Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất đẳng thức $a < b, a \leq b, a > b, a \geq b$ — so sánh 2 số (số thực). Bất phương trình 1 ẩn: $A(x) < B(x)$ (hoặc $\leq, >, \geq$). Nghiệm: $x_0$ làm bất phương trình đúng. Tập nghiệm: biểu diễn dưới dạng khoảng/đoạn/nửa đường thẳng.

Dạng: $$a x + b > 0 \, (\text{hoặc } <, \geq, \leq), \quad a \neq 0.$$

$$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \geq 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases}.$$ $|a| \geq 0$ với mọi $a$, $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$. Tổng quát: $|f(x)|$ là khoảng cách từ $f(x)$ đến 0 trên trục số.

Cho $a < b$ (tương tự cho $\leq, >, \geq$):

• Cộng cùng số: $a + c < b + c$ (giữ chiều).
• Nhân với số dương $c > 0$: $a c < b c$ (giữ chiều).
• Nhân với số âm $c < 0$: $a c > b c$ (đổi chiều).
• Bắc cầu: $a < b$ và $b < c \Rightarrow a < c$.
• Bình phương (khi $a, b \geq 0$): $a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$.

Áp dụng cho bất phương trình $A(x) < B(x)$: 1. Chuyển vế + đổi dấu hạng tử. 2. Nhân/chia 2 vế với số dương → giữ chiều. 3. Nhân/chia 2 vế với số âm → đổi chiều. 4. Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều → giữ chiều (KHÔNG được trừ hoặc nhân chéo).

• $m < 0$: vô nghiệm.
• $m = 0$: $f(x) = 0$.
• $m > 0$: $f(x) = m$ hoặc $f(x) = -m$.

Phương trình $|f(x)| = |g(x)|$: $$\Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ hoặc } f(x) = -g(x).$$

$|f(x)| < m$ ($m > 0$): $-m < f(x) < m$. $|f(x)| \leq m$: $-m \leq f(x) \leq m$. $|f(x)| > m$ ($m > 0$): $f(x) > m$ hoặc $f(x) < -m$. $|f(x)| \geq m$: $f(x) \geq m$ hoặc $f(x) \leq -m$. (Nếu $m \leq 0$: $|f(x)| < m$ vô nghiệm, $|f(x)| \geq 0 > m$ luôn đúng — xét trực tiếp.)

Dùng trục số với mũi tên:

• $x > a$: dấu ')' tại $a$, gạch chéo / tô sang phải.
• $x \geq a$: dấu ']', tô sang phải.
• $x < a$: dấu '(' tại $a$, tô sang trái.
• $x \leq a$: dấu '[', tô sang trái.

Hoặc dùng dấu chấm: $\circ$ cho ngặt, $\bullet$ cho $\geq, \leq$.

Bước 1. Chuyển vế: $ax > -b$. Bước 2. Chia 2 vế cho $a$:

• $a > 0$: $x > -b/a$ (giữ chiều).
• $a < 0$: $x < -b/a$ (đổi chiều).

Bước 3. Viết tập nghiệm dưới dạng khoảng: $(-b/a; +\infty)$ hoặc $(-\infty; -b/a)$. Vd: $-2x + 4 > 0 \Leftrightarrow -2x > -4 \Leftrightarrow x < 2$ (chia âm, đổi chiều). Tập nghiệm: $(-\infty; 2)$.

Phương trình $|f(x)| = g(x)$: Cách 1 — Bỏ dấu trị tuyệt đối: Xét $f(x) \geq 0$ và $f(x) < 0$ → mỗi trường hợp 1 phương trình. Giải, đối chiếu điều kiện. Cách 2 — Bình phương (khi $g(x) \geq 0$): $f(x)^2 = g(x)^2 \Rightarrow f(x) = \pm g(x)$. Đối chiếu điều kiện $g(x) \geq 0$.

Lỗi phổ biến: quên đổi chiều khi nhân/chia số âm. Quy ước: ngay khi nhân/chia với số âm → khoanh tròn dấu bất đẳng thức + đổi chiều. Hoặc: chuyển vế để hệ số $x$ dương trước khi chia → tránh đổi chiều.

• $|f(x)| + |g(x)| = 0$: cả 2 cùng bằng 0 → hệ $f(x) = 0$ và $g(x) = 0$.
• $|f(x)| = -|g(x)|$: chỉ khi cả 2 đều = 0.
• $|f(x)| \leq 0$: $\Leftrightarrow f(x) = 0$.

Nhận ra dạng đặc biệt → giải nhanh không cần xét trường hợp.