Phân thức đại số

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức và $B \neq 0$.

• $A$: tử thức.
• $B$: mẫu thức.

ĐKXĐ: $B \neq 0$.

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C.$$ (Quy tắc nhân chéo, với $B, D \neq 0$.)

Cho phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $M \neq 0$:

• Nhân tử + mẫu với cùng số khác 0: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$.
• Chia cả tử + mẫu cho ước chung: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : M}{B : M}$ (với $M$ là nhân tử chung).
• Đổi dấu tử + mẫu: $\dfrac{-A}{-B} = \dfrac{A}{B}$.
• Dấu trừ trước phân thức: $-\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{B} = \dfrac{A}{-B}$.

Mẫu thức chung (MTC) = bội chung nhỏ nhất của các mẫu thức. Cách tìm MTC: 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2. Lấy mọi nhân tử (chữ + số) với số mũ lớn nhất. 3. Nhân lại.

$$\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A + B}{C}.$$ $$\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A - B}{C}.$$ Cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu.

$$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A D}{B C}.$$ Chia = nhân với nghịch đảo. ĐKXĐ: $B, C, D \neq 0$.

$$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}.$$ (Tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.) ĐKXĐ: $B, D \neq 0$.

Bước 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử + tìm MTC. Bước 2. Với mỗi phân thức: tính nhân tử phụ = MTC ÷ mẫu. Bước 3. Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ. Bước 4. Tất cả phân thức có cùng mẫu = MTC. Vd: $\dfrac{1}{x - 1}, \dfrac{1}{x + 1}$. MTC = $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Nhân tử phụ: $(x+1)$ và $(x-1)$. → $\dfrac{x+1}{x^2-1}, \dfrac{x-1}{x^2-1}$.

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (mẫu $\neq 0$). Bước 2. Phân tích tử + mẫu thành nhân tử. Bước 3. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bước 4. Phân thức rút gọn — viết lại + ghi ĐKXĐ ban đầu. Vd: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \dfrac{x+2}{x}$, ĐKXĐ: $x \neq 0, 2$.

Bước 1. Tìm ĐKXĐ. Bước 2. Quy đồng các phân thức về cùng mẫu (MTC). Bước 3. Cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu. Bước 4. Rút gọn kết quả. Vd: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1 + x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$, ĐKXĐ: $x \neq 0, -1$.

Bước 1. Tìm ĐKXĐ. Bước 2. Nếu chia → đảo phân thức chia, đổi : thành ×. Bước 3. Phân tích tử + mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử. Bước 4. Rút gọn các nhân tử chung trước khi nhân (nhanh hơn). Bước 5. Nhân các phần còn lại → kết quả.

Bước 1 — ĐKXĐ: tìm điều kiện cho mọi mẫu thức. Bước 2 — Trong ngoặc: quy đồng + cộng/trừ trước. Bước 3 — Phép nhân/chia: thực hiện sau, đảo phân thức nếu cần. Bước 4 — Phân tích nhân tử mọi tử + mẫu để rút gọn. Bước 5 — Kết luận: ghi lại biểu thức rút gọn + ĐKXĐ ban đầu.

Sau khi rút gọn $P(x) = \dfrac{\dots}{\dots}$: Tính giá trị tại $x = x_0$:

• Kiểm tra $x_0$ thoả ĐKXĐ.
• Thay $x_0$ vào biểu thức rút gọn (nhanh hơn biểu thức gốc).

Tìm $x$ sao cho $P(x) = m$:

• Giải phương trình $P(x) = m$.
• Đối chiếu ĐKXĐ → loại các nghiệm ngoại lai.

ĐKXĐ: mẫu thức $\neq 0$. Bước 1. Giải phương trình mẫu = 0. Bước 2. Tập ĐKXĐ = $\mathbb{R}$ trừ các nghiệm tìm được. Vd: $\dfrac{x+1}{x^2 - 4}$ → mẫu = $0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$.

Trước khi quy đồng / rút gọn:

• Phân tích mọi đa thức thành nhân tử.
• Nhận ra các nhân tử chung → MTC nhỏ nhất.

→ Giúp tính nhanh hơn, kết quả gọn hơn. Vd: mẫu $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ → MTC dùng $(x+1)^2$, không cần $(x^2 + 2x + 1)$.

SAI: $\dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$ (KHÔNG được chia hạng tử). ĐÚNG: chỉ chia khi có nhân tử chung (kết quả phân tích thành tích). Vd ĐÚNG: $\dfrac{x(x+2)}{x(x+3)} = \dfrac{x+2}{x+3}$ (chia cho $x$, là nhân tử chung).

Trong các bài rút gọn phân thức, nhiều khi tử / mẫu có dạng:

• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
• $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.
• $a^3 \pm b^3$.

→ Dùng hằng đẳng thức để phân tích nhanh, tìm nhân tử chung.

Đừng nhân khai triển trước → biểu thức cồng kềnh, khó rút gọn. Thay vào đó: 1. Phân tích nhân tử tử + mẫu của mỗi phân thức. 2. Triệt tiêu các nhân tử chung chéo giữa các phân thức. 3. Chỉ còn lại nhân tử cần thiết → nhân nhanh.

Sau khi rút gọn $P(x) = Q(x)$: Thử $x = $ số đơn giản (vd $x = 2$) thoả ĐKXĐ. Tính $P(2)$ và $Q(2)$ → nếu bằng nhau, có lẽ rút gọn đúng. → Phát hiện lỗi đại số nhanh.