Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$, gọi:

• đối: cạnh đối diện $\alpha$.
• kề: cạnh kề $\alpha$ (không phải cạnh huyền).
• huyền: cạnh huyền.

Tỉ số lượng giác: $$\sin\alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}.$$ $$\tan\alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}, \quad \cot\alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}.$$

• Góc nâng (góc trông lên): góc giữa tia ngắm và mặt phẳng ngang, khi nhìn lên.
• Góc hạ (góc trông xuống): góc giữa tia ngắm và mặt phẳng ngang, khi nhìn xuống.

Cả 2 luôn được đo từ phương ngang (chứ không từ phương đứng).

Trong tam giác vuông tại $A$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2.$$ Đảo: nếu tam giác có $a^2 = b^2 + c^2$ thì vuông tại $A$ (đối diện cạnh $a$).

Tam giác vuông tại $A$, đường cao $AH$ kẻ từ $A$ xuống cạnh huyền $BC = a$. Đặt $AB = c, AC = b, BH = c', CH = b', AH = h$: $$b^2 = a \cdot b', \quad c^2 = a \cdot c'.$$ $$h^2 = b' \cdot c'.$$ $$b \cdot c = a \cdot h.$$ $$\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}.$$

Với $0° < \alpha_1 < \alpha_2 < 90°$:

• $\sin$ và $\tan$: tăng ($\sin\alpha_1 < \sin\alpha_2$, $\tan\alpha_1 < \tan\alpha_2$).
• $\cos$ và $\cot$: giảm ($\cos\alpha_1 > \cos\alpha_2$, $\cot\alpha_1 > \cot\alpha_2$).

Hai góc $\alpha, \beta$ phụ nhau ($\alpha + \beta = 90°$): $$\sin\alpha = \cos\beta, \quad \cos\alpha = \sin\beta.$$ $$\tan\alpha = \cot\beta, \quad \cot\alpha = \tan\beta.$$ Vd: $\sin 60° = \cos 30°, \tan 45° = \cot 45° = 1$.

Tam giác vuông tại $A$, gọi $B = \beta, C = \gamma$ là 2 góc nhọn ($\beta + \gamma = 90°$): $$b = a \sin B = a \cos C, \quad c = a \sin C = a \cos B.$$ $$b = c \tan B = c \cot C, \quad c = b \tan C = b \cot B.$$

Cho 1 góc nhọn + 1 cạnh (hoặc 2 cạnh) — tính các yếu tố còn lại: Bước 1. Vẽ hình, ghi rõ các dữ kiện. Bước 2. Nếu biết 2 cạnh: dùng Pythagore tìm cạnh thứ 3, dùng $\tan$ để tính góc. Bước 3. Nếu biết 1 cạnh + 1 góc: dùng các tỉ số lượng giác để tìm các cạnh còn lại. Bước 4. Tính góc còn lại qua $\beta + \gamma = 90°$. Bước 5. Kết luận, làm tròn theo yêu cầu.

1. Đo chiều cao: nhà, cây, núi, cột → góc nâng từ chân. 2. Tính khoảng cách: hai điểm xa, độ rộng sông → 2 góc nâng từ 2 điểm. 3. Bóng cây / vật: dùng góc tia sáng mặt trời. 4. Tàu hàng hải / máy bay: góc hạ từ trên cao xuống vật. 5. Cầu thang / dốc / nóc nhà: hỏi chiều cao, độ dốc, góc nghiêng.

Bước 1. Đọc kỹ đề + vẽ hình mô phỏng. Bước 2. Đặt tam giác vuông với cạnh kề/đối/huyền tương ứng với đại lượng cần tìm. Bước 3. Xác định góc nâng/hạ → chọn tỉ số lượng giác phù hợp ($\sin/\cos/\tan$). Bước 4. Lập phương trình → giải. Bước 5. Kết luận theo đơn vị + làm tròn theo yêu cầu.

Tam giác vuông cân (45-45-90): cạnh = $a$, huyền = $a\sqrt{2}$. → $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Tam giác nửa đều (30-60-90, từ tam giác đều cạnh $2a$ cắt đôi):

• Cạnh đối $30°$: $a$. Cạnh đối $60°$: $a\sqrt{3}$. Cạnh huyền: $2a$.
• $\sin 30° = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Quy tắc bàn tay (mẹo):

• $\sin 30° = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$.
• $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\sin 90° = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = 1$.

$\cos$ ngược lại từ $90° \to 30°$. $\tan = \sin / \cos$.

SOH: $\sin = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Huyền}}$. CAH: $\cos = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Huyền}}$. TOA: $\tan = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Kề}}$. Tuỳ dữ kiện đề bài đã có (cạnh nào, góc nào) → chọn $\sin$, $\cos$, hay $\tan$ cho phù hợp.

Bài toán đo chiều cao cây / nhà bằng góc nâng: nếu đề có cho chiều cao mắt người đo (vd 1.6 m): → Chiều cao thực = chiều cao tính được từ tam giác + chiều cao mắt. Nếu đề không cho → coi mắt ở mặt đất.