Dấu tam thức bậc hai

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cho $f(x) = a x^2 + b x + c$ ($a \neq 0$), $\Delta = b^2 - 4 a c$:

$\Delta < 0$: $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$.
$\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$; $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
$\Delta > 0$: gọi $x_1 < x_2$ là 2 nghiệm.

+ $f(x)$ trái dấu $a$ khi $x \in (x_1; x_2)$. + $f(x)$ cùng dấu $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$.

§2. Công thức(1)

2.1

Tam thức luôn dương / luôn âm

$$f(x) > 0 \, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}.$$ $$f(x) < 0 \, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}.$$ $$f(x) \geq 0 \, \forall x \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}.$$ $$f(x) \leq 0 \, \forall x \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}.$$

§3. Phương pháp(2)

3.1

Giải bất phương trình bậc 2

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, giải $f(x) > 0$ (hoặc $<, \leq, \geq$): Bước 1. Tính $\Delta$. Bước 2. Xét dấu dựa trên định lý:

$\Delta < 0$: $f(x)$ cùng dấu $a \forall x$.
$\Delta = 0$: cùng dấu $a$ trừ điểm $-b/2a$.
$\Delta > 0$: lập bảng xét dấu với 2 nghiệm $x_1, x_2$.

Bước 3. Đọc nghiệm theo yêu cầu.

3.2

Bảng xét dấu (trường hợp $\Delta > 0$)

Với $a > 0, x_1 < x_2$:

$x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
$f(x)$	$+$	$0 \, -$	$0 \, +$

Nguyên tắc: trong trái, ngoài cùng với $a$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: bù bình phương để xét dấu

Đưa $f(x) = a x^2 + b x + c$ về dạng $a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$. Bình phương luôn $\geq 0$ → dấu của $f$ phụ thuộc dấu của $a$ và $-\dfrac{\Delta}{4a}$. → Cách nhanh để kiểm tra 'luôn dương' / 'luôn âm'.

Bài tập

1. VD cao: tìm $m$ để $f(x) = x^2 + 2(m-k)x + m^2 + c > 0\ \forall x.$Trắc nghiệm`positive_quadratic_with_parameter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2 + 2(m - 2)x + m^2 - 3 > 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$

A.$m > \dfrac{7}{4}$

B.$m \geq \dfrac{7}{4}$

C.$m \neq \dfrac{7}{4}$

D.$m < \dfrac{7}{4}$

Câu 2.Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2 + 2(m - 1)x + m^2 + 0 > 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$

A.$m \geq \dfrac{1}{2}$

B.$m \neq \dfrac{1}{2}$

C.$m > \dfrac{1}{2}$

D.$m < \dfrac{1}{2}$

Câu 3.Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2 + 2(m - 2)x + m^2 + 1 > 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$

A.$m > \dfrac{3}{4}$

B.$m \neq \dfrac{3}{4}$

C.$m \geq \dfrac{3}{4}$

D.$m < \dfrac{3}{4}$

2. Cho tam thức có $\Delta < 0$ → cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x$Trắc nghiệm`quadratic_always_sign`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho tam thức $f(x) = -2x^2 - 1$ với $\Delta = -8 < 0$. Khẳng định nào đúng?

A.$f(x) > 0$ với mọi $x$

B.$f(x)$ đổi dấu khi $x$ thay đổi

C.$f(x) < 0$ với mọi $x$

D.$f(x) \geq 0$ với mọi $x$

Câu 5.Cho tam thức $f(x) = x^2 + 8$ với $\Delta = -32 < 0$. Khẳng định nào đúng?

A.$f(x)$ đổi dấu khi $x$ thay đổi

B.$f(x) \geq 0$ với mọi $x$

C.$f(x) < 0$ với mọi $x$

D.$f(x) > 0$ với mọi $x$

Câu 6.Cho tam thức $f(x) = x^2 + 3$ với $\Delta = -12 < 0$. Khẳng định nào đúng?

A.$f(x) > 0$ với mọi $x$

B.$f(x) \geq 0$ với mọi $x$

C.$f(x) < 0$ với mọi $x$

D.$f(x)$ đổi dấu khi $x$ thay đổi

3. Cho bảng xét dấu của tam thức bậc hai, đọc tập nghiệm bất phương trìnhTrắc nghiệm`read_sign_table`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho tam thức bậc hai $f(x)$ có bảng xét dấu như hình. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x) > 0$ là:

Bảng xét dấu f(x) với nghiệm 2, 3

A.$x < 2\text{ hoặc }x > 3$

B.$2 \leq x \leq 3$

C.$x = 2\text{ hoặc }x = 3$

D.$x \leq 2$

Câu 8.Cho tam thức bậc hai $f(x)$ có bảng xét dấu như hình. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x) < 0$ là:

Bảng xét dấu f(x) với nghiệm -4, -3

A.$-4 < x < -3$

B.$x = -4\text{ hoặc }x = -3$

C.$x \leq -4$

D.$-4 \leq x \leq -3$

Câu 9.Cho tam thức bậc hai $f(x)$ có bảng xét dấu như hình. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x) < 0$ là:

Bảng xét dấu f(x) với nghiệm -5, -1

A.$-5 < x < -1$

B.$x = -5\text{ hoặc }x = -1$

C.$-5 \leq x \leq -1$

D.$x \leq -5$

4. Tính dấu của $f(x) = ax^2 + bx + c$ tại $x_0$ — kiểm tra đơn giảnTrắc nghiệm`sign_at_specific_point`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Cho $f(x) = x^2 - 3x + 2$ và $x_0 = 3$. Tìm dấu của $f(x_0)$.

A.$f(x_0) = 2$

B.$f(x_0) < 0$

C.$f(x_0) > 0$

D.$f(x_0) = 0$

Câu 11.Cho $f(x) = x^2 - 2x + 1$ và $x_0 = -3$. Tìm dấu của $f(x_0)$.

A.$f(x_0) = 0$

B.$f(x_0) < 0$

C.$f(x_0) = 16$

D.$f(x_0) > 0$

Câu 12.Cho $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ và $x_0 = -1$. Tìm dấu của $f(x_0)$.

A.$f(x_0) = 2$

B.$f(x_0) = 0$

C.$f(x_0) > 0$

D.$f(x_0) < 0$

5. $\Delta < 0, a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x$Trắc nghiệm`sign_when_delta_negative`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = -2x^2 + x - 1$.

A.Luôn âm

B.Đổi dấu

C.Luôn dương

D.Bằng 0

Câu 14.Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = x^2 - 2x + 5$.

A.Luôn âm

B.Đổi dấu

C.Bằng 0

D.Luôn dương

Câu 15.Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = -2x^2 + x - 1$.

A.Luôn âm

B.Bằng 0

C.Đổi dấu

D.Luôn dương

6. Giải bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c < 0$ (hoặc $> 0$) khi $\Delta > 0$Trắc nghiệm`solve_quadratic_inequality`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Giải bất phương trình $-x^2 + 2x + 8 < 0$.

A.$x < -2$

B.$x > 4$

C.$-2 \leq x \leq 4$

D.$x < -2\text{ hoặc }x > 4$

Câu 17.Giải bất phương trình $2x^2 + 22x + 60 > 0$.

A.$-6 \leq x \leq -5$

B.$x < -6\text{ hoặc }x > -5$

C.$x < -6$

D.$x > -5$

Câu 18.Giải bất phương trình $-x^2 - 6x + 7 > 0$.

A.$-7 < x < 1$

B.$x < -7$

C.$x > 1$

D.$-7 \leq x \leq 1$

7. Giải bất phương trình thương $\dfrac{(x - r_1)(x - r_2)}{x - r_3} > 0$ (hoặc $< 0$)Trắc nghiệm`solve_quotient_of_quadratic_inequality`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Giải bất phương trình $\dfrac{x^2 + x - 6}{x - (0)} < 0$.

A.$S = (-\infty; -3) \cup (0; 2)$

B.$S = (-\infty; -3] \cup [0; 2]$

C.$S = (-3; 0) \cup (2; +\infty)$

D.$S = (-3; 2)$

Câu 20.Giải bất phương trình $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x + 1} > 0$.

A.$S = [-1; 1] \cup [4; +\infty)$

B.$S = (-\infty; -1) \cup (1; 4)$

C.$S = (-1; 1) \cup (4; +\infty)$

D.$S = (1; 4)$

Câu 21.Giải bất phương trình $\dfrac{x^2 + 3x - 4}{x + 1} > 0$.

A.$S = (-4; -1) \cup (1; +\infty)$

B.$S = (-4; 1)$

C.$S = [-4; -1] \cup [1; +\infty)$

D.$S = (-\infty; -4) \cup (-1; 1)$

8. Cho tam thức có 2 nghiệm phân biệt cụ thể — bảng xét dấuĐúng / Sai`sign_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam thức $f(x) = 2(x + 1)(x - 2)$ (có 2 nghiệm phân biệt $x_1 = -1, x_2 = 2$, hệ số $a = 2$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(x) < 0$ với mọi $x < -1$ hoặc $x > 2$.

b)$f(3) > 0$ (với $x = 3 > x_2$).

c)$f(x) = 2\cdot(x + 1)(x-2)$ có 2 nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$.

d)$f(0.5) > 0$ (với $x = 0.5$ nằm giữa hai nghiệm).

Câu 23.Cho tam thức $f(x) = (x - 1)(x - 3)$ (có 2 nghiệm phân biệt $x_1 = 1, x_2 = 3$, hệ số $a = 1$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(x) = \cdot(x-1)(x-3)$ có 2 nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$.

b)$f(4) > 0$ (với $x = 4 > x_2$).

c)Khi $\Delta > 0$, tam thức trái dấu với $a$ trong khoảng giữa hai nghiệm và cùng dấu với $a$ ngoài khoảng đó.

d)$f(2) > 0$ (với $x = 2$ nằm giữa hai nghiệm).

Câu 24.Cho tam thức $f(x) = 2(x + 1)(x - 2)$ (có 2 nghiệm phân biệt $x_1 = -1, x_2 = 2$, hệ số $a = 2$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(x) < 0$ với mọi $x < -1$ hoặc $x > 2$.

b)$f(x) = 2\cdot(x + 1)(x-2)$ có 2 nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$.

c)$f(3) > 0$ (với $x = 3 > x_2$).

d)Khi $\Delta > 0$, tam thức trái dấu với $a$ trong khoảng giữa hai nghiệm và cùng dấu với $a$ ngoài khoảng đó.

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(2)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. VD cao: tìm $m$ để $f(x) = x^2 + 2(m-k)x + m^2 + c > 0\ \forall x.$Trắc nghiệmpositive_quadratic_with_parameter(3 câu)

2. Cho tam thức có $\Delta < 0$ → cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x$Trắc nghiệmquadratic_always_sign(3 câu)

3. Cho bảng xét dấu của tam thức bậc hai, đọc tập nghiệm bất phương trìnhTrắc nghiệmread_sign_table(3 câu)

4. Tính dấu của $f(x) = ax^2 + bx + c$ tại $x_0$ — kiểm tra đơn giảnTrắc nghiệmsign_at_specific_point(3 câu)

5. $\Delta < 0, a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x$Trắc nghiệmsign_when_delta_negative(3 câu)

6. Giải bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c < 0$ (hoặc $> 0$) khi $\Delta > 0$Trắc nghiệmsolve_quadratic_inequality(3 câu)

7. Giải bất phương trình thương $\dfrac{(x - r_1)(x - r_2)}{x - r_3} > 0$ (hoặc $< 0$)Trắc nghiệmsolve_quotient_of_quadratic_inequality(3 câu)

8. Cho tam thức có 2 nghiệm phân biệt cụ thể — bảng xét dấuĐúng / Saisign_facts2(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: tìm $m$ để $f(x) = x^2 + 2(m-k)x + m^2 + c > 0\ \forall x.$Trắc nghiệm`positive_quadratic_with_parameter`(3 câu)

2. Cho tam thức có $\Delta < 0$ → cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x$Trắc nghiệm`quadratic_always_sign`(3 câu)

3. Cho bảng xét dấu của tam thức bậc hai, đọc tập nghiệm bất phương trìnhTrắc nghiệm`read_sign_table`(3 câu)

4. Tính dấu của $f(x) = ax^2 + bx + c$ tại $x_0$ — kiểm tra đơn giảnTrắc nghiệm`sign_at_specific_point`(3 câu)

5. $\Delta < 0, a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x$Trắc nghiệm`sign_when_delta_negative`(3 câu)

6. Giải bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c < 0$ (hoặc $> 0$) khi $\Delta > 0$Trắc nghiệm`solve_quadratic_inequality`(3 câu)

7. Giải bất phương trình thương $\dfrac{(x - r_1)(x - r_2)}{x - r_3} > 0$ (hoặc $< 0$)Trắc nghiệm`solve_quotient_of_quadratic_inequality`(3 câu)

8. Cho tam thức có 2 nghiệm phân biệt cụ thể — bảng xét dấuĐúng / Sai`sign_facts2`(3 câu)