Đồ thị hàm số bậc hai — toạ độ đỉnh — Lớp 10

Công thức

§1. Tính chất(2)

1.1

Hình dạng đồ thị $y = a x^2$

$a > 0$: parabol mở lên trên, đỉnh $O$ là điểm thấp nhất.
$a < 0$: parabol mở xuống dưới, đỉnh $O$ là điểm cao nhất.
$|a|$ càng lớn → parabol càng hẹp; $|a|$ nhỏ → parabol bè ra.

1.2

Tịnh tiến parabol

Đồ thị $y = a x^2 + b x + c = a(x - x_I)^2 + y_I$ thu được từ $y = a x^2$ bằng:

Tịnh tiến sang phải $x_I$ đơn vị (nếu $x_I > 0$) hoặc sang trái $|x_I|$ (nếu $x_I < 0$).
Sau đó tịnh tiến lên $y_I$ (nếu $y_I > 0$) hoặc xuống $|y_I|$ (nếu $y_I < 0$).

§2. Phương pháp(2)

2.1

Quy trình vẽ parabol

Bước 1. Xác định toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$. Bước 2. Vẽ trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$. Bước 3. Tìm giao với $Oy$: điểm $(0; c)$. Bước 4. Tìm giao với $Ox$ (nếu có): nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$. Bước 5. Đối xứng các điểm đã có qua trục đối xứng → thêm điểm phụ. Bước 6. Nối thành parabol mở lên ($a > 0$) hoặc xuống ($a < 0$).

2.2

Tìm $y = ax^2 + bx + c$ từ điều kiện cho trước

Thường có 3 dạng dữ kiện: 1. Biết 3 điểm: thay 3 toạ độ → hệ 3 phương trình theo $(a, b, c)$. 2. Biết đỉnh $I$ + 1 điểm: dùng dạng $y = a(x - x_I)^2 + y_I$, thay điểm → tìm $a$. 3. Biết giao với $Ox$ + 1 điểm: dùng dạng $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, thay điểm → tìm $a$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng dạng đỉnh khi đối xứng

Khi bài cho đỉnh hoặc trục đối xứng: luôn dùng dạng đỉnh $y = a(x - x_I)^2 + y_I$ — chỉ còn 1 ẩn số $a$, dễ tìm hơn dạng $ax^2 + bx + c$ (3 ẩn). Sau khi tìm $a$, có thể khai triển lại nếu đề yêu cầu dạng tổng quát.

Bài tập

1. Tìm trục đối xứng của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`axis_of_symmetry`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tìm phương trình trục đối xứng của parabol $y = x^2 - 3x - 9$.

A.$x = - \dfrac{3}{2}$

B.$x = \dfrac{3}{2}$

C.$x = 3$

D.$y = \dfrac{3}{2}$

Câu 2.Tìm phương trình trục đối xứng của parabol $y = 5x^2 + 7x - 8$.

A.$x = -7$

B.$x = \dfrac{7}{10}$

C.$x = - \dfrac{7}{10}$

D.$y = - \dfrac{7}{10}$

Câu 3.Tìm phương trình trục đối xứng của parabol $y = x^2 - 9x + 7$.

A.$y = \dfrac{9}{2}$

B.$x = 9$

C.$x = - \dfrac{9}{2}$

D.$x = \dfrac{9}{2}$

2. Lập phương trình parabol $y = ax^2 + bx + c$ biết đỉnh và một điểm đi quaTrắc nghiệm`find_parabola_through_vertex_and_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $I(1; 1)$ và đi qua điểm $M(0; 4)$. Tìm phương trình của $(P)$.

A.$y = 3x^2 + 6x + 4$

B.$y = -3x^2 + 6x - 4$

C.$y = 3x^2 - 6x + 1$

D.$y = 3x^2 - 6x + 4$

Câu 5.Parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $I(-1; -2)$ và đi qua điểm $M(1; 6)$. Tìm phương trình của $(P)$.

A.$y = 2x^2 + 4x$

B.$y = 2x^2 + 4x - 2$

C.$y = 2x^2 - 4x$

D.$y = -2x^2 - 4x$

Câu 6.Parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $I(2; -1)$ và đi qua điểm $M(0; 7)$. Tìm phương trình của $(P)$.

A.$y = 2x^2 - 8x - 1$

B.$y = 2x^2 - 8x + 7$

C.$y = 2x^2 + 8x + 7$

D.$y = -2x^2 + 8x - 7$

3. Đếm số giao điểm parabol với trục Ox — qua dấu ΔTrắc nghiệm`number_of_intersections_with_ox`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Đồ thị hàm số $y = x^2 + x + 8$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A.3

B.2

C.0

D.1

Câu 8.Đồ thị hàm số $y = x^2 + 4x + 3$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A.3

B.1

C.0

D.2

Câu 9.Đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 4$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A.1

B.2

C.0

D.3

4. Bề lõm parabol hướng lên (a > 0) hay xuống (a < 0)?Trắc nghiệm`parabola_concavity`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Bề lõm của parabol $y = x^2 - 9x + 9$ hướng theo phía nào?

A.Parabol không có bề lõm.

B.Bề lõm hướng lên trên.

C.Bề lõm hướng xuống dưới.

D.Bề lõm song song trục hoành.

Câu 11.Bề lõm của parabol $y = 4x^2 + 6x - 6$ hướng theo phía nào?

A.Parabol không có bề lõm.

B.Bề lõm hướng xuống dưới.

C.Bề lõm song song trục hoành.

D.Bề lõm hướng lên trên.

Câu 12.Bề lõm của parabol $y = -x^2 - 2x - 6$ hướng theo phía nào?

A.Bề lõm hướng xuống dưới.

B.Bề lõm song song trục hoành.

C.Bề lõm hướng lên trên.

D.Parabol không có bề lõm.

5. Tìm toạ độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`parabola_vertex`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm toạ độ đỉnh $I$ của parabol $y = 3x^2 + 2x - 5$.

A.$I(- \dfrac{1}{3}; - \dfrac{16}{3})$

B.$I(\dfrac{1}{3}; \dfrac{16}{3})$

C.$I(\dfrac{1}{3}; - \dfrac{16}{3})$

D.$I(- \dfrac{16}{3}; - \dfrac{1}{3})$

Câu 14.Tìm toạ độ đỉnh $I$ của parabol $y = -x^2 + 4x + 2$.

A.$I(2; 6)$

B.$I(-2; 6)$

C.$I(-2; -6)$

D.$I(6; 2)$

Câu 15.Tìm toạ độ đỉnh $I$ của parabol $y = -2x^2 - 2x + 1$.

A.$I(\dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2})$

B.$I(- \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2})$

C.$I(\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2})$

D.$I(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2})$

6. VD cao: tìm $m$ để đỉnh parabol $y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1$ thuộc đường thẳng $y = ax + b.$Trắc nghiệm`parabola_vertex_on_line_find_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Cho parabol $(P): y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1.$ Tìm $m$ để đỉnh của $(P)$ nằm trên đường thẳng $y = -x - 3.$

A.$m = 0$

B.$m = -2$

C.$m = -1$

D.$m = 1$

Câu 17.Cho parabol $(P): y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1.$ Tìm $m$ để đỉnh của $(P)$ nằm trên đường thẳng $y =2.$

A.$m = 3$

B.$m = 4$

C.$m = -3$

D.$m = 2$

Câu 18.Cho parabol $(P): y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1.$ Tìm $m$ để đỉnh của $(P)$ nằm trên đường thẳng $y = 2x - 5.$

A.$m = 5$

B.$m = -4$

C.$m = 3$

D.$m = 4$

7. Giao điểm với trục Oy của parabol → $(0; c)$Trắc nghiệm`parabola_y_intercept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $y = 4x^2 - 6x - 8$ với trục $Oy$.

A.$(0; 4)$

B.$(0; -8)$

C.$(0; -6)$

D.$(-8; 0)$

Câu 20.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $y = x^2 + 9x - 1$ với trục $Oy$.

A.$(0; 9)$

B.$(-1; 0)$

C.$(0; 1)$

D.$(0; -1)$

Câu 21.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $y = -x^2 + 2x - 5$ với trục $Oy$.

A.$(0; 2)$

B.$(0; -1)$

C.$(0; -5)$

D.$(-5; 0)$

8. Cho đồ thị parabol có đỉnh được đánh dấu, đọc toạ độ đỉnh từ hìnhTrắc nghiệm`read_vertex_from_parabola_graph`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Quan sát đồ thị parabol trong hình vẽ. Toạ độ đỉnh $I$ của parabol là:

Đồ thị parabol y = -2x² + (4)x + (1)

A.$I(3; 1)$

B.$I(-1; 3)$

C.$I(1; 3)$

D.$I(1; -3)$

Câu 23.Quan sát đồ thị parabol trong hình vẽ. Toạ độ đỉnh $I$ của parabol là:

Đồ thị parabol y = -2x² + (8)x + (-13)

A.$I(-2; -5)$

B.$I(2; 5)$

C.$I(-5; 2)$

D.$I(2; -5)$

Câu 24.Quan sát đồ thị parabol trong hình vẽ. Toạ độ đỉnh $I$ của parabol là:

Đồ thị parabol y = 2x² + (-4)x + (5)

A.$I(1; -3)$

B.$I(-1; 3)$

C.$I(3; 1)$

D.$I(1; 3)$

9. TF "đúng/sai" về parabol cụ thể, đính kèm đồ thịĐúng / Sai`parabola_tf_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Quan sát đồ thị parabol $y = -2x^2 + 4x + 2$ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Parabol y=-2x^2+(4)x+(2)

a)Bề lõm parabol hướng xuống dưới.

b)Toạ độ đỉnh parabol là $(1; 4)$.

c)Bề lõm parabol hướng lên trên.

d)Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Câu 26.Quan sát đồ thị parabol $y = -2x^2 + 8x - 9$ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Parabol y=-2x^2+(8)x+(-9)

a)Parabol không cắt trục hoành.

b)Trục đối xứng của parabol là $x = 2$.

c)Bề lõm parabol hướng lên trên.

d)Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ $-9$.

Câu 27.Quan sát đồ thị parabol $y = -2x^2 + 12x - 14$ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Parabol y=-2x^2+(12)x+(-14)

a)Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

b)Bề lõm parabol hướng xuống dưới.

c)Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ $-14$.

d)Bề lõm parabol hướng lên trên.

10. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ — xác định đỉnh và trục đối xứngĐúng / Sai`parabola_vertex_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho parabol $y = -(x + 2)^2 + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $a = -1 < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $1$.

b)Trục đối xứng là đường thẳng $y = 1$.

c)Khi $a = -1 > 0$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1$.

d)Toạ độ đỉnh là $I(-2; 1)$.

Câu 29.Cho parabol $y = -(x - 2)^2 + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Toạ độ đỉnh là $I(2; -2)$.

b)Đỉnh parabol luôn nằm trên trục hoành.

c)Trục đối xứng là đường thẳng $y = 2$.

d)Trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$.

Câu 30.Cho parabol $y = (x + 3)^2 + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Toạ độ đỉnh là $I(-3; 2)$.

b)Trục đối xứng là đường thẳng $x = -3$.

c)Đỉnh parabol luôn nằm trên trục hoành.

d)Toạ độ đỉnh là $I(-3; -2)$.

11. Cho parabol $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — tính toạ độ đỉnhĐúng / Sai`vertex_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho parabol $y = 2x^2 - 8x + 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hoành độ đỉnh là $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = 2$.

b)Đỉnh parabol luôn nằm trên trục tung.

c)Toạ độ đỉnh là $I(2; -2)$.

d)Trục đối xứng là $x = 2$.

Câu 32.Cho parabol $y = -x^2 + 4x - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đỉnh parabol luôn nằm trên trục tung.

b)Hoành độ đỉnh là $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = 2$.

c)Bề lõm parabol hướng xuống.

d)Đỉnh parabol có tung độ $y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}$.

Câu 33.Cho parabol $y = x^2 + 2x - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Toạ độ đỉnh là $I(-1; -4)$.

b)Trục đối xứng là $x = -1$.

c)Đỉnh parabol luôn nằm trên trục tung.

d)Hoành độ đỉnh là $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -1$.

12. Tìm tung độ đỉnh parabol $y_0 = c - b^2/(4a)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`parabola_y_at_vertex`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tìm tung độ đỉnh của parabol $y = -3x^2 - 4x - 6$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 35.Tìm tung độ đỉnh của parabol $y = 2x^2 + 3x + 5$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Tìm tung độ đỉnh của parabol $y = -3x^2 - 4x + 5$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

13. Cho $y = ax^2 + bx + c$, tìm hoành độ đỉnh (số thập phân)Trả lời ngắn`vertex_x_coord`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Tìm hoành độ đỉnh của parabol $y = -2x^2 - 5x - 5$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 38.Tìm hoành độ đỉnh của parabol $y = 2x^2 - 4x - 6$.

Câu 39.Tìm hoành độ đỉnh của parabol $y = -3x^2 + 6x - 3$.

Đồ thị hàm số bậc hai — toạ độ đỉnh

Công thức

§1. Tính chất(2)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm trục đối xứng của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmaxis_of_symmetry(3 câu)

2. Lập phương trình parabol $y = ax^2 + bx + c$ biết đỉnh và một điểm đi quaTrắc nghiệmfind_parabola_through_vertex_and_point(3 câu)

3. Đếm số giao điểm parabol với trục Ox — qua dấu ΔTrắc nghiệmnumber_of_intersections_with_ox(3 câu)

4. Bề lõm parabol hướng lên (a > 0) hay xuống (a < 0)?Trắc nghiệmparabola_concavity(3 câu)

5. Tìm toạ độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmparabola_vertex(3 câu)

6. VD cao: tìm $m$ để đỉnh parabol $y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1$ thuộc đường thẳng $y = ax + b.$Trắc nghiệmparabola_vertex_on_line_find_m(3 câu)

7. Giao điểm với trục Oy của parabol → $(0; c)$Trắc nghiệmparabola_y_intercept(3 câu)

8. Cho đồ thị parabol có đỉnh được đánh dấu, đọc toạ độ đỉnh từ hìnhTrắc nghiệmread_vertex_from_parabola_graph(3 câu)

9. TF "đúng/sai" về parabol cụ thể, đính kèm đồ thịĐúng / Saiparabola_tf_from_figure(3 câu)

10. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ — xác định đỉnh và trục đối xứngĐúng / Saiparabola_vertex_facts(3 câu)

11. Cho parabol $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — tính toạ độ đỉnhĐúng / Saivertex_facts2(3 câu)

12. Tìm tung độ đỉnh parabol $y_0 = c - b^2/(4a)$ (số thập phân)Trả lời ngắnparabola_y_at_vertex(3 câu)

13. Cho $y = ax^2 + bx + c$, tìm hoành độ đỉnh (số thập phân)Trả lời ngắnvertex_x_coord(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm trục đối xứng của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`axis_of_symmetry`(3 câu)

2. Lập phương trình parabol $y = ax^2 + bx + c$ biết đỉnh và một điểm đi quaTrắc nghiệm`find_parabola_through_vertex_and_point`(3 câu)

3. Đếm số giao điểm parabol với trục Ox — qua dấu ΔTrắc nghiệm`number_of_intersections_with_ox`(3 câu)

4. Bề lõm parabol hướng lên (a > 0) hay xuống (a < 0)?Trắc nghiệm`parabola_concavity`(3 câu)

5. Tìm toạ độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`parabola_vertex`(3 câu)

6. VD cao: tìm $m$ để đỉnh parabol $y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1$ thuộc đường thẳng $y = ax + b.$Trắc nghiệm`parabola_vertex_on_line_find_m`(3 câu)

7. Giao điểm với trục Oy của parabol → $(0; c)$Trắc nghiệm`parabola_y_intercept`(3 câu)

8. Cho đồ thị parabol có đỉnh được đánh dấu, đọc toạ độ đỉnh từ hìnhTrắc nghiệm`read_vertex_from_parabola_graph`(3 câu)

9. TF "đúng/sai" về parabol cụ thể, đính kèm đồ thịĐúng / Sai`parabola_tf_from_figure`(3 câu)

10. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ — xác định đỉnh và trục đối xứngĐúng / Sai`parabola_vertex_facts`(3 câu)

11. Cho parabol $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — tính toạ độ đỉnhĐúng / Sai`vertex_facts2`(3 câu)

12. Tìm tung độ đỉnh parabol $y_0 = c - b^2/(4a)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`parabola_y_at_vertex`(3 câu)

13. Cho $y = ax^2 + bx + c$, tìm hoành độ đỉnh (số thập phân)Trả lời ngắn`vertex_x_coord`(3 câu)