Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Giá trị tuyệt đối

$$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \geq 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases}.$$ $|a| \geq 0$ với mọi $a$, $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$. Tổng quát: $|f(x)|$ là khoảng cách từ $f(x)$ đến 0 trên trục số.

§2. Công thức(2)

2.1

Phương trình $|f(x)| = m$

$m < 0$: vô nghiệm.
$m = 0$: $f(x) = 0$.
$m > 0$: $f(x) = m$ hoặc $f(x) = -m$.

Phương trình $|f(x)| = |g(x)|$: $$\Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ hoặc } f(x) = -g(x).$$

2.2

Bất phương trình giá trị tuyệt đối

$|f(x)| < m$ ($m > 0$): $-m < f(x) < m$. $|f(x)| \leq m$: $-m \leq f(x) \leq m$. $|f(x)| > m$ ($m > 0$): $f(x) > m$ hoặc $f(x) < -m$. $|f(x)| \geq m$: $f(x) \geq m$ hoặc $f(x) \leq -m$. (Nếu $m \leq 0$: $|f(x)| < m$ vô nghiệm, $|f(x)| \geq 0 > m$ luôn đúng — xét trực tiếp.)

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp xét trường hợp

Phương trình $|f(x)| = g(x)$: Cách 1 — Bỏ dấu trị tuyệt đối: Xét $f(x) \geq 0$ và $f(x) < 0$ → mỗi trường hợp 1 phương trình. Giải, đối chiếu điều kiện. Cách 2 — Bình phương (khi $g(x) \geq 0$): $f(x)^2 = g(x)^2 \Rightarrow f(x) = \pm g(x)$. Đối chiếu điều kiện $g(x) \geq 0$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: nhận dạng các dạng đặc biệt

$|f(x)| + |g(x)| = 0$: cả 2 cùng bằng 0 → hệ $f(x) = 0$ và $g(x) = 0$.
$|f(x)| = -|g(x)|$: chỉ khi cả 2 đều = 0.
$|f(x)| \leq 0$: $\Leftrightarrow f(x) = 0$.

Nhận ra dạng đặc biệt → giải nhanh không cần xét trường hợp.

Bài tập

1. $|x| = k$ có 2 nghiệm nếu $k > 0$, 1 nếu $k = 0$, vô nghiệm nếu $k < 0$Trắc nghiệm`abs_eq_constant_count`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Phương trình $|x - 2| = 4$ có bao nhiêu nghiệm?

A.$3$

B.vô số

C.$2$

D.$4$

Câu 2.Phương trình $|x| = 5$ có bao nhiêu nghiệm?

A.$3$

B.$4$

C.vô số

D.$2$

Câu 3.Phương trình $|x| = 7$ có bao nhiêu nghiệm?

A.vô số

B.$4$

C.$2$

D.$3$

2. Tính $|a|$ cho số nguyên đơn giảnTrắc nghiệm`abs_value_compute`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Tính $|-7|$.

A.$|-7| = -7$

B.$|-7| = 7$

C.$|-7| = 0$

D.$|-7| = 8$

Câu 5.Tính $|6|$.

A.$|6| = 0$

B.$|6| = 6$

C.$|6| = 7$

D.$|6| = -6$

Câu 6.Tính $|8|$.

A.$|8| = 8$

B.$|8| = -8$

C.$|8| = 0$

D.$|8| = 9$

3. Giải $|ax + b| = cx + d$ — buộc xét hai trường hợp dấu trong $|.|$Trắc nghiệm`solve_abs_eq_linear`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tìm một nghiệm của phương trình $|2 x + 5| = 2 x + 5$.

A.$x = -2$

B.$x = -1$

C.$x = 0$

D.$x = 2$

Câu 8.Tìm một nghiệm của phương trình $|x - 3| = x - 3$.

A.$x = 6$

B.$x = 0$

C.$x = -5$

D.$x = 5$

Câu 9.Tìm một nghiệm của phương trình $|2 x + 3| = 2 x + 17$.

A.$x = 5$

B.$x = -5$

C.$x = 14$

D.$x = -4$

4. Giải $|ax + b| = cx + d$ — hai trường hợp, đối chiếu điều kiện, gộp TẬP nghiệmTrắc nghiệm`solve_abs_eq_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Giải phương trình $|3 x + 7| = 2 x + 8$ (tìm tất cả các nghiệm):

A.$x = 3$ hoặc $x = -1$

B.$x = -3$ hoặc $x = 1$

C.$x = 1$

D.$x = -3$

Câu 11.Giải phương trình $|x + 2| = 2 x - 2$ (tìm tất cả các nghiệm):

A.$x = 4$

B.$x = 0$

C.$x = -4$

D.$x = 0$ hoặc $x = 4$

Câu 12.Giải phương trình $|x + 7| = 2 x + 4$ (tìm tất cả các nghiệm):

A.$x = -3$

B.$x = - \dfrac{11}{3}$ hoặc $x = 3$

C.$x = - \dfrac{11}{3}$

D.$x = 3$

5. Giải phương trình $|x + b| = c$ (với $c > 0$)Trắc nghiệm`solve_absolute_value_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Giải phương trình $|x + 7| = 3$:

A.$x = 4$ hoặc $x = 10$

B.$x = 10$ hoặc $x = 4$

C.$x = -4$

D.$x = -4$ hoặc $x = -10$

Câu 14.Giải phương trình $|x + 9| = 13$:

A.$x = 22$ hoặc $x = -4$

B.$x = 4$ hoặc $x = -22$

C.$x = -4$ hoặc $x = 22$

D.$x = 4$

Câu 15.Giải phương trình $|x + 9| = 7$:

A.$x = -2$

B.$x = -2$ hoặc $x = -16$

C.$x = 16$ hoặc $x = 2$

D.$x = 2$ hoặc $x = 16$

6. VD cao: $|x-a| + |x-b| = c$ với $c > b - a$; tổng 2 nghiệm = $a + b$Trắc nghiệm`sum_of_roots_two_abs_equation`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Phương trình $|x + 1| + |x - 4| = 8$ có hai nghiệm phân biệt. Tính tổng hai nghiệm đó.

A.$5$

B.$-4$

C.$3$

D.$8$

Câu 17.Phương trình $|x + 2| + |x - 3| = 10$ có hai nghiệm phân biệt. Tính tổng hai nghiệm đó.

A.$10$

B.$-6$

C.$5$

D.$1$

Câu 18.Phương trình $|x - 3| + |x - 8| = 12$ có hai nghiệm phân biệt. Tính tổng hai nghiệm đó.

A.$5$

B.$12$

C.$11$

D.$24$

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình $|x + b| = c$Đúng / Sai`abs_eq_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phương trình $|x + 7| = 9$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $|A| = 0$ tương đương với $A = 0$.

b)Phương trình $|x| = -1$ có nghiệm $x = -1$.

c)Phương trình $|x + 7| = 9$ có hai nghiệm $x = 2$ hoặc $x = -16$.

d)Với mọi $x$, $|x| = x$.

Câu 20.Cho phương trình $|x + 7| = 2$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $|x| = -1$ có nghiệm $x = -1$.

b)$|x| \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)Với mọi $x$, $|x| = x$.

d)Hai phương trình $|x + 7| = 2$ và $(x + 7)^2 = 4$ tương đương.

Câu 21.Cho phương trình $|x - 7| = 6$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $|x| = -1$ có nghiệm $x = -1$.

b)Phương trình $|A| = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \geq 0$.

c)$|x| \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d)Hai phương trình $|x - 7| = 6$ và $(x - 7)^2 = 36$ tương đương.

8. Cho 3 phương trình GTTĐ cụ thể: $|x| = m$ (3 trường hợp $m > 0, m = 0, m < 0$) — kiểm tra số nghiệm tương ứngĐúng / Sai`abs_equation_general_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho ba phương trình $|x| = 7$, $|x| = 0$ và $|x| = -4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Với mọi $x$, $|x| = x$.

b)Phương trình $|x| = 0$ có duy nhất nghiệm $x = 0$.

c)Phương trình $|x| = -4$ có nghiệm $x = -4$.

d)$|a + b| \leq |a| + |b|$ (bất đẳng thức tam giác).

Câu 23.Cho ba phương trình $|x| = 3$, $|x| = 0$ và $|x| = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|x| = -|x|$ với mọi $x$.

b)$|x| \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)Phương trình $|x| = -3$ vô nghiệm.

d)Với mọi $x$, $|x| = x$.

Câu 24.Cho ba phương trình $|x| = 5$, $|x| = 0$ và $|x| = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $|x| = 0$ có duy nhất nghiệm $x = 0$.

b)Phương trình $|x| = -3$ có nghiệm $x = -3$.

c)Phương trình $|x| = -3$ vô nghiệm.

d)$|x| = -|x|$ với mọi $x$.

9. Giải $|ax + b| = cx + d$ — tách hai trường hợp, kiểm tra điều kiệnTrả lời ngắn`solve_abs_linear_equation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Phương trình $|x + 3| = 4$ có hai nghiệm. Tìm nghiệm lớn hơn.

Câu 26.Phương trình $|x - (5)| = 5$ có hai nghiệm. Tìm nghiệm lớn hơn.

Câu 27.Phương trình $|x + 5| = 4$ có hai nghiệm. Tìm nghiệm nhỏ hơn.

10. Giải $|x + b| = c$Trả lời ngắn`solve_abs_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho phương trình $|x + 2| = 3$. Tính tích.

Câu 29.Cho phương trình $|x + 6| = 2$. Tính nghiệm lớn nhất.

Câu 30.Cho phương trình $|x + 8| = 9$. Tính nghiệm lớn nhất.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(2)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. $|x| = k$ có 2 nghiệm nếu $k > 0$, 1 nếu $k = 0$, vô nghiệm nếu $k < 0$Trắc nghiệmabs_eq_constant_count(3 câu)

2. Tính $|a|$ cho số nguyên đơn giảnTrắc nghiệmabs_value_compute(3 câu)

3. Giải $|ax + b| = cx + d$ — buộc xét hai trường hợp dấu trong $|.|$Trắc nghiệmsolve_abs_eq_linear(3 câu)

4. Giải $|ax + b| = cx + d$ — hai trường hợp, đối chiếu điều kiện, gộp TẬP nghiệmTrắc nghiệmsolve_abs_eq_multistep(3 câu)

5. Giải phương trình $|x + b| = c$ (với $c > 0$)Trắc nghiệmsolve_absolute_value_simple(3 câu)

6. VD cao: $|x-a| + |x-b| = c$ với $c > b - a$; tổng 2 nghiệm = $a + b$Trắc nghiệmsum_of_roots_two_abs_equation(3 câu)

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình $|x + b| = c$Đúng / Saiabs_eq_facts(3 câu)

8. Cho 3 phương trình GTTĐ cụ thể: $|x| = m$ (3 trường hợp $m > 0, m = 0, m < 0$) — kiểm tra số nghiệm tương ứngĐúng / Saiabs_equation_general_facts(3 câu)

9. Giải $|ax + b| = cx + d$ — tách hai trường hợp, kiểm tra điều kiệnTrả lời ngắnsolve_abs_linear_equation(3 câu)

10. Giải $|x + b| = c$Trả lời ngắnsolve_abs_simple(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. $|x| = k$ có 2 nghiệm nếu $k > 0$, 1 nếu $k = 0$, vô nghiệm nếu $k < 0$Trắc nghiệm`abs_eq_constant_count`(3 câu)

2. Tính $|a|$ cho số nguyên đơn giảnTrắc nghiệm`abs_value_compute`(3 câu)

3. Giải $|ax + b| = cx + d$ — buộc xét hai trường hợp dấu trong $|.|$Trắc nghiệm`solve_abs_eq_linear`(3 câu)

4. Giải $|ax + b| = cx + d$ — hai trường hợp, đối chiếu điều kiện, gộp TẬP nghiệmTrắc nghiệm`solve_abs_eq_multistep`(3 câu)

5. Giải phương trình $|x + b| = c$ (với $c > 0$)Trắc nghiệm`solve_absolute_value_simple`(3 câu)

6. VD cao: $|x-a| + |x-b| = c$ với $c > b - a$; tổng 2 nghiệm = $a + b$Trắc nghiệm`sum_of_roots_two_abs_equation`(3 câu)

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình $|x + b| = c$Đúng / Sai`abs_eq_facts`(3 câu)

8. Cho 3 phương trình GTTĐ cụ thể: $|x| = m$ (3 trường hợp $m > 0, m = 0, m < 0$) — kiểm tra số nghiệm tương ứngĐúng / Sai`abs_equation_general_facts`(3 câu)

9. Giải $|ax + b| = cx + d$ — tách hai trường hợp, kiểm tra điều kiệnTrả lời ngắn`solve_abs_linear_equation`(3 câu)

10. Giải $|x + b| = c$Trả lời ngắn`solve_abs_simple`(3 câu)