Bất đẳng thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Bất đẳng thức + bất phương trình

Bất đẳng thức $a < b, a \leq b, a > b, a \geq b$ — so sánh 2 số (số thực). Bất phương trình 1 ẩn: $A(x) < B(x)$ (hoặc $\leq, >, \geq$). Nghiệm: $x_0$ làm bất phương trình đúng. Tập nghiệm: biểu diễn dưới dạng khoảng/đoạn/nửa đường thẳng.

§2. Tính chất(2)

2.1

Tính chất bất đẳng thức

Cho $a < b$ (tương tự cho $\leq, >, \geq$):

Cộng cùng số: $a + c < b + c$ (giữ chiều).
Nhân với số dương $c > 0$: $a c < b c$ (giữ chiều).
Nhân với số âm $c < 0$: $a c > b c$ (đổi chiều).
Bắc cầu: $a < b$ và $b < c \Rightarrow a < c$.
Bình phương (khi $a, b \geq 0$): $a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$.

2.2

Quy tắc biến đổi bất phương trình

Áp dụng cho bất phương trình $A(x) < B(x)$: 1. Chuyển vế + đổi dấu hạng tử. 2. Nhân/chia 2 vế với số dương → giữ chiều. 3. Nhân/chia 2 vế với số âm → đổi chiều. 4. Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều → giữ chiều (KHÔNG được trừ hoặc nhân chéo).

Bài tập

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệm`compare_arithmetic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.So sánh hai số $13$ và $8$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$13 > 8$

B.$13 = 8$

C.$13 < 8$

D.$8 > 13$

Câu 2.So sánh hai số $13$ và $10$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$10 > 13$

B.$13 > 10$

C.$13 < 10$

D.$13 = 10$

Câu 3.So sánh hai số $21$ và $19$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$21 > 19$

B.$21 = 19$

C.$21 < 19$

D.$19 > 21$

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệm`ineq_compare_simple`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.So sánh $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{1}{3}$.

A.$\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

C.$\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}$

D.$\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} \text{ và } 0$

Câu 5.So sánh $-3$ và $-5$.

A.$-3 < -5$

B.$-3 > -5 \text{ và } 0$

C.$-3 = -5$

D.$-3 > -5$

Câu 6.So sánh $-3$ và $-5$.

A.$-3 = -5$

B.$-3 < -5$

C.$-3 > -5$

D.$-3 > -5 \text{ và } 0$

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệm`ineq_property_apply`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

B.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

C.Nếu $a < b$ thì $-4a < -4b$.

D.Nếu $a < b$ thì $a + 4 < b + 4$.

Câu 8.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

B.Nếu $a < b$ thì $-2a < -2b$.

C.Nếu $a < b$ thì $a + 2 < b + 2$.

D.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

Câu 9.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ thì $a - 4 < b - 4$.

B.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

C.Nếu $a < b$ thì $4a < 4b$.

D.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệm`ineq_transitive_property`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Nếu $a < b$ và $c$ là số bất kì thì?

A.$a + c < b + c$

B.$ac < bc$

C.$a < c$

D.$a > c$

Câu 11.Nếu $a < b$ và $c$ là số bất kì thì?

A.$a > c$

B.$a < c$

C.$a + c < b + c$

D.$ac < bc$

Câu 12.Nếu $a < b$ và $c$ là số bất kì thì?

A.$ac < bc$

B.$a + c < b + c$

C.$a > c$

D.$a < c$

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệm`prove_inequality_perfect_square`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 16 < 8x$

B.$x^2 + 16 > 8x$

C.$x^2 + 16 \leq 8x$

D.$x^2 + 16 \geq 8x$

Câu 14.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 9 < 6x$

B.$x^2 + 9 \leq 6x$

C.$x^2 + 9 > 6x$

D.$x^2 + 9 \geq 6x$

Câu 15.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 9 \geq 6x$

B.$x^2 + 9 \leq 6x$

C.$x^2 + 9 > 6x$

D.$x^2 + 9 < 6x$

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệm`solve_linear_inequality_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Bất phương trình $4(x + 4) - 6(x + 3) > 2$ có nghiệm là:

A.$x < -2$

B.$x < 2$

C.$x > -2$

D.$x < -1$

Câu 17.Tập nghiệm của bất phương trình $6(x + 6) - 2(x - 6) \leq 32$ là:

A.$x \leq -4$

B.$x \leq 4$

C.$x \geq -4$

D.$x \leq -3$

Câu 18.Giải bất phương trình $5(x + 5) - 7(x - 6) \geq 71$:

Tập nghiệm trên trục số với mốc -2.0

A.$x \leq -1$

B.$x \leq 2$

C.$x \geq -2$

D.$x \leq -2$

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Sai`ineq_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai số thực $a = 3$ và $b = 5$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $a > b > 0$ thì $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

b)Vì $a < b$ và $c = -2 < 0$ nên $ac = -6 < -10 = bc$.

c)Vì $a = 3 < 5 = b$ nên $a + 5 = 8 < 10 = b + 5$.

d)Nếu $a < b$ và $b \leq c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

Câu 20.Cho hai số thực $a = 1$ và $b = 4$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $a > b > 0$ thì $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

b)Vì $a < b$ và $c = 3 > 0$ nên $ac = 3 < 12 = bc$.

c)Bất đẳng thức $x^2 \geq 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d)Vì $a < b$ và $c = -3 < 0$ nên $ac = -3 < -12 = bc$.

Câu 21.Cho hai số thực $a = 1$ và $b = 3$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $a > b > 0$ thì $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

b)Vì $a = 1 < 3 = b$ nên $-a = -1 > -3 = -b$.

c)Nếu $a^2 < b^2$ thì $a < b$ (luôn đúng).

d)Nếu $a < b$ và $b \leq c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Sai`inequality_concrete_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hai số $a = -7$ và $b = -2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a = -7$ và $b = -2$ thì $a + b = -9$.

b)Nếu $a > b$ thì $-a > -b$ (đổi dấu).

c)Nếu $a > b$ thì $a + 5 > b + 5$ (cộng cùng số bảo toàn chiều).

d)$-7 > -2$.

Câu 23.Cho hai số $a = 5$ và $b = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a = 5$ và $b = 2$ thì $a > b$.

b)$5 > 3$.

c)$(-3)^2 < 0$.

d)Nếu $a > b$ thì $-a > -b$ (đổi dấu).

Câu 24.Cho hai số $a = -3$ và $b = -2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a = -3$ và $b = -2$ thì $a > b$.

b)Nếu $a > b$ thì $a + 5 > b + 5$ (cộng cùng số bảo toàn chiều).

c)$-7 > -2$.

d)$5 > 3$.

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắn`apply_inequality_property`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Biết $a > b$. So sánh $3a$ và $3b$ (với $a, b > 0$).

Câu 26.Biết $a > b$. So sánh $-a$ và $-b$.

Câu 27.Biết $a > b$. So sánh $-7a$ và $-7b$.

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắn`compare_two_numbers`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.So sánh hai số $8$ và $9$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $8\ \ldots\ 9$.

Câu 29.So sánh hai số $43$ và $36$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $43\ \ldots\ 36$.

Câu 30.So sánh hai số $49$ và $44$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $49\ \ldots\ 44$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(2)

Bài tập

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệmcompare_arithmetic(3 câu)

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệmineq_compare_simple(3 câu)

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệmineq_property_apply(3 câu)

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệmineq_transitive_property(3 câu)

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệmprove_inequality_perfect_square(3 câu)

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệmsolve_linear_inequality_multistep(3 câu)

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Saiineq_intro_facts(3 câu)

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Saiinequality_concrete_facts(3 câu)

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắnapply_inequality_property(3 câu)

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắncompare_two_numbers(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệm`compare_arithmetic`(3 câu)

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệm`ineq_compare_simple`(3 câu)

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệm`ineq_property_apply`(3 câu)

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệm`ineq_transitive_property`(3 câu)

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệm`prove_inequality_perfect_square`(3 câu)

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệm`solve_linear_inequality_multistep`(3 câu)

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Sai`ineq_intro_facts`(3 câu)

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Sai`inequality_concrete_facts`(3 câu)

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắn`apply_inequality_property`(3 câu)

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắn`compare_two_numbers`(3 câu)