Căn bậc hai. Căn bậc ba

Cho $a \geq 0$. Căn bậc hai số học của $a$, ký hiệu $\sqrt{a}$, là số không âm $b$ thoả $b^2 = a$: $$\sqrt{a} = b \Leftrightarrow \begin{cases} b \geq 0 \\ b^2 = a \end{cases}.$$ ĐKXĐ: $a \geq 0$. Với $a < 0$, $\sqrt{a}$ KHÔNG tồn tại trên $\mathbb{R}$.

Căn bậc ba của $a$, ký hiệu $\sqrt[3]{a}$, là số $b$ thoả $b^3 = a$. $$\sqrt[3]{a} = b \Leftrightarrow b^3 = a.$$ Khác $\sqrt{}$: căn bậc ba xác định với mọi $a \in \mathbb{R}$ (bao gồm $a < 0$).

$\sqrt{f(x)}$ xác định $\Leftrightarrow f(x) \geq 0$. Vd: $\sqrt{2x - 5}$ xác định $\Leftrightarrow 2x - 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{5}{2}$.

Đưa ra: $\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}$ với $b \geq 0$. Đưa vào: $a \sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ với $a \geq 0, b \geq 0$. $a \sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ với $a < 0, b \geq 0$.

Với $a, b \geq 0$: $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.$$ Với $a \geq 0, b > 0$: $$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

Mẫu dạng $\sqrt{a}$: nhân tử và mẫu với $\sqrt{a}$: $$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}, \quad \dfrac{m}{\sqrt{a}} = \dfrac{m \sqrt{a}}{a}.$$

Mẫu $\sqrt{a} + \sqrt{b}$: nhân với biểu thức liên hợp $\sqrt{a} - \sqrt{b}$: $$\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}.$$ Tương tự cho mẫu $\sqrt{a} - \sqrt{b}$: nhân với $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Mẫu $a + \sqrt{b}$: nhân với $a - \sqrt{b}$: $$\dfrac{1}{a + \sqrt{b}} = \dfrac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}.$$

$$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}.$$ $$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \, (b \neq 0).$$ Đưa thừa số ra ngoài: $\sqrt[3]{a^3 b} = a \sqrt[3]{b}$.

Bước 1. Phân tích số dưới căn thành tích các lũy thừa: $n = a^2 \cdot b$ (với $b$ là số 'sạch'). Bước 2. Đưa thừa số bình phương ra ngoài: $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$ (với $a > 0$). Bước 3. Gộp các căn cùng số trong căn. Vd: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}$. Vd: $\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Hai căn cùng loại (cùng biểu thức dưới căn) → cộng/trừ hệ số: $$m \sqrt{a} + n \sqrt{a} = (m + n) \sqrt{a}.$$ Nếu khác loại: phải rút gọn từng căn trước. Vd: $\sqrt{8} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (các căn $\geq 0$, mẫu khác 0). Bước 2. Phân tích nhân tử / quy đồng các phân thức. Bước 3. Rút gọn từng căn, gộp các căn cùng loại. Bước 4. Trục căn ở mẫu (nếu cần). Bước 5. Kiểm tra đối chiếu ĐKXĐ → kết luận.

Dùng tính chất $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: $$(a \sqrt{p}) \cdot (b \sqrt{q}) = ab \sqrt{pq}.$$ Phân phối khi có tổng: $\sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$. Dùng hằng đẳng thức: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Tìm 2 số $u, v$ thoả $u + v = a$ và $u \cdot v = b$. Khi đó: $$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{u} \pm \sqrt{v} \, (u \geq v).$$ Vd: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Cần $u + v = 5, uv = 6 \Rightarrow u = 3, v = 2$. → $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

Sau trục căn, mẫu mới = $a - b$ (hoặc tương tự). → Phải có điều kiện $a \neq b$ (hoặc $a^2 - b \neq 0$). Vd: trục $\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$ → mẫu mới $x - 1 \Rightarrow x \neq 1$. Đối chiếu ĐKXĐ ban đầu để loại trừ trường hợp $x = 1$.

Mục tiêu: làm cho mẫu không còn căn → biểu thức 'sạch' để rút gọn / so sánh. Bước 1. Nhận dạng mẫu:

• Dạng $\sqrt{a}$ → nhân $\sqrt{a}$.
• Dạng $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ → nhân liên hợp $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$.
• Dạng $a \pm \sqrt{b}$ → nhân $a \mp \sqrt{b}$.

Bước 2. Nhân đồng thời tử và mẫu với biểu thức tương ứng. Bước 3. Khai triển tử, dùng $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ cho mẫu. Bước 4. Rút gọn.

Khi gặp $\sqrt{f(x)^2}$ phải lấy trị tuyệt đối, không chỉ là $f(x)$! Vd: $\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|$.

• Nếu $x \geq 3$: $|x-3| = x - 3$.
• Nếu $x < 3$: $|x-3| = 3 - x$.

→ Phải chia trường hợp theo điều kiện.

Để rút gọn căn nhanh, thuộc các số chính phương: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400$. Tìm số chính phương lớn nhất chia hết cho số dưới căn → đưa ra ngoài.

Trước khi rút gọn — luôn ghi ĐKXĐ:

• $\sqrt{f(x)}$: $f(x) \geq 0$.
• $\dfrac{1}{f(x)}$: $f(x) \neq 0$.
• $\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$: $f(x) > 0$.

Quên ĐKXĐ thường bị trừ điểm dù biến đổi đúng.

Trong các biểu thức rút gọn, các phép tách:

• $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ (với $a, b \geq 0$).
• $a + b = ?$ KHÔNG có phân tích tương tự, cẩn thận.
• $a \sqrt{b} \pm b \sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})$.

→ Nhận dạng các hằng đẳng thức ẩn dưới căn.

Liên hợp của một biểu thức: đổi dấu giữa 2 hạng tử (giữ nguyên các căn):

• $\sqrt{a} + \sqrt{b} \rightarrow \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
• $a + b\sqrt{c} \rightarrow a - b\sqrt{c}$.

Tính chất: $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$ — khử dấu căn nếu $Y$ là căn.

$1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125, 6^3 = 216, 7^3 = 343, 8^3 = 512, 9^3 = 729, 10^3 = 1000$. Để tính nhanh $\sqrt[3]{...}$: tìm số gần nhất trong danh sách lập phương.