Đề khảo sát chất lượng lớp 12 - Nâng cao - đề 013 - năm 2025

Câu 1.Quan sát điểm $M$ và các hình chiếu trên hệ trục $Oxyz$ trong hình. Toạ độ điểm $M$ là:

Câu 2.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (-3; 5; -4)$ và $\vec{v} = (-1; -4; 3)$.

Câu 3.Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (với $a \neq 0$) thuộc loại nào?

Câu 4.Cho $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = -6$. Tính $\displaystyle\int_{4}^{1} f(x)\,dx$.

Câu 5.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, trục $Ox$ và $x = 1$ quay quanh $Ox$.

Câu 6.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(3; 5; -1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 27 = 0$.

Câu 8.Viết PT tham số đường thẳng qua điểm $M(3; -1; 2)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 2; -2)$.

Câu 9.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$.

Câu 10.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 1)^{4}\,dx$.

Câu 11.Tính $\displaystyle\int e^{-2x}\,dx$.

Câu 12.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 13.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 0,5$ và $V(X) = 0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 14.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 12x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 15.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 16.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), vệ tinh $M$ chuyển động trên quỹ đạo $(S): (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 = 4$. Trạm thu đặt tại $A(1; 8; 7)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định:

Câu 17.Hàm $y = x^3 + 13x^2 + 60x - 2$ đạt cực đại tại $x = ?$

Câu 18.Cho hàm số $y = x^{3} - \dfrac{3 x^{2}}{2} - 60 x + 3$. Tính độ dài khoảng nghịch biến của hàm số.

Câu 19.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 12$ m, $AD = 8$ m. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ đều bằng $4$ m. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{5}{12}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, tia laser đi qua $A(3; 2; 6)$ theo $\vec{u} = (1; 0; 0)$ xuyên qua quả cầu $(S): (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25$ tại hai điểm $M, N$. Tính độ dài dây cung $MN$.

Câu 21.Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $8$ dm, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $4$ dm, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $6$ dm. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn đến hàng đơn vị; biết $1$ lít $= 1$ dm³ và bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).

Câu 22.Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng container nhỏ kho hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 400$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $4$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.