func_intro_facts(3 câu)

7. Tìm ngưỡng dưới $a$ để $\sqrt{x - a}$ xác định ($x \geq a$, ghi $a$)Trả lời ngắndomain_sqrt_quadratic(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f(k)$Trả lời ngắnevaluate_quad(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{p(x)}{x - a}$Trắc nghiệm`domain_rational_function`(3 câu)

2. Tập xác định của $y = \sqrt{ax + b}$ là $\{x \geq -b/a\}$ (với $a > 0$)Trắc nghiệm`domain_sqrt_linear`(3 câu)

3. Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x - p}}{x - q}$ (vừa căn vừa phân thức)Trắc nghiệm`domain_sqrt_over_linear`(3 câu)

4. Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{px + q}{\sqrt{x^2 - 2mx + (sm + t)}}$ xác định với mọi $x$Trắc nghiệm`domain_sqrt_param_all_real`(3 câu)

5. Cho hàm số bậc hai đơn giản $y = ax^2$ — xét đặc điểmĐúng / Sai`qf_intro_facts2`(3 câu)

6. Cho hàm $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — kiểm tra nhận dạng và đặc điểm chungĐúng / Sai`quad_func_intro_facts`(3 câu)

7. Tìm ngưỡng dưới $a$ để $\sqrt{x - a}$ xác định ($x \geq a$, ghi $a$)Trả lời ngắn`domain_sqrt_quadratic`(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f(k)$Trả lời ngắn`evaluate_quad`(3 câu)