Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất 2 ẩn $x, y$: $$a x + b y = c, \quad (a^2 + b^2 > 0).$$ Nghiệm: cặp $(x_0; y_0)$ thoả phương trình. Tập nghiệm thường có vô số cặp.

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}.$$ Nghiệm = cặp $(x; y)$ thoả cả 2 phương trình.

Tập nghiệm của $ax + by = c$ (với $a, b$ không cùng = 0) là 1 đường thẳng trong $Oxy$. Mỗi nghiệm $(x_0; y_0)$ tương ứng 1 điểm trên đường thẳng đó.

Mỗi phương trình là 1 đường thẳng. Số nghiệm hệ = số giao điểm 2 đường thẳng:

• 1 nghiệm: 2 đường cắt nhau ($\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$).
• Vô nghiệm: 2 đường song song ($\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$).
• Vô số nghiệm: 2 đường trùng nhau ($\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$).

Bước 1. Nhân 2 phương trình với các số phù hợp để hệ số của 1 ẩn bằng nhau (hoặc đối nhau). Bước 2. Cộng (hoặc trừ) 2 phương trình → triệt tiêu ẩn đó → phương trình 1 ẩn. Bước 3. Giải, tìm 1 ẩn. Bước 4. Thay vào 1 phương trình ban đầu → ẩn còn lại. Khi nào dùng: hệ số phức tạp / không có hệ số $\pm 1$.

Khi hệ có dạng phức (chứa căn, phân thức, $x^2$): Bước 1. Đặt $u = f(x), v = g(y)$ → quy hệ về bậc nhất theo $u, v$. Bước 2. Giải hệ tìm $u, v$. Bước 3. Trở lại biến cũ: giải $f(x) = u, g(y) = v$. Bước 4. Kiểm tra ĐKXĐ → kết luận.

Bước 1. Từ 1 phương trình, biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại. Vd: từ $x + 2y = 5 \Rightarrow x = 5 - 2y$. Bước 2. Thế vào phương trình kia → phương trình 1 ẩn. Bước 3. Giải tìm ẩn đó. Bước 4. Thay lại để tìm ẩn còn lại. Bước 5. Kết luận $(x; y)$. Khi nào dùng: 1 trong các hệ số là $\pm 1$ → dễ biểu diễn không bị phân thức.

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn 2 đại lượng chưa biết, đặt $x, y$ và ghi điều kiện ($> 0$, nguyên,...). Bước 2 — Lập hệ: dùng dữ kiện đề bài để viết 2 phương trình. Bước 3 — Giải hệ: dùng phương pháp thế / cộng đại số. Bước 4 — Đối chiếu: kiểm tra $x, y$ có thoả điều kiện. Bước 5 — Kết luận: trả lời câu hỏi của đề.

1. Toán chuyển động: dùng $S = v \cdot t$. Lập hệ qua quãng đường / thời gian / vận tốc. 2. Toán công việc: 1 người làm xong trong $t$ giờ → 1 giờ làm $\dfrac{1}{t}$ công việc. 3. Toán năng suất: tổng sản phẩm = số ngày × năng suất / ngày. 4. Toán nồng độ: khối lượng chất tan = khối lượng dung dịch × nồng độ. 5. Toán phần trăm + lãi suất. 6. Toán hỗn hợp / pha trộn.

Cho phương trình $ax + by = c$: Cách 1: cho $x$ tuỳ ý, $y = \dfrac{c - ax}{b}$ (khi $b \neq 0$). Cách 2: cho $y$ tuỳ ý, $x = \dfrac{c - by}{a}$ (khi $a \neq 0$). → Tập nghiệm vô số, biểu diễn dạng tham số.

Cho $(x_0; y_0)$ là nghiệm tiềm năng: thay vào cả 2 phương trình.

• Cả 2 đều đúng → là nghiệm hệ.
• Có 1 phương trình sai → KHÔNG phải nghiệm hệ.

(Lưu ý: chỉ thoả 1 trong 2 → không đủ.)

Điều kiện phổ biến cho ẩn trong bài toán thực tế:

• Số lượng người / vật: nguyên dương.
• Thời gian / vận tốc / quãng đường: $> 0$.
• Phần trăm: $0 \leq x \leq 100$.
• Nồng độ phần trăm: $0 < x < 100$.

Quên điều kiện → có thể dùng nghiệm âm, sai bản chất.