Bất đẳng thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $x, y$ có dạng: $$a x + b y + c > 0,$$ (hoặc $<, \geq, \leq$), với $a^2 + b^2 > 0$. Nghiệm là cặp $(x_0; y_0)$ thoả bất phương trình. Tập nghiệm = tập tất cả các nghiệm.

§2. Tính chất(1)

2.1

Ý nghĩa hình học

Tập nghiệm của $a x + b y + c > 0$ là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $ax + by + c = 0$ (không kể đường thẳng). Tập nghiệm của $\geq$ bao gồm cả đường thẳng (vẽ nét liền). Bất phương trình ngặt $>, <$ → biên không thuộc tập nghiệm (vẽ nét đứt).

§3. Phương pháp(1)

3.1

Biểu diễn miền nghiệm

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by + c = 0$ (nét đứt nếu $>, <$; nét liền nếu $\geq, \leq$). Bước 2. Chọn 1 điểm thử $M$ không thuộc $d$, thường $O(0; 0)$ nếu $c \neq 0$. Bước 3. Thay toạ độ $M$ vào bất phương trình:

Đúng → tô nửa mặt phẳng chứa $M$.
Sai → tô nửa mặt phẳng KHÔNG chứa $M$.

Bước 4. Phần tô = miền nghiệm.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng $O(0;0)$ làm điểm thử

Khi $c \neq 0$: $O(0;0)$ KHÔNG thuộc đường thẳng → là điểm thử tốt. Thay $O$ vào: $c > 0$ (hoặc $\geq 0$) → $O$ thoả → miền chứa $O$. Nhanh hơn nhiều so với tính toạ độ điểm khác.

Bài tập

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệm`apply_inequality_property_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $-a$ và $-b$?

A.$-a < -b$

B.$-a > -b$

C.$-a = -b$

D.Không xác định được

Câu 2.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $a - 4$ và $b - 4$?

A.$a - 4 > b - 4$

B.$a - 4 \geq b - 4$ (chỉ \geq, có thể bằng)

C.$a - 4 = b - 4$

D.$a - 4 < b - 4$

Câu 3.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $a - 1$ và $b - 1$?

A.$a - 1 < b - 1$

B.$a - 1 \geq b - 1$ (chỉ \geq, có thể bằng)

C.$a - 1 = b - 1$

D.$a - 1 > b - 1$

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệm`check_inequality_concrete`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$|-3| < 2$

B.$-7 > -2$

C.$0 > -1$

D.$2^3 > 3^2$

Câu 5.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$5 > 3$

B.$-7 > -2$

C.$|-3| < 2$

D.$2^3 > 3^2$

Câu 6.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$\sqrt{4} = 2$

B.$-7 > -2$

C.$|-3| < 2$

D.$2^3 > 3^2$

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệm`represent_region_via_origin_test`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $3x - 4y \geq 3$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

Câu 8.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $-4x - 2y > 8$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

Câu 9.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y > -9$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệm`system_region_triangle_vertices`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2y \leq 8 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(0; 0),\ (4; 0),\ (0; 8)$

B.$(0; 0),\ (8; 0),\ (8; 4)$

C.$(0; 0),\ (8; 0),\ (0; 4)$

D.$(8; 0),\ (0; 4),\ (8; 4)$

Câu 11.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2y \leq 8 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(0; 0),\ (8; 0),\ (8; 4)$

B.$(8; 0),\ (0; 4),\ (8; 4)$

C.$(0; 0),\ (4; 0),\ (0; 8)$

D.$(0; 0),\ (8; 0),\ (0; 4)$

Câu 12.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + y \leq 8 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(0; 0),\ (4; 0),\ (4; 8)$

B.$(4; 0),\ (0; 8),\ (4; 8)$

C.$(0; 0),\ (4; 0),\ (0; 8)$

D.$(0; 0),\ (8; 0),\ (0; 4)$

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệm`three_var_inequality_min_classic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^3 + b^3 + c^3$.

A.$P_{\min} = 1$

B.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

C.$P_{\min} = 9$

D.$P_{\min} = 3$

Câu 14.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^3 + b^3 + c^3$.

A.$P_{\min} = 1$

B.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

C.$P_{\min} = 3$

D.$P_{\min} = 9$

Câu 15.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}$.

A.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

B.$P_{\min} = 9$

C.$P_{\min} = 1$

D.$P_{\min} = \dfrac{3}{2}$

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Sai`ineq_basic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho ba số $a = 7, b = 4, c = -1$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$-a > -b$.

b)$-a < -b$.

c)Vì $c = -1$, ta có $ac < bc$.

d)Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ với $x, y \geq 0$.

Câu 17.Cho ba số $a = 10, b = 6, c = -3$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tính bắc cầu: nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$.

b)$-a > -b$.

c)Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ với $x, y \geq 0$.

d)$-a < -b$.

Câu 18.Cho ba số $a = 10, b = 6, c = -3$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$-a < -b$.

b)$-a > -b$.

c)Tính bắc cầu: nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$.

d)$a + c = 7$ và $b + c = 3$, nên $a + c > b + c$.

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Sai`ineq_concrete_facts_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho hai số $x = 0$ và $y = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x = 0 > y = -3$.

b)$x^2 \geq 0$.

c)$x \cdot y > 0$.

d)$|x| > |y|$.

Câu 20.Cho hai số $x = 5$ và $y = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|-x| = 5$.

b)$x \cdot y > 0$.

c)$|x| > |y|$.

d)$x^2 \geq 0$.

Câu 21.Cho hai số $x = 4$ và $y = -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x \cdot y = -4$.

b)$x + y = 3$.

c)$|-x| = 4$.

d)$x \cdot y > 0$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệmapply_inequality_property_g10(3 câu)

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệmcheck_inequality_concrete(3 câu)

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệmrepresent_region_via_origin_test(3 câu)

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệmsystem_region_triangle_vertices(3 câu)

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệmthree_var_inequality_min_classic(3 câu)

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Saiineq_basic_facts(3 câu)

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Saiineq_concrete_facts_g10(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệm`apply_inequality_property_g10`(3 câu)

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệm`check_inequality_concrete`(3 câu)

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệm`represent_region_via_origin_test`(3 câu)

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệm`system_region_triangle_vertices`(3 câu)

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệm`three_var_inequality_min_classic`(3 câu)

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Sai`ineq_basic_facts`(3 câu)

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Sai`ineq_concrete_facts_g10`(3 câu)