Hàm số y = ax² và phương trình bậc hai

$y = a x^2$ với $a \neq 0$. Đồ thị: parabol đỉnh $O$, trục đối xứng $Oy$.

• TXĐ: $\mathbb{R}$.
• $a > 0$: parabol mở lên, $y \geq 0$ với mọi $x$. $\min y = 0$ tại $x = 0$.
• $a < 0$: parabol mở xuống, $y \leq 0$. $\max y = 0$ tại $x = 0$.

$$a x^2 + b x + c = 0, \quad (a \neq 0).$$ Các trường hợp đặc biệt:

• $b = 0$: $ax^2 + c = 0$ (khuyết $b$).
• $c = 0$: $ax^2 + bx = 0$ (khuyết $c$).
• $b = c = 0$: $ax^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Cho $a x^2 + b x + c = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ (có thể trùng): $$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Đảo Vi-ét: nếu $x_1 + x_2 = S, x_1 x_2 = P$ thì $x_1, x_2$ là nghiệm của: $$X^2 - S X + P = 0 \, (\text{cần } S^2 \geq 4 P).$$

Khi $b = 2b'$ chẵn:

• $\Delta' > 0$: $x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$.
• $\Delta' = 0$: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a}$.
• $\Delta' < 0$: vô nghiệm.

• $\Delta > 0$: phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}.$$

• $\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2 a}.$$

• $\Delta < 0$: phương trình vô nghiệm (trên $\mathbb{R}$).

$a > 0$:

• Nghịch biến trên $(-\infty; 0)$.
• Đồng biến trên $(0; +\infty)$.

$a < 0$:

• Đồng biến trên $(-\infty; 0)$.
• Nghịch biến trên $(0; +\infty)$.

Cho $a x^2 + b x + c = 0 \, (a \neq 0)$, $\Delta = b^2 - 4 a c \geq 0$: $$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}.$$ Hoặc dùng $\Delta' = b'^2 - ac$ khi $b = 2b'$: $$x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}.$$

Cho $a x^2 + b x + c = 0 \, (a \neq 0)$: $$\Delta = b^2 - 4 a c.$$ Biệt thức rút gọn (khi $b = 2 b'$): $$\Delta' = b'^2 - a c, \quad \Delta = 4 \Delta'.$$

Đặt $S = x_1 + x_2, P = x_1 x_2$. Các biểu thức đối xứng theo $x_1, x_2$: $$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P.$$ $$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3 S P.$$ $$|x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P}.$$ $$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P} \, (P \neq 0).$$ $$\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{S^2 - 2P}{P^2}.$$

Bước 1. Lập bảng giá trị: chọn $x = -2, -1, 0, 1, 2$ → tính $y$ tương ứng. Bước 2. Đánh dấu các điểm trên $Oxy$, đặc biệt đỉnh $O(0; 0)$. Bước 3. Nối thành parabol đối xứng qua $Oy$. Lưu ý: parabol đi qua $O$. $|a|$ càng lớn → parabol hẹp; $|a|$ nhỏ → parabol bè.

Cho $y = a x^2$ đi qua $M(x_0; y_0)$ ($x_0 \neq 0$): $$y_0 = a x_0^2 \Rightarrow a = \dfrac{y_0}{x_0^2}.$$ Vd: đi qua $(2; 8) \Rightarrow a = \dfrac{8}{4} = 2$ → $y = 2x^2$.

$ax^2 + c = 0$ ($b = 0$): $x^2 = -\dfrac{c}{a}$. Có nghiệm khi $-c/a \geq 0$ → $x = \pm \sqrt{-c/a}$. $ax^2 + bx = 0$ ($c = 0$): $x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{b}{a}$. Trường hợp tổng quát: dùng biệt thức $\Delta$ — sẽ xét ở bài sau.

Bước 1. Xác định $a, b, c$ (đảm bảo $a \neq 0$). Bước 2. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ (hoặc $\Delta'$ nếu $b$ chẵn). Bước 3. Xét dấu $\Delta$:

• $\Delta > 0$: 2 nghiệm phân biệt theo công thức.
• $\Delta = 0$: nghiệm kép $x = -b/(2a)$.
• $\Delta < 0$: vô nghiệm.

Bước 4. Kết luận.

Bước 1. Đảm bảo phương trình có nghiệm (xét $\Delta \geq 0$ → điều kiện về $m$). Bước 2. Áp dụng Vi-ét: $S = -b/a, P = c/a$ — biểu diễn theo $m$. Bước 3. Đưa điều kiện về biểu thức đối xứng → quy về phương trình theo $m$. Bước 4. Giải, đối chiếu với điều kiện ở Bước 1. Vd: tìm $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 10$ → $S^2 - 2P = 10$ → phương trình theo $m$.

Cho phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ ($\Delta \geq 0$). Đặt $S, P$:

• 2 nghiệm trái dấu ($x_1 x_2 < 0$) $\Leftrightarrow P < 0$.
• 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow P > 0$:

+ Cùng dương: $P > 0$ và $S > 0$. + Cùng âm: $P > 0$ và $S < 0$.

• 2 nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow S = 0$ và $P < 0$.
• 2 nghiệm nghịch đảo nhau $\Leftrightarrow P = 1$.

Bước 1. Đặt $t = x^2$ với $t \geq 0$. Bước 2. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$: $a t^2 + b t + c = 0$. Bước 3. Giải tìm $t$, loại $t < 0$. Bước 4. Với mỗi $t \geq 0$: $x = \pm\sqrt{t}$. Vd: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Đặt $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1, 4 \Rightarrow x = \pm 1, \pm 2$.

Bước 1. ĐKXĐ: mẫu khác 0. Bước 2. Quy đồng + nhân chéo → đưa về phương trình đa thức. Bước 3. Giải phương trình thu được (thường là bậc 2). Bước 4. Đối chiếu ĐKXĐ → loại nghiệm làm mẫu = 0. Vd: $\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{x-1}{x+2} = 4$, ĐKXĐ $x \neq \pm 2$.

Khi phương trình có dạng $a [f(x)]^2 + b f(x) + c = 0$ với $f(x)$ là biểu thức phức: Bước 1. Đặt $t = f(x)$ (kèm điều kiện nếu cần). Bước 2. Quy về bậc 2 theo $t$, giải tìm $t$. Bước 3. Trở lại biến cũ: giải $f(x) = t$ cho từng giá trị $t$. Vd: $(x^2 - x)^2 - 5(x^2 - x) + 6 = 0$. Đặt $t = x^2 - x$...

$\sqrt{f(x)} = g(x)$: Bước 1. ĐKXĐ: $f(x) \geq 0$ và $g(x) \geq 0$ (vì $\sqrt{} \geq 0$). Bước 2. Bình phương 2 vế: $f(x) = [g(x)]^2$. Bước 3. Giải phương trình thu được. Bước 4. Đối chiếu ĐKXĐ → loại nghiệm ngoại lai. Lưu ý: bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai → luôn kiểm tra.

Trước khi dùng $\Delta$:

• $a + b + c = 0$: 2 nghiệm $x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• $a - b + c = 0$: 2 nghiệm $x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

→ Kiểm tra nhanh các tổng/hiệu hệ số trước khi tính $\Delta$ — tiết kiệm thời gian.

1. Thử $a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$ → nếu có thì kết luận ngay. 2. Thử phân tích nhân tử nếu các hệ số đơn giản. 3. Cuối cùng dùng công thức $\Delta$ (chậm nhất nhưng luôn được).

• $a + b + c = 0$: $x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• $a - b + c = 0$: $x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

→ Trước khi dùng $\Delta$, luôn thử 2 đẳng thức này. Nhanh hơn rất nhiều.

Khi $b$ chẵn ($b = 2b'$): dùng $\Delta'$ thay $\Delta$. Lợi: $\Delta'$ thường nhỏ hơn 4 lần → tính nhanh + chính xác hơn. Vd: $x^2 - 6x + 5 = 0$: $b' = -3, \Delta' = 9 - 5 = 4 > 0 \Rightarrow x = 3 \pm 2 = 5, 1$.

Trước khi dùng Vi-ét trong bài tham số: bắt buộc xét $\Delta \geq 0$ (hoặc $> 0$ nếu cần 2 nghiệm phân biệt). Nếu quên: kết quả $m$ có thể nằm ngoài miền có nghiệm → sai. → Luôn ghi điều kiện $\Delta$ song song với việc dùng Vi-ét.

Mọi phép biến đổi sau đây có thể sinh nghiệm ngoại lai:

• Nhân chéo (mẫu = 0).
• Bình phương 2 vế (sinh nghiệm âm).
• Đặt ẩn phụ (sinh giá trị ngoài miền).

→ Luôn thay nghiệm tìm được vào phương trình gốc để xác nhận.

Khi đặt $t = x^2 + bx$ (đa thức bậc 2 theo $x$, hệ số $a > 0$): $t = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4} \geq -\dfrac{b^2}{4}$. → Phải kèm điều kiện $t \geq -\dfrac{b^2}{4}$ khi đặt ẩn phụ. Vd: $t = x^2 + x$: $t \geq -1/4$. Giải PT theo $t$ → loại các $t < -1/4$ trước khi trả về $x$.