NGÂN HÀNG ĐỀ THI
NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Lớp 12 · Vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ

66 câu hỏi

Câu hỏi & PDF học miễn phí — mở khoá để xem đáp án & lời giải chi tiết của chủ đề này.

Đáp án & lời giải
66 câu · đã gồm VAT
Các câu hỏi mới + dạng mới sẽ thường xuyên được cập nhật vào chủ đề. Lưu trang để xem câu mới mỗi ngày.

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Tính chất tích vô hướng

  • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (giao hoán).
  • $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
  • $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.
  • $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ → $|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.
  • $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (với $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$).

§2. Công thức(2)

2.1

Cosin góc giữa 2 vectơ

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}.$$ Góc giữa 2 vectơ $\in [0; 180°]$.
2.2

Tích vô hướng 2 vectơ

Cho $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$$ với $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tìm vectơ vuông góc với 1 hoặc nhiều vectơ cho trước

Vuông góc với 1 vectơ $\vec{a}$:
  • Giả sử $\vec{u} = (x; y; z)$, lập $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
  • Phương trình có vô số nghiệm — chọn tự do 2 biến.
Vuông góc với 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ (không cùng phương):
  • Tích có hướng: $\vec{u} = [\vec{a}, \vec{b}]$ là vectơ cần tìm (cùng với mọi $k\vec{u}$).

Bài tập

1. VD cao: góc đặc biệt giữa 2 vectơ trong $Oxyz.$Trắc nghiệmangle_between_vectors_3d_special(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (-1; 1; 0).$

A.$135^\circ$
B.$45^\circ$
C.$30^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 2.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (-1; 0; 1).$

A.$120^\circ$
B.$30^\circ$
C.$45^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 3.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; 0; 1)$ và $\vec{v} = (1; 0; 0).$

A.$45^\circ$
B.$30^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$

2. Đảo: cho $\vec u\cdot\vec v, |\vec u|, |\vec v|$ → tìm số đo gócTrắc nghiệmangle_from_dot_and_norms(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 9$, $|\vec{v}| = 8$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 36 \sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$60^\circ$
B.$135^\circ$
C.$45^\circ$
D.$30^\circ$

Câu 5.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 6$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 18$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$120^\circ$
B.$60^\circ$
C.$45^\circ$
D.$30^\circ$

Câu 6.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 3$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - \dfrac{15}{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$45^\circ$
B.$30^\circ$
C.$60^\circ$
D.$120^\circ$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 6$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 15 \sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$60^\circ$
B.$30^\circ$
C.$135^\circ$
D.$45^\circ$

Câu 8.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 8$, $|\vec{v}| = 4$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = -16$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$45^\circ$
B.$30^\circ$
C.$120^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 9.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 6$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$90^\circ$
B.$30^\circ$
C.$45^\circ$
D.$60^\circ$

3. Tính cosin góc giữa hai vectơTrắc nghiệmcos_angle_two_vectors_3d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (1; -1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{1}{2}$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{1}{4}$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$

Câu 11.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 12.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

4. Tính $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (tích có hướng)Trắc nghiệmcross_product_compute(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $\vec{u} = (-2; 2; -3)$, $\vec{v} = (-1; -1; 2)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (1; 7; 4)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (7; 1; 4)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-1; -7; -4)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (2; 7; 4)$

Câu 14.Cho $\vec{u} = (-1; -3; 3)$, $\vec{v} = (1; -1; -3)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (13; 0; 4)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (12; 0; 4)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-12; 0; -4)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (0; 12; 4)$

Câu 15.Cho $\vec{u} = (3; 1; 3)$, $\vec{v} = (-1; 3; 3)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-12; -6; 10)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (6; 12; -10)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-6; -12; 10)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-5; -12; 10)$

5. Góc giữa hai vectơ (cạnh / đường chéo) trong hình lập phương → số đo gócTrắc nghiệmcube_angle_between_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$45^\circ$
B.$135^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$

Câu 17.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{CB'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$30^\circ$
B.$120^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$

Câu 18.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$135^\circ$
B.$60^\circ$
C.$90^\circ$
D.$45^\circ$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AB'}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$60^\circ$
B.$45^\circ$
C.$135^\circ$
D.$90^\circ$

Câu 20.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$120^\circ$
B.$60^\circ$
C.$90^\circ$
D.$30^\circ$

Câu 21.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$135^\circ$
B.$90^\circ$
C.$60^\circ$
D.$45^\circ$

6. Hỏi COSIN góc giữa hai vectơ trong lập phương (thay vì số đo góc)Trắc nghiệmcube_cos_between_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 23.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{AD}\right) = 1$
B.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{AD}\right) = 0$
C.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{AD}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{AD}\right) = \dfrac{1}{2}$

Câu 24.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{A'B}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = 1$
B.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = 0$

Câu 26.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = - \dfrac{1}{2}$

Câu 27.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

7. Cho $|\vec u|, |\vec v|$ và góc → tính $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos(\vec u,\vec v)$Trắc nghiệmdot_from_norms_and_angle(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 9$ và góc giữa chúng bằng $30^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{3}$

Câu 29.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 9$, $|\vec{v}| = 6$ và góc giữa chúng bằng $120^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 27$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -3$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -27$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 27 \sqrt{3}$

Câu 30.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 10$, $|\vec{v}| = 7$ và góc giữa chúng bằng $150^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 35 \sqrt{3}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - \dfrac{7 \sqrt{3}}{2}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 35 \sqrt{3}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 35$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 6$ và góc giữa chúng bằng $30^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 15$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \sqrt{3}$

Câu 32.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 6$ và góc giữa chúng bằng $135^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3 \sqrt{2}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - \dfrac{5 \sqrt{2}}{2}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 15 \sqrt{2}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \sqrt{2}$

Câu 33.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 6$ và góc giữa chúng bằng $150^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3 \sqrt{3}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 18 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 18 \sqrt{3}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 18$

8. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$Trắc nghiệmdot_product_3d_compute(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (-5; 3; -3)$ và $\vec{v} = (4; 5; 1)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -9$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -8$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 8$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -7$

Câu 35.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (2; -4; 2)$ và $\vec{v} = (-3; 2; -1)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 16$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -17$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -15$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -16$

Câu 36.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (1; 4; -2)$ và $\vec{v} = (-1; -5; -2)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -17$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -18$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -16$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 17$

9. Đảo: cho $\vec u\cdot\vec v, |\vec u|$ và góc → tìm $|\vec v|$Trắc nghiệmnorm_from_dot_and_angle(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 3$, góc giữa chúng bằng $45^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{15 \sqrt{2}}{2}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 5$
B.$|\vec{v}| = \dfrac{5 \sqrt{2}}{2}$
C.$|\vec{v}| = 6$
D.$|\vec{v}| = \dfrac{5}{2}$

Câu 38.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 3$, góc giữa chúng bằng $150^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 12 \sqrt{3}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 6$
B.$|\vec{v}| = - 4 \sqrt{3}$
C.$|\vec{v}| = -8$
D.$|\vec{v}| = 8$

Câu 39.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 7$, góc giữa chúng bằng $60^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 28$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 9$
B.$|\vec{v}| = 4$
C.$|\vec{v}| = 2$
D.$|\vec{v}| = 8$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 8$, góc giữa chúng bằng $45^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 12 \sqrt{2}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 3$
B.$|\vec{v}| = \dfrac{3}{2}$
C.$|\vec{v}| = 4$
D.$|\vec{v}| = \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$

Câu 41.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, góc giữa chúng bằng $150^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 10 \sqrt{3}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = - \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}$
B.$|\vec{v}| = \dfrac{15}{4}$
C.$|\vec{v}| = 5$
D.$|\vec{v}| = -5$

Câu 42.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, góc giữa chúng bằng $120^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = -18$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = -9$
B.$|\vec{v}| = \dfrac{9}{4}$
C.$|\vec{v}| = - \dfrac{9}{2}$
D.$|\vec{v}| = 9$

10. Kiểm tra hai vectơ vuông góc dựa trên tích vô hướngTrắc nghiệmperpendicular_check_3d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Cho $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 0)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Không vuông góc
B.Vuông góc
C.Bằng nhau
D.Cùng phương

Câu 44.Cho $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (3; 0; -1)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Không vuông góc
B.Cùng phương
C.Bằng nhau
D.Vuông góc

Câu 45.Cho $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 0)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Bằng nhau
B.Vuông góc
C.Không vuông góc
D.Cùng phương

11. Tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$ trong lăng trụ đứng đều cạnh $m$Trắc nghiệmprism_dot_two_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $m$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$2m^2$
B.$-m^2$
C.$\dfrac{m^2}{2}$
D.$m^2$

Câu 47.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $5$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$50$
B.$25$
C.$-25$
D.$\dfrac{25}{2}$

Câu 48.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $2$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$-4$
B.$8$
C.$2$
D.$4$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $2$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$2$
B.$4$
C.$8$
D.$-4$

Câu 50.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $6$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$18$
B.$36$
C.$-36$
D.$72$

Câu 51.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$\dfrac{a^2}{2}$
B.$2a^2$
C.$-a^2$
D.$a^2$

12. Thể tích tứ diện $ABCD$ = $\dfrac{1}{6}|[\vec{AB},\vec{AC}]\cdot\vec{AD}|$Trắc nghiệmtetrahedron_volume_via_cross_dot(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;3;0)$, $D(0;0;1)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = \dfrac{1}{2}$
B.$V = 1$
C.$V = 3$
D.$V = \dfrac{3}{2}$

Câu 53.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(0;2;0)$, $D(0;0;1)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = 6$
B.$V = 3$
C.$V = 2$
D.$V = 1$

Câu 54.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;3;0)$, $D(0;0;2)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = 6$
B.$V = 2$
C.$V = 1$
D.$V = 3$

13. Cho 2 vectơ tạo góc đặc biệt (vuông / nhọn / tù) — xét đúng/saiĐúng / Saivector_3d_dot_product_examples(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; 0)$ và $\vec{v} = (1; 2; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
b)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
c)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc tù.
d)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.

Câu 56.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (-1; 0; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
c)Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm.
d)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc tù.

Câu 57.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; 0)$ và $\vec{v} = (1; 2; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
c)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc tù.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$.

14. Cho 2 vectơ cụ thể — tính tích vô hướng, kiểm tra vuông gócĐúng / Saivector_3d_dot_product_facts(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hai vectơ $\vec{u} = (3; 2; -1)$ và $\vec{v} = (2; 4; 1)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
b)Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là một vectơ.
c)$\vec{v} \cdot \vec{u} = 13$.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 13$.

Câu 59.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-3; -3; -2)$ và $\vec{v} = (1; -1; -4)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 = 22$.
b)Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là một vectơ.
c)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
d)$\vec{v} \cdot \vec{u} = 8$.

Câu 60.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2; 4)$ và $\vec{v} = (4; -4; -3)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$.
b)$|\vec{v}|^2 = 41$.
c)$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 = 21$.
d)Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là một vectơ.

15. Cosin góc giữa hai vectơ vuông góc — luôn 0Trả lời ngắncos_perpendicular_value(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 61.Hai vectơ cùng phương cùng hướng có cosin góc bằng?

Câu 62.Hai vectơ vuông góc có cosin góc giữa chúng bằng?

Câu 63.Hai vectơ ngược hướng (180°) có cosin góc bằng?

16. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$Trả lời ngắndot_product_3d_value(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Cho $\vec{u} = (-4; -3; 4)$ và $\vec{v} = (-4; 2; 2)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Câu 65.Cho $\vec{u} = (4; 4; -4)$ và $\vec{v} = (-4; 4; -3)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Câu 66.Cho $\vec{u} = (1; 3; -5)$ và $\vec{v} = (4; -3; 5)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Đáp án & lời giải

Mở đáp án & Lời giải

Mở toàn bộ đáp án + lời giải chi tiết của chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ".

Mở đáp án chủ đề này

Chỉ mở đáp án + lời giải của riêng chủ đề này.

99.000 đ
đã gồm VAT
Mở đáp án cả chương

Mở đáp án & lời giải cho tất cả 4 chủ đề trong chương — gồm cả chủ đề cập nhật thêm sau.

346.000đ
249.000 đ
đã gồm VAT
Xem & mở khoá cả chương

Cần đăng nhập để mua.

Câu hỏi + PDF câu hỏi xem/tải miễn phí; chỉ đáp án & lời giải mở sau khi mua.

← Về danh sách chủ đề