Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình ẩn $x$ là 2 biểu thức $A(x), B(x)$ liên hệ với nhau bởi dấu '=': $$A(x) = B(x).$$ Nghiệm = giá trị $x_0$ làm $A(x_0) = B(x_0)$. Tập nghiệm = tập các nghiệm.

Phương trình bậc nhất 1 ẩn dạng: $$a x + b = 0, \quad (a \neq 0).$$ Nghiệm duy nhất: $x = -\dfrac{b}{a}$.

Quy tắc chuyển vế: chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia → đổi dấu hạng tử đó. $A + B = C \Leftrightarrow A = C - B$. Quy tắc nhân với số khác 0: nhân/chia 2 vế cho cùng 1 số $\neq 0$. $A = B \Leftrightarrow k A = k B$ với $k \neq 0$.

• Phương trình có nghiệm: có ít nhất 1 nghiệm.

+ 1 nghiệm duy nhất. + Nhiều nghiệm (hoặc vô số).

• Phương trình vô nghiệm: không có $x$ nào thoả.
• 2 phương trình tương đương: có cùng tập nghiệm.

• $a \neq 0$: 1 nghiệm $x = -b/a$.
• $a = 0, b \neq 0$: vô nghiệm.
• $a = 0, b = 0$: vô số nghiệm.

Dùng cho bài tham số: 'tìm $m$ để phương trình có 1 nghiệm / vô nghiệm / vô số nghiệm'.

$$A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \text{ hoặc } B(x) = 0.$$ Tổng quát: $$A \cdot B \cdots N = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ hoặc } B = 0 \text{ hoặc } \dots \text{ hoặc } N = 0.$$ (Một tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất 1 thừa số bằng 0.)

Phương trình dạng $f(x) = g(x)$ với $f, g$ là biểu thức bậc nhất: Bước 1. Khai triển các vế (mở ngoặc, áp dụng phân phối). Bước 2. Chuyển mọi hạng tử về vế trái → $A x + B = 0$. Bước 3. Giải. Trường hợp đặc biệt:

• $A = 0, B \neq 0$: vô nghiệm.
• $A = 0, B = 0$: vô số nghiệm ($x$ tuỳ ý).

Bước 1. Chuyển vế: $ax = -b$. Bước 2. Chia 2 vế cho $a$ ($a \neq 0$): $x = -\dfrac{b}{a}$. Bước 3. Kết luận nghiệm. Vd: $3x - 6 = 0 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2$.

Bước 1. Đưa phương trình về dạng tích: $A(x) \cdot B(x) = 0$.

• Chuyển tất cả về 1 vế.
• Phân tích vế đó thành nhân tử.

Bước 2. Giải từng phương trình con: $A(x) = 0, B(x) = 0$. Bước 3. Hợp các nghiệm. Vd: $x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow x(x - 5) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$.

Trước khi quy đồng, phân tích các mẫu thành nhân tử: $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2}{x^2-1}$ Mẫu cuối: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ → MTC = $(x-1)(x+1)$, không cần tăng thêm. → Tính toán đơn giản hơn.

Bước 1 — ĐKXĐ: tìm mọi giá trị $x$ làm mẫu $= 0$ → loại khỏi tập nghiệm. Bước 2 — Quy đồng + khử mẫu: nhân 2 vế với MTC → phương trình không chứa mẫu. Bước 3 — Giải phương trình thu được. Bước 4 — Đối chiếu ĐKXĐ → loại các nghiệm không thoả → tập nghiệm cuối. Vd: $\dfrac{x+1}{x-2} = 3$. ĐKXĐ: $x \neq 2$. Khử mẫu: $x+1 = 3(x-2) \Leftrightarrow x = 7/2$. Thoả → nghiệm.

1. Tìm số: tổng/hiệu/tích các chữ số, mối quan hệ. 2. Chuyển động: $S = v \cdot t$. Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng. 3. Công việc / năng suất: thời gian × năng suất = tổng công việc. 4. Tỉ lệ phần trăm / lãi suất. 5. Toán hỗn hợp / pha trộn: khối lượng × nồng độ = lượng chất. 6. Hình học: chu vi, diện tích, mối quan hệ cạnh.

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn 1 đại lượng chưa biết, đặt $x$, ghi điều kiện. Bước 2 — Biểu diễn: dùng $x$ biểu diễn các đại lượng còn lại. Bước 3 — Lập phương trình: dựa vào dữ kiện đề bài. Bước 4 — Giải phương trình. Bước 5 — Đối chiếu điều kiện ban đầu → kết luận.

Khi phương trình có vế phải $\neq 0$ hoặc 2 vế đều có biểu thức:

• Chuyển hết về 1 vế.
• Dùng các phương pháp phân tích: đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm.
• Nếu phân tích được thành tích → áp dụng công thức tích.

Vd: $(x+2)(x-3) = (x+2) \cdot 2 \Leftrightarrow (x+2)[(x-3) - 2] = 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-5) = 0$.

Ưu tiên chọn ẩn cho:

• Đại lượng đề yêu cầu tìm (đôi khi).
• Đại lượng làm các đại lượng khác dễ biểu diễn.
• Đại lượng có ràng buộc rõ ràng (nguyên dương, $> 0$, $\leq 100\%$).

Mỗi bài có thể có nhiều cách chọn ẩn — chọn cách giúp phương trình đơn giản nhất.

Với bài chuyển động / công việc / hỗn hợp: Lập bảng với các cột: đại lượng + biến số tương ứng cho từng tình huống. → Dễ thấy mối quan hệ → lập phương trình nhanh. Vd chuyển động:

	Quãng đường	Vận tốc	Thời gian
Xe đi	$S_1$	$v_1$	$t_1$
Xe về	$S_2$	$v_2$	$t_2$

Sau khi giải, nghiệm có thể không thoả ĐKXĐ → KHÔNG phải nghiệm thực sự (gọi là nghiệm ngoại lai). Vd: $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{1}{x-1}$. ĐKXĐ: $x \neq 1$. Khử mẫu: $x = 1$ — không thoả → vô nghiệm. → Quên đối chiếu ĐKXĐ = sai bài, dù tính toán đúng.