Toạ độ vectơ và biểu thức toạ độ

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(9 câu)

Câu 1.Tính độ dài vectơ $\vec{u} = (-1; -4; 8)$.

A.$|\vec{u}| = 13$

B.$|\vec{u}| = 10$

C.$|\vec{u}| = 81$

D.$|\vec{u}| = 9$

Câu 2.Tìm trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(-2; 4; 4)$, $B(-4; 6; 8)$.

A.$I(-6; 10; 12)$

B.$I(-2; 5; 6)$

C.$I(-2; 2; 4)$

D.$I(-3; 5; 6)$

Câu 3.Trong $Oxyz$, cho $A(1;1;1)$, $B(2;3;4)$, $C(5;6;7).$ Tìm toạ độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(6;8;10)$

B.$D(4;4;4)$

C.$D(-4;-4;-4)$

D.$D(-2;-2;-2)$

Câu 4.Tính độ dài vectơ $\vec{u} = (3; -4; 0)$.

A.$|\vec{u}| = 5$

B.$|\vec{u}| = 7$

C.$|\vec{u}| = 25$

D.$|\vec{u}| = 6$

Câu 5.Tính độ dài vectơ $\vec{u} = (1; -4; -8)$.

A.$|\vec{u}| = 13$

B.$|\vec{u}| = 81$

C.$|\vec{u}| = 10$

D.$|\vec{u}| = 9$

Câu 6.Tìm trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(-4; -4; -4)$, $B(-2; -6; -2)$.

A.$I(-6; -10; -6)$

B.$I(-3; -5; -3)$

C.$I(-2; -5; -3)$

D.$I(2; -2; 2)$

Câu 7.Tìm trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(2; 2; -4)$, $B(4; 6; 0)$.

A.$I(3; 4; -2)$

B.$I(4; 4; -2)$

C.$I(6; 8; -4)$

D.$I(2; 4; 4)$

Câu 8.Cho $A(-2; 5; 4)$, $B(-3; 1; 5)$. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.

A.$\overrightarrow{AB} = (1; 4; -1)$

B.$\overrightarrow{AB} = (-1; -4; 1)$

C.$\overrightarrow{AB} = (-5; 6; 9)$

D.$\overrightarrow{AB} = (-1; 1; -4)$

Câu 9.Trong $Oxyz$, cho $A(2;0;1)$, $B(3;2;0)$, $C(5;3;1).$ Tìm toạ độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(-4;-1;-2)$

B.$D(6;5;0)$

C.$D(0;-1;0)$

D.$D(4;1;2)$

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(18 câu)

Câu 10.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(0; 0; 0)$, bán kính $R = 3$ và hai điểm $A(0; 5; 0)$, $B(0; 0; 1)$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên mặt cầu $(S)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Đường thẳng $AB$ luôn cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt.

b)Tồn tại $M$ trên $(S)$ sao cho $MA = 0$.

c)$IB = 1$, suy ra $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

d)Giá trị lớn nhất của $MA$ bằng $8$.

Câu 11.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu tâm I, R=5 và đường d

a)Vectơ $\vec{u} = (1; -1; 0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

b)Khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ ở vị trí ban đầu đến đường thẳng $d$ bằng $6\sqrt{2}$.

c)Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng $25$.

d)Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm mặt cầu (trong quá trình tịnh tiến) đến đường $d$ bằng $8.49$.

Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 5; 4)$ và $B(-1; 4; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách giữa hai điểm có thể là số âm.

b)Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I(-1; 4,5; 3)$.

c)$\overrightarrow{AB} = (0; 1; 2)$.

d)$\overrightarrow{AB} = (0; -1; -2)$.

Câu 13.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4; 3; 5)$ và $B(2; 2; 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$AB^2 = 6$.

b)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$.

c)Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I(3; 2,5; 4,5)$.

d)$\overrightarrow{AB} = (2; 1; 1)$.

Câu 14.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3; 4; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là $A''(3; 0; 2)$.

b)Hình chiếu của $A$ trên trục $Oy$ là $A_y(3; 0; 0)$.

c)$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{29}$.

d)Điểm đối xứng của $A$ qua trục $Ox$ là $A_3(3; -4; -2)$.

Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu tâm I, R=5 và đường d

a)Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng $25$.

b)Khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ ở vị trí ban đầu đến đường thẳng $d$ bằng $6\sqrt{2}$.

c)Vectơ $\vec{u} = (1; -1; 0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

d)Có một thời điểm trong quá trình tịnh tiến, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu tâm I, R=5 và đường d

a)Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng $25$.

b)Có một thời điểm trong quá trình tịnh tiến, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$.

c)Khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ ở vị trí ban đầu đến đường thẳng $d$ bằng $6\sqrt{2}$.

d)Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm mặt cầu (trong quá trình tịnh tiến) đến đường $d$ bằng $8.49$.

Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 2; 2)$ và $B(4; 3; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách giữa hai điểm có thể là số âm.

b)$\overrightarrow{AB} = (-5; -1; 0)$.

c)$\overrightarrow{BA} = (-5; -1; 0)$.

d)$\overrightarrow{AB} = (5; 1; 0)$.

Câu 18.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị: ki-lô-mét), một thiết bị radar phòng không được đặt tại gốc $O(0; 0; 0)$ có bán kính phủ sóng $50$ km. Một thiết bị bay không người lái (UAV) xuất phát từ điểm $A(0; 100; 30)$, bay theo đường thẳng với vận tốc không đổi $800$ km/h theo hướng đến điểm $B(0; -100; 30)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu radar O, R=50 km và quỹ đạo UAV qua A

a)Điểm phát hiện đầu tiên (UAV bay vào vùng radar) có toạ độ $(0; 40; 30)$.

b)Thời gian UAV bị radar theo dõi (làm tròn đến hàng phần mười) là khoảng $6$ phút.

c)Quãng đường UAV bay trong vùng phủ sóng radar là $200$ km.

d)Quãng đường UAV bay trong vùng phủ sóng radar là $80$ km.

Câu 19.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị: ki-lô-mét), một thiết bị radar phòng không được đặt tại gốc $O(0; 0; 0)$ có bán kính phủ sóng $100$ km. Một thiết bị bay không người lái (UAV) xuất phát từ điểm $A(0; 100; 60)$, bay theo đường thẳng với vận tốc không đổi $480$ km/h theo hướng đến điểm $B(0; -100; 60)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu radar O, R=100 km và quỹ đạo UAV qua A

a)Khoảng cách từ tâm radar $O$ đến đường thẳng quỹ đạo UAV bằng $60$ km.

b)Phương trình tham số của đường thẳng mô tả quỹ đạo bay là $\begin{cases} x = 0 \\ y = 100 - s \\ z = 60 \end{cases}$ (với $s$ là độ dài đoạn đã bay tính từ $A$, đơn vị km).

c)Quãng đường UAV bay trong vùng phủ sóng radar là $160$ km.

d)Điểm phát hiện đầu tiên có toạ độ $(0; -80; 60)$.

Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; 4; 2)$ và $B(5; -1; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I(4; 1,5; 2)$.

b)$\overrightarrow{BA} = (-2; 5; 0)$.

c)$\overrightarrow{AB} = (-2; 5; 0)$.

d)$\overrightarrow{AB} = (2; -5; 0)$.

Câu 21.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S): (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9$, $(S'): x^2 + y^2 + z^2 - 12y + 12 = 0$ và mặt phẳng $(P): z - m = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hai mặt cầu cắt nhau theo đường tròn (C)

a)Biết rằng hai mặt cầu $(S)$ và $(S')$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ để trên mặt phẳng $(P)$ dựng được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn $(C)$. Tổng bình phương các phần tử của $T$ là $2$.

b)Khoảng cách giữa hai tâm của hai mặt cầu $(S)$ và $(S')$ bằng $3\sqrt{5}$.

c)Mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ có phương trình $x - 2y + 2 = 0$.

d)Đường tròn $(C)$ có bán kính $r_C = 2$.

Câu 22.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị: ki-lô-mét), một thiết bị radar phòng không được đặt tại gốc $O(0; 0; 0)$ có bán kính phủ sóng $100$ km. Một thiết bị bay không người lái (UAV) xuất phát từ điểm $A(0; 100; 80)$, bay theo đường thẳng với vận tốc không đổi $720$ km/h theo hướng đến điểm $B(0; -100; 80)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu radar O, R=100 km và quỹ đạo UAV qua A

a)Điểm phát hiện đầu tiên (UAV bay vào vùng radar) có toạ độ $(0; 60; 80)$.

b)Điểm phát hiện đầu tiên có toạ độ $(0; -60; 80)$.

c)Thời gian UAV bị radar theo dõi (làm tròn đến hàng phần mười) là khoảng $10$ phút.

d)Quãng đường UAV bay trong vùng phủ sóng radar là $120$ km.

Câu 23.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3; -1; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình chiếu của $A$ trên trục $Oy$ là $A_y(3; 0; 0)$.

b)Điểm đối xứng của $A$ qua trục $Ox$ là $A_3(3; 1; -2)$.

c)Hình chiếu của $A$ trên trục $Ox$ là $A_x(3; 0; 0)$.

d)Điểm đối xứng của $A$ qua gốc $O$ là $A_1(-3; 1; -2)$.

Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Mặt cầu tâm I, R=5 và đường d

a)Có một thời điểm trong quá trình tịnh tiến, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$.

b)Khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ ở vị trí ban đầu đến đường thẳng $d$ bằng $6\sqrt{2}$.

c)Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm mặt cầu (trong quá trình tịnh tiến) đến đường $d$ bằng $8.49$.

d)Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng $25$.

Câu 25.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(0; 0; 0)$, bán kính $R = 3$ và hai điểm $A(0; 5; 0)$, $B(0; 0; 1)$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên mặt cầu $(S)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị nhỏ nhất của $MA$ bằng $8$.

b)Tồn tại $M$ trên $(S)$ sao cho $MA = 0$.

c)Giá trị nhỏ nhất của $MB$ bằng $2$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $MA$ bằng $2$.

Câu 26.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S): (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9$, $(S'): x^2 + y^2 + z^2 - 12y + 12 = 0$ và mặt phẳng $(P): z - m = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hai mặt cầu cắt nhau theo đường tròn (C)

a)Khoảng cách giữa hai tâm của hai mặt cầu $(S)$ và $(S')$ bằng $3\sqrt{5}$.

b)Mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ có phương trình $x - 2y + 2 = 0$.

c)Mặt phẳng $(P): z - m = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 0; 0)$.

d)Biết rằng hai mặt cầu $(S)$ và $(S')$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ để trên mặt phẳng $(P)$ dựng được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn $(C)$. Tổng bình phương các phần tử của $T$ là $2$.

Câu 27.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; -1; 4)$ và $B(5; -1; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{BA} = (-2; 0; 2)$.

b)$\overrightarrow{AB} = (2; 0; -2)$.

c)$\overrightarrow{AB} = (-2; 0; 2)$.

d)Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I(4; -1; 3)$.

Phần III. Trả lời ngắn(6 câu)

Câu 28.Tính khoảng cách $AB$ với $A(1; 0; 0)$, $B(1; 4; 0)$.

Câu 29.Hệ thống định vị toàn cầu GPS xác định vị trí điểm $M$ trong không gian dựa trên tín hiệu từ $4$ vệ tinh. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, bốn vệ tinh được đặt tại các vị trí $A(4; 6; 3)$, $B(1; 2; 6)$, $C(1; 14; 3)$, $D(5; 2; 3)$ (đơn vị: ki-lô-mét). Tín hiệu thu được cho biết: $MA = 5$ km, $MB = 3$ km, $MC = 12$ km, $MD = 4$ km. Tính tổng các toạ độ $T = x_M + y_M + z_M$ của điểm $M$.

4 vệ tinh GPS định vị điểm M

Câu 30.Tính độ dài vectơ $\vec{u} = (3; 4; 0)$.

Câu 31.Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(5\sqrt{3}; 8; 15)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng toạ độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Tia laser từ A đến vệt sáng M trên (Oyz)

Câu 32.Tính khoảng cách $AB$ với $A(1; 0; 0)$, $B(1; 4; 0)$.

Câu 33.Tính độ dài vectơ $\vec{u} = (2; 2; 1)$.

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(9 câu)

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(18 câu)

Phần III. Trả lời ngắn(6 câu)

Đáp án & Lời giải

Mở đáp án hôm nay