Đường tròn

Cho đường tròn $(O; R)$:

• Dây: đoạn nối 2 điểm trên đường tròn.
• Đường kính: dây đi qua tâm $O$. Là dây lớn nhất, độ dài $= 2R$.
• Cung: phần đường tròn giữa 2 điểm.
• 1 dây chia đường tròn thành 2 cung.

Cho điểm $O$ và số $R > 0$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, ký hiệu $(O; R)$, là tập hợp các điểm $M$ sao cho $OM = R$.

• Đường tròn có vô số trục đối xứng (mọi đường kính).
• Tâm đối xứng: chính tâm $O$.

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm $O$ của đường tròn. Một góc ở tâm chia đường tròn thành 2 cung. Số đo góc ở tâm = số đo cung nhỏ mà nó chắn.

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và 2 cạnh chứa 2 dây của đường tròn.

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung xuất phát từ tiếp điểm.

Tứ giác $ABCD$ gọi là nội tiếp đường tròn nếu cả 4 đỉnh cùng thuộc 1 đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Trong một đường tròn:

• Đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm dây ấy.
• Đường kính đi qua trung điểm 1 dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

→ Dùng để xác định trung điểm dây, hoặc kiểm tra vuông góc.

Từ 1 điểm $A$ ngoài $(O)$, kẻ 2 tiếp tuyến đến $(O)$, tiếp điểm $B, C$. Khi đó:

• $AB = AC$ (2 tiếp tuyến bằng nhau).
• $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.
• $OA$ là đường trung trực của $BC$.
• $OA$ là tia phân giác của $\widehat{BOC}$.

Nếu đường thẳng $a$ tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ thì: $$a \perp OT.$$ Đảo lại: đường thẳng qua $T \in (O)$ và vuông góc với bán kính $OT$ là tiếp tuyến.

Đường thẳng đi qua 2 tâm $O_1 O_2$ là trục đối xứng chung của 2 đường tròn. Khi 2 đường tròn cắt nhau tại $A, B$: $AB \perp O_1 O_2$ và $AB$ bị $O_1 O_2$ chia đôi. Khi tiếp xúc: tiếp điểm nằm trên $O_1 O_2$.

Số đo của 1 góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Hệ quả:

• Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
• Các góc nội tiếp chắn cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (cung lớn nhất) = $90°$ (góc vuông).
• Góc nội tiếp + góc ở tâm cùng chắn 1 cung: $\widehat{\text{nội tiếp}} = \dfrac{1}{2} \widehat{\text{ở tâm}}$.

Cho 2 dây $AB, CD$ cắt nhau tại $I$ trong đường tròn: $$\widehat{AID} = \widehat{BIC} = \dfrac{\text{cung } AD + \text{cung } BC}{2}.$$

Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn, 2 cạnh cắt đường tròn: $$\widehat{} = \dfrac{\text{cung lớn} - \text{cung nhỏ}}{2}.$$ Áp dụng cho cả 3 trường hợp: 2 cát tuyến, 2 tiếp tuyến, 1 cát + 1 tiếp.

Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung = nửa số đo cung bị chắn (cung nằm phía 'trong' của góc). Hệ quả quan trọng: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây = góc nội tiếp cùng chắn cung đó (= $\dfrac{\text{cung}}{2}$).

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\Leftrightarrow$ góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong tại đỉnh đối diện. Vd: góc ngoài tại $A$ = $\widehat{C}$.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\Leftrightarrow$ tổng số đo 2 góc đối bằng $180°$: $$\widehat{A} + \widehat{C} = 180°, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180°.$$

Trong một đường tròn:

• 2 dây bằng nhau $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm đến chúng bằng nhau.
• Dây dài hơn $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm nhỏ hơn.

$$d^2 + \left(\dfrac{\text{dây}}{2}\right)^2 = R^2.$$ (Dùng Pythagore: $d$ = khoảng cách tâm-dây, $R$ = bán kính.)

Tiếp tuyến = đường thẳng có 1 điểm chung duy nhất với đường tròn (tiếp điểm). Tính chất: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. $d(O, \text{tiếp tuyến}) = R$.

Cho $(O; R)$, điểm $A$ ngoài đường tròn với $OA = d$. Độ dài tiếp tuyến từ $A$: $$AT = \sqrt{d^2 - R^2} \, (d > R).$$ (Dùng Pythagore trong tam giác vuông $OAT$ vuông tại $T$.)

Cho $(O; R)$ và đường thẳng $a$ với $d = d(O, a)$:

• $d > R$: $a$ và $(O)$ không có điểm chung (đường thẳng không cắt).
• $d = R$: $a$ tiếp xúc với $(O)$ — có 1 điểm chung (tiếp điểm).
• $d < R$: $a$ cắt $(O)$ tại 2 điểm phân biệt — gọi là cát tuyến.

Độ dài dây cung khi cắt: $\ell = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Cho 2 đường tròn $(O_1; R_1), (O_2; R_2)$ với $d = O_1 O_2$, giả sử $R_1 \geq R_2$:

• $d > R_1 + R_2$: không cắt (ngoài nhau, tách biệt).
• $d = R_1 + R_2$: tiếp xúc ngoài — 1 điểm chung, tiếp điểm nằm trên đoạn $O_1 O_2$.
• $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$: cắt nhau tại 2 điểm.
• $d = |R_1 - R_2|$: tiếp xúc trong — 1 điểm chung, tiếp điểm trên tia $O_1 O_2$ hoặc $O_2 O_1$.
• $d < |R_1 - R_2|$: đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn, không có điểm chung.
• $d = 0$ và $R_1 = R_2$: 2 đường tròn trùng nhau.

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ $\Leftrightarrow$ $\widehat{BAC} = 90°$ (tức tam giác vuông tại $A$). → Dùng để chứng minh tam giác vuông khi biết nội tiếp.

Cho dây $AB$ cách tâm $O$ khoảng $d$, bán kính $R$: $$AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2}.$$ Suy ra: $d = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}$.

Trong cùng đường tròn (hoặc 2 đường tròn bằng nhau):

• 2 cung bằng nhau $\Leftrightarrow$ 2 dây căng cung bằng nhau.
• Cung lớn hơn $\Leftrightarrow$ dây căng cung lớn hơn.
• Góc nội tiếp bằng nhau $\Leftrightarrow$ chắn cung bằng nhau.

Tích đoạn cát tuyến: từ điểm $M$, kẻ 2 cát tuyến cắt đường tròn tại $A, B$ và $C, D$: $$MA \cdot MB = MC \cdot MD.$$ Tiếp tuyến từ $M$: nếu $MT$ là tiếp tuyến và $MAB$ là cát tuyến: $$MT^2 = MA \cdot MB.$$

Cách 1. Chứng minh đường thẳng có 1 điểm chung với đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó. Cách 2. Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng = bán kính: $d = R$. Cách 3. Dùng góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây = góc nội tiếp chắn cung kia. Trong hình học toạ độ: $d(I, \Delta) = R$.

Trong tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, để tính độ dài / góc: Bước 1. Kẻ đường kính $AD$ qua $A$. Bước 2. $\widehat{ABD} = 90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $AD$). Bước 3. Trong tam giác vuông $ABD$: $AD = 2R$, áp dụng tỉ số lượng giác / Pythagore. → Kỹ thuật kẻ đường phụ rất phổ biến khi đề chỉ cho 1 vài yếu tố, muốn dùng định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ trực tiếp.

Cách 1. Tổng 2 góc đối $= 180°$. Cách 2. Góc ngoài = góc đối trong. Cách 3. 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau (chứng tỏ 4 đỉnh nằm trên cùng cung). Cách 4. Khoảng cách từ 1 điểm đến 4 đỉnh bằng nhau (tâm = điểm đó). Cách 5. Tứ giác có 1 cặp đỉnh đối nhìn cạnh chung dưới góc vuông → 4 đỉnh nội tiếp đường tròn đường kính chung.

Khi gặp 'tiếp tuyến tại $T$': nhớ $OT \perp$ tiếp tuyến → tam giác vuông tại $T$. → Dùng Pythagore + các tỉ số lượng giác để tính cạnh, góc. Nhiều bài chìa khoá nằm ở việc nhận ra tam giác vuông này.