Hàm số bậc nhất

Cho 2 đại lượng $x, y$ với $x$ nhận giá trị trong tập $D$. Nếu mỗi giá trị $x$ tương ứng với duy nhất 1 giá trị $y$, ta nói $y$ là hàm số của $x$, viết $y = f(x)$.

• $D$: tập xác định.
• $x$: biến độc lập. $y$: biến phụ thuộc.

Đồ thị hàm $y = f(x)$ là tập hợp các điểm $M(x; f(x))$ trong mặt phẳng $Oxy$, với $x$ thuộc TXĐ.

Hàm bậc nhất: $y = a x + b \, (a \neq 0)$.

• TXĐ: $\mathbb{R}$.
• $a$: hệ số góc. $b$: tung độ gốc.

Trường hợp $b = 0$: $y = a x$ (hàm tỉ lệ thuận).

$y = a x + b$ có hệ số góc $a$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương $Ox$:

• $a > 0$: $\alpha$ nhọn ($0° < \alpha < 90°$), $\tan\alpha = a$.
• $a < 0$: $\alpha$ tù ($90° < \alpha < 180°$), $\tan\alpha = a$ (âm).
• $a = 0$: đường thẳng song song $Ox$, $\alpha = 0$.

Cho $y = ax + b$:

• Giao $Oy$: $x = 0 \Rightarrow y = b$. Điểm $(0; b)$.
• Giao $Ox$: $y = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}$. Điểm $\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$.

• $a > 0$: hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• $a < 0$: hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(Hàm bậc nhất luôn đơn điệu trên toàn $\mathbb{R}$.)

Cho 2 đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:

• $d \parallel d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b \neq b'$.
• $d \equiv d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.
• $d \perp d' \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$.
• $d, d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow a \neq a'$.

Cho $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:

• Trùng nhau: $a = a'$ và $b = b'$.
• Song song: $a = a'$ và $b \neq b'$.
• Cắt nhau: $a \neq a'$ — có duy nhất 1 giao điểm.
• Vuông góc: $a \cdot a' = -1$ (trường hợp đặc biệt của cắt).

Đường thẳng qua $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)$ với $x_A \neq x_B$: $$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$$ Phương trình: $y - y_A = a (x - x_A)$.

Tính $f(x_0)$: thay $x = x_0$ vào công thức $f(x)$. Tìm $x$ sao cho $f(x) = m$: giải phương trình $f(x) = m$. Vd: $y = 2x + 3$, tính $y$ khi $x = 5$: $y = 2 \cdot 5 + 3 = 13$. Tìm $x$ sao cho $y = 1$: $2x + 3 = 1 \Rightarrow x = -1$.

Bước 1. Lập bảng giá trị 2 điểm (thường là 2 giao với trục):

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = b$. Điểm $(0; b)$.
• Cho $y = 0 \Rightarrow x = -b/a$. Điểm $(-b/a; 0)$.

Bước 2. Đánh dấu 2 điểm trên mặt phẳng $Oxy$. Bước 3. Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm — chính là đồ thị. Trường hợp đặc biệt $b = 0$: đường thẳng qua $O$; chọn 1 điểm khác như $(1; a)$.

Bước 1. Lập hệ phương trình $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$. Bước 2. Cho 2 vế phải bằng nhau: $ax + b = a'x + b' \Rightarrow x = \dfrac{b' - b}{a - a'}$. Bước 3. Thay $x$ vào 1 trong 2 phương trình để tìm $y$. Bước 4. Giao điểm $M(x; y)$.

Cho $d: y = (m - 1)x + 3$ và $d': y = 2x + m$: Bước 1. Xác định $a, a', b, b'$ theo $m$. Bước 2. Áp dụng điều kiện:

• Song song: $a = a'$ và $b \neq b'$ → tìm $m$ thoả phương trình + bất phương trình.
• Cắt: $a \neq a'$ → bất phương trình theo $m$.
• Trùng: $a = a'$ và $b = b'$ → hệ 2 phương trình.

Bước 3. Giải, đối chiếu điều kiện.

Điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị $y = f(x) \Leftrightarrow y_0 = f(x_0)$. → Chỉ cần thay toạ độ vào công thức, kiểm tra 2 vế bằng nhau.

Đồ thị $y = ax + b$ là đường thẳng. Chỉ cần 2 điểm là đủ:

• Thường dùng giao 2 trục: $(0; b)$ và $\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$.
• Khi $b = 0$ (qua $O$): chọn 1 điểm khác như $(1; a)$.
• Nối 2 điểm → đường thẳng cần vẽ.

Biết 2 điểm: tính $a$ qua công thức 2 điểm, thay 1 điểm tìm $b$. Biết hệ số góc + 1 điểm: thay vào tìm $b$. Song song / vuông góc với đường khác + 1 điểm: dùng quan hệ hệ số góc → tìm $a$, rồi thay điểm tìm $b$. Đi qua giao 2 đường khác + 1 điểm: tìm giao điểm trước (giải hệ), rồi như trên.

Đường thẳng $d: y = ax + b$ đi qua điểm $M(x_0; y_0) \Leftrightarrow y_0 = a x_0 + b$. Bài 'tìm $m$ để đường thẳng đi qua $M$': thay toạ độ → phương trình theo $m$ → giải.