Giới hạn của hàm số tại vô cực

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Giới hạn tại vô cực

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ nếu $|f(x) - L|$ nhỏ tùy ý khi $x$ đủ lớn. Tương tự cho $x \to -\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ — giới hạn vô cực.

§2. Công thức(2)

2.1

Giới hạn cơ bản tại vô cực

$$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^k} = 0 \, (k > 0).$$ $$\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty \, (k > 0).$$ $$\lim_{x \to -\infty} x^k = \begin{cases} +\infty & k \text{ chẵn} \\ -\infty & k \text{ lẻ} \end{cases}.$$

2.2

Giới hạn hàm phân thức tại $\pm\infty$

$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $\deg P = m$, $\deg Q = k$, hệ số bậc cao nhất $a_m, b_k$:

$m < k$: giới hạn = $0$.
$m = k$: giới hạn = $\dfrac{a_m}{b_k}$.
$m > k$ và $a_m / b_k > 0$: $+\infty$ (với $x \to +\infty$).
$m > k$ và dấu phụ thuộc dấu $a_m / b_k$ và chẵn/lẻ của $m - k$ (với $x \to -\infty$).

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp chia bậc cao nhất

Cho hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$: Bước 1. Tìm bậc cao nhất $n$ xuất hiện trong tử + mẫu. Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho $x^n$. Bước 3. Mọi $\dfrac{1}{x^k} \to 0$ khi $x \to \pm\infty$. Bước 4. Tính giới hạn cuối. Vd: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x}{x^2 - 5} = \lim \dfrac{2 + 3/x}{1 - 5/x^2} = 2$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: chỉ giữ số hạng bậc cao nhất

Khi $x \to \pm\infty$, chỉ số hạng bậc cao nhất quyết định giới hạn: $$\lim_{x \to +\infty} (5x^3 + 2x^2 - x + 1) = \lim 5x^3 = +\infty.$$ Áp dụng cho cả tử và mẫu trong phân thức để nhẩm nhanh.

Bài tập

1. Bậc tử > bậc mẫu → $\lim = \pm\infty$ (theo hệ số đầu và chiều)Trắc nghiệm`limit_higher_degree_numerator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2 - 4}{2x - 6}$.

A.$L = -\infty$

B.$L = +\infty$

C.$L = 0$

D.$L = -1$

Câu 2.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-x^2 - 7}{x - 6}$.

A.$L = -\infty$

B.$L = -1$

C.$L = 0$

D.$L = +\infty$

Câu 3.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2 + 2}{x + 4}$.

A.$L = 0$

B.$L = -\infty$

C.$L = +\infty$

D.$L = -2$

2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx + c} - x\right) = \dfrac{b}{2}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệm`limit_infinity_minus_infinity_sqrt_x`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 7x + 1} - x\right)$.

A.$L = \dfrac{1}{2}$

B.$L = -7$

C.$L = - \dfrac{7}{2}$

D.$L = +\infty$

Câu 5.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 7x + 1} - x\right)$.

A.$L = +\infty$

B.$L = \dfrac{1}{2}$

C.$L = -7$

D.$L = - \dfrac{7}{2}$

Câu 6.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x + 1} - x\right)$.

A.$L = +\infty$

B.$L = \dfrac{1}{2}$

C.$L = 2$

D.$L = 1$

3. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx} - \sqrt{x^2 + dx}\right) = \dfrac{b - d}{2}$Trắc nghiệm`limit_infinity_minus_infinity_two_sqrt`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - \sqrt{x^2 + 9x}\right)$.

A.$L = \dfrac{15}{2}$

B.$L = - \dfrac{3}{2}$

C.$L = \dfrac{3}{2}$

D.$L = -3$

Câu 8.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + x}\right)$.

A.$L = \dfrac{1}{2}$

B.$L = \dfrac{3}{2}$

C.$L = - \dfrac{1}{2}$

D.$L = 1$

Câu 9.Tính $L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + 8x}\right)$.

A.$L = 5$

B.$L = 3$

C.$L = -6$

D.$L = -3$

4. Bậc tử < bậc mẫu → $\lim = 0$Trắc nghiệm`limit_lower_degree_numerator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 5}{-3x^2 + 4x - 6}$.

A.$L = 0$

B.$L = -\infty$

C.$L = +\infty$

D.$L = - \dfrac{4}{3}$

Câu 11.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + 7}{3x^2 - 5x + 7}$.

A.$L = 0$

B.$L = \dfrac{1}{3}$

C.$L = +\infty$

D.$L = -\infty$

Câu 12.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + 5}{3x^2 - x - 1}$.

A.$L = 0$

B.$L = \dfrac{1}{3}$

C.$L = -\infty$

D.$L = +\infty$

5. $\lim\limits_{x \to -\infty}$ của đa thức bậc lẻ → ±∞ phụ thuộc hệ số đầuTrắc nghiệm`limit_minus_infinity_polynomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} (5x^3 + 6x^2 - 3x + 1)$.

A.$+\infty$

B.$5$

C.$-\infty$

D.$0$

Câu 14.Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} (-x^3 - 7x^2 - 3x - 6)$.

A.$+\infty$

B.$-1$

C.$0$

D.$-\infty$

Câu 15.Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} (5x^3 - 4x^2 - 2x - 4)$.

A.$-\infty$

B.$0$

C.$5$

D.$+\infty$

6. $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$Trắc nghiệm`limit_rational_at_infinity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x - 7}{8x + 2}$.

A.$L = - \dfrac{7}{2}$

B.$L = \dfrac{8}{3}$

C.$L = +\infty$

D.$L = \dfrac{3}{8}$

Câu 17.Tính $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{9x - 9}{7x - 1}$.

A.$L = +\infty$

B.$L = \dfrac{9}{7}$

C.$L = \dfrac{7}{9}$

D.$L = 9$

Câu 18.Tính $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x - 4}{5x - 8}$.

A.$L = \dfrac{1}{2}$

B.$L = \dfrac{1}{5}$

C.$L = 5$

D.$L = +\infty$

7. Cho hàm $f(x) = ax^3 + bx + c$ — xét giới hạn tại vô cực và bậc cao nhấtĐúng / Sai`limit_inf_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hàm số $f(x) = -2x^3 + x + 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm $f$ là một đa thức bậc 3.

b)$\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$.

c)Đa thức bậc lẻ luôn có giới hạn vô cực ở cả hai đầu cùng dấu.

d)$\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = +\infty$.

Câu 20.Cho hàm số $f(x) = 3x^3 + 4x + 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = +\infty$.

b)$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$.

c)Hàm $f$ là một đa thức bậc 3.

d)Khi $|x|$ rất lớn, $f(x) \approx 3x^3$.

Câu 21.Cho hàm số $f(x) = -x^3 + 3x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -1$.

b)Đa thức bậc lẻ luôn có giới hạn vô cực ở cả hai đầu cùng dấu.

c)Hàm $f$ là một đa thức bậc 3.

d)$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

8. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ — xét giới hạn tại $\pm\infty$ và tiệm cậnĐúng / Sai`limit_infinity_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{3x - 4}{2x - 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng $x = \dfrac{2}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

b)$\lim\limits_{x \to +\infty} \sin x$ tồn tại và bằng $1$.

c)$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

d)$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.

Câu 23.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{4x + 3}{2x - 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.

b)Đường thẳng $x = \dfrac{2}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

c)$\lim\limits_{x \to +\infty} \sin x$ tồn tại và bằng $1$.

d)$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Câu 24.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{4x - 3}{2x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to +\infty} \sin x$ tồn tại và bằng $1$.

b)$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \dfrac{4}{2}$.

c)Đường thẳng $y = \dfrac{4}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

d)Khi bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu, giới hạn tại vô cực bằng $0$.

9. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$ (số thập phân)Trả lời ngắn`rational_limit_infinity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-6x + 5}{4x + 1}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 26.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-3x - 9}{-6x + 1}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x - 2}{-6x + 1}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(2)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Bậc tử > bậc mẫu → $\lim = \pm\infty$ (theo hệ số đầu và chiều)Trắc nghiệmlimit_higher_degree_numerator(3 câu)

2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx + c} - x\right) = \dfrac{b}{2}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệmlimit_infinity_minus_infinity_sqrt_x(3 câu)

3. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx} - \sqrt{x^2 + dx}\right) = \dfrac{b - d}{2}$Trắc nghiệmlimit_infinity_minus_infinity_two_sqrt(3 câu)

4. Bậc tử < bậc mẫu → $\lim = 0$Trắc nghiệmlimit_lower_degree_numerator(3 câu)

5. $\lim\limits_{x \to -\infty}$ của đa thức bậc lẻ → ±∞ phụ thuộc hệ số đầuTrắc nghiệmlimit_minus_infinity_polynomial(3 câu)

6. $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$Trắc nghiệmlimit_rational_at_infinity(3 câu)

7. Cho hàm $f(x) = ax^3 + bx + c$ — xét giới hạn tại vô cực và bậc cao nhấtĐúng / Sailimit_inf_facts2(3 câu)

8. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ — xét giới hạn tại $\pm\infty$ và tiệm cậnĐúng / Sailimit_infinity_facts(3 câu)

9. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$ (số thập phân)Trả lời ngắnrational_limit_infinity(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Bậc tử > bậc mẫu → $\lim = \pm\infty$ (theo hệ số đầu và chiều)Trắc nghiệm`limit_higher_degree_numerator`(3 câu)

2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx + c} - x\right) = \dfrac{b}{2}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệm`limit_infinity_minus_infinity_sqrt_x`(3 câu)

3. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + bx} - \sqrt{x^2 + dx}\right) = \dfrac{b - d}{2}$Trắc nghiệm`limit_infinity_minus_infinity_two_sqrt`(3 câu)

4. Bậc tử < bậc mẫu → $\lim = 0$Trắc nghiệm`limit_lower_degree_numerator`(3 câu)

5. $\lim\limits_{x \to -\infty}$ của đa thức bậc lẻ → ±∞ phụ thuộc hệ số đầuTrắc nghiệm`limit_minus_infinity_polynomial`(3 câu)

6. $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$Trắc nghiệm`limit_rational_at_infinity`(3 câu)

7. Cho hàm $f(x) = ax^3 + bx + c$ — xét giới hạn tại vô cực và bậc cao nhấtĐúng / Sai`limit_inf_facts2`(3 câu)

8. Cho $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ — xét giới hạn tại $\pm\infty$ và tiệm cậnĐúng / Sai`limit_infinity_facts`(3 câu)

9. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ax + b}{cx + d} = a/c$ (số thập phân)Trả lời ngắn`rational_limit_infinity`(3 câu)